三维量子简谐振子（球坐标系）

贡献者： addis

　　 本文使用原子单位制。我们希望求解定态薛定谔方程（引用未完成）

　　 我们可以把式 3 想象成一个一维势阱问题，角动量量子数 $l$ 决定势能 $V(r)+l(l+1)/(2m{r}^2)$ 在原点附近的形状。由于 $V(r)$ 随 $r$ 无限变大，所以总的束缚态个数是无限的，$n,l$ 也可以取任意非负整数。但对于其他一些有限深的球对称势阱，由于束缚态个数有限，$l$ 的取值存在上限。

　　 令 $\beta =1/\sqrt{m\omega }$，$x=r/\beta$，则径向波函数为

　　 前几个束缚态如下，其中球谐函数产生的简并数为 $\sum _l(2l+1).$

• $E=3\omega /2$（$\mathrm{deg}=1$）
  $$\begin{array}{}\text{(6)}& R_{0,0}(r)=\frac{1}{{\beta }^{3/2}{\pi }^{1/4}}2{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2}{x}^2}.\end{array}$$
• $E=5\omega /2$（$\mathrm{deg}=3$）
  $$\begin{array}{}\text{(7)}& R_{0,1}(r)=\frac{1}{{\beta }^{3/2}{\pi }^{1/4}}\frac{2\sqrt{6}}{3}x{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2}{x}^2}.\end{array}$$
• $E=7\omega /2$（$\mathrm{deg}=6$）
  $$\begin{array}{}\text{(8)}& R_{0,2}(r)=\frac{1}{{\beta }^{3/2}{\pi }^{1/4}}\frac{4}{\sqrt{15}}{x}^2{\mathrm{e}}^{-x^2/2},\end{array}$$
  $$\begin{array}{}\text{(9)}& R_{1,0}(r)=\frac{1}{{\beta }^{3/2}{\pi }^{1/4}}\frac{2\sqrt{6}}{3}(\frac{3}{2}-x^2){\mathrm{e}}^{-x^2/2}.\end{array}$$
• $E=9\omega /2$（$\mathrm{deg}=8$）
  $$\begin{array}{}\text{(10)}& R_{0,3}(r)=\frac{1}{{\beta }^{3/2}{\pi }^{1/4}}4\sqrt{\frac{2}{105}}{x}^3{\mathrm{e}}^{-x^2/2},\end{array}$$
  $$\begin{array}{}\text{(11)}& R_{1,1}(r)=\frac{1}{{\beta }^{3/2}{\pi }^{1/4}}\frac{4}{\sqrt{15}}(\frac{5}{2}-x^2)x{\mathrm{e}}^{-x^2/2}.\end{array}$$