三维量子简谐振子(球坐标系)

             

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预备知识 球坐标系中的径向方程,简谐振子(升降算符)

   本文使用原子单位制.我们希望求解定态薛定谔方程(式 11

\begin{equation} -\frac{1}{2m} \boldsymbol{\nabla}^2 {\Psi} + V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )\Psi = E \Psi \end{equation}
其中势能函数为
\begin{equation} V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{1}{2}m\omega^2 r^2 \end{equation}
我已知角向波函数是球谐函数 $Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} )$.只需解出方程(式 3 )即可
\begin{equation} -\frac{1}{2m} \frac{\mathrm{d}^{2}{\psi_l}}{\mathrm{d}{r}^{2}} + \left[V(r) + \frac{l(l + 1)}{2mr^2} \right] \psi_l = E\psi_l \end{equation}
总波函数和能级为
\begin{equation} \psi_{n,l,m} = R_{n,l}(r) Y_{l,m}(\Omega) \qquad E_{n,l} = \left(2n + l + \frac32 \right) \omega \end{equation}

   我们可以把式 3 想象成一个一维势阱问题,角动量量子数 $l$ 决定势能 $V(r) + l(l + 1)/(2mr^2)$ 在原点附近的形状.由于 $V(r)$ 随 $r$ 无限变大,所以总的束缚态个数是无限的,$n, l$ 也可以取任意非负整数.但对于其他一些有限深的球对称势阱,由于束缚态个数有限,$l$ 的取值存在上限.

   令 $\beta = 1/\sqrt{m\omega}$,$x = r/\beta$,则径向波函数为

\begin{equation} R_{n,l}(r) = \frac{1}{\beta^{3/2} \pi^{1/4}} \sqrt{\frac{2^{n+l+2} n!}{(2n + 2l + 1)!!}} x^l L_n^{l+1/2}(x^2) \mathrm{e} ^{-x^2/2} \end{equation}
其中 $L_n^{l+1/2}$ 是连带拉盖尔多项式

   前几个束缚态如下,其中球谐函数产生的简并数为 $\sum_l (2l + 1)$

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