库仑函数

贡献者： addis

预备知识　Gamma 函数，库仑散射（量子）

1. 定义

　　¹在球坐标系中解库仑势场中的定态薛定谔方程，当能量 $E > 0$ 时²，会得到径向方程（式 7 ）

\begin{equation}-\frac{1}{2m} \frac{\mathrm{d}^{2}{\psi_{l}}}{\mathrm{d}{r}^{2}} + \left[-\frac{Z}{r} + \frac{l(l + 1)}{2mr^2} \right] \psi_{l} = E_{n, l} \psi_{l}~. \end{equation}

可化简为

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}^{2}{u_l}}{\mathrm{d}{\rho}^{2}} + \left[1 - \frac{2\eta}{\rho} - \frac{l(l+1)}{\rho^2} \right] u_l = 0~. \end{equation}

其中 $\rho = kr$，

\begin{equation} \eta = -\frac{mZ}{k}~ \end{equation}

叫做 Sommerfeld 参数。

　　这是一个二阶常系数齐次常微分方程，其两个线性无关解为第一类库仑函数（Coulomb function of the first kind） $F_l(\eta, \rho)$ 和第二类库仑函数 $G_l(\eta, \rho)$。当方程的系数为实数时，第一类和第二类库仑函数也是实函数。

图 1：第一类库仑函数（$Z=1,k=1$）

　　第一类库仑函数（图 1 ）的解析式为（式中两套正负号是等价的）

\begin{equation} F_l(\eta, \rho) = A_l(\eta) \rho^{l+1} \mathrm{e} ^{\mp \mathrm{i} \rho} M(l+1\mp \mathrm{i} \eta, 2l+2, \pm 2 \mathrm{i} \rho)~, \end{equation}

其中

\begin{equation} A_l(\eta) = \frac{2^l \mathrm{e} ^{-\pi\eta/2} \left\lvert \Gamma(l+1+ \mathrm{i} \eta) \right\rvert }{(2l+1)!}~, \end{equation}

$M(a, b, z)$ 是库默尔（Kummer）M 函数，也叫第一类合流超几何函数，记为 $_1 F_1(a;b;z)$。库仑函数也可以用惠特克（Whittaker）M 函数来表示得更紧凑

\begin{equation} F_l(\eta, \rho) = \left(\frac{\mp \mathrm{i} }{2} \right) ^{l+1} A_l(\eta) M_{\pm \mathrm{i} \eta, l+\frac12} \left(\pm 2 \mathrm{i} \rho \right) ~, \end{equation}

其中惠特克 $M$ 函数与库默尔 $M$ 函数的关系为

\begin{equation} M_{\kappa, \mu}(z) = \mathrm{e} ^{-z/2} z^{\mu + 1/2} M(\mu - \kappa + 1/2, 1 + 2\mu, z)~, \end{equation}

另见 “库仑函数程序（Matlab 和 Mathematica）”。

库仑相移

　　 $F_l(\eta, \rho)$ 是一个实函数，且渐进形式为

\begin{equation} F_l(\eta, \rho) \overset{\rho\to \infty}{\longrightarrow} \sin \left[\rho - \frac{\pi l}{2} - \eta \ln\left(2\rho\right) + \sigma_l(\eta) \right] ~, \end{equation}

其中 $\sigma_l(\eta)$ 是库仑相移（Coulomb phase shift）

\begin{equation} \sigma_l(\eta) = \arg[\Gamma(l+1+ \mathrm{i} \eta)]~, \end{equation}

其中 $\arg$ 函数是复数的辐角（式 5 ）。

2. 渐进形式

　　类似 $\rho$ 乘以第一类球贝塞尔函数³ $j_l(\rho)$，有

\begin{equation} F_l(\eta, 0) = 0 \qquad \left. \frac{\mathrm{d}{F_l(\eta, \rho)}}{\mathrm{d}{\rho}} \right\rvert _{\rho=0} = \begin{cases} A_0(\eta) &(l = 0)\\ 0 &(l > 0) \end{cases}~ \end{equation}

更一般地，当 $r\to 0$ 时有

\begin{equation} F_l(\eta, \rho) \rightarrow A_l(\eta) r^{l+1} + \mathcal{O}\left(r^{l+2} \right) ~. \end{equation}

由此可见当 $r\to 0$ 时只有 $l = 0$ 时 $F_l(\eta, \rho)/r \to A_0(\eta)$ 不为零。

3. 其他类型的库仑函数

　　第二类库仑函数 $G_l(\eta, \rho)$ 可以由 $H_l^\pm(\eta, \rho)$ 得到，后者是两类库仑函数的线性组合⁴

\begin{equation} H_l^\pm(\eta, \rho) = G_l(\eta, \rho) \pm \mathrm{i} F_l(\eta, \rho)~. \end{equation}

定义为

\begin{equation} H_l^\pm(\eta, \rho) = (\mp \mathrm{i} )^l \mathrm{e} ^{\pi\eta/2 \pm \mathrm{i} \sigma_l(\eta)} W_{\mp \mathrm{i} \eta, l + 1/2}(\mp 2 \mathrm{i} \rho)~, \end{equation}

其中 $W_{\kappa, \mu}(z)$ 是惠特克（Whittaker）W 函数

\begin{equation} W_{\kappa, \mu}(z) = \mathrm{e} ^{-z/2} z^{\mu + 1/2} U(\mu - \kappa + 1/2, 1 + 2\mu, z)~, \end{equation}

其中 $U(a, b, z)$ 是库默尔（Kummer）U 函数，定义为

\begin{equation} U(a, b, z) = \frac{\Gamma(1 - b)}{\Gamma(a + 1 - b)} M(a, b, z) + \frac{\Gamma(b - 1)}{\Gamma(a)} z^{1 - b} M(a + 1 - b, 2 - b, z)~. \end{equation}

式 14 代入式 13 得

\begin{equation} H_l^\pm(\eta, \rho) = \mathrm{e} ^{\pm \mathrm{i} \theta_l(\eta, \rho)}(\mp 2 \mathrm{i} \rho)^{l + 1 \pm \mathrm{i} \eta} U(l + 1 \pm \mathrm{i} \eta, 2l + 2, \mp2 \mathrm{i} \rho)~, \end{equation}

其中

\begin{equation} \theta_l(\eta, \rho) = \rho - \frac{l\pi}{2} - \eta \ln\left(2\rho\right) + \sigma_l(\eta)~. \end{equation}

是式 8 中的渐进相位。

性质

　　 $G_l(\eta,\rho)$ 的渐进形式为

\begin{equation} \lim_{\rho\to \infty} G_l(\eta, \rho) = \cos\theta_l(\eta, \rho)~. \end{equation}

　　库仑函数的导数可以由惠特克函数的导数得到。

\begin{equation} \frac{\partial}{\partial{z}} [M_{a, b}(z)] = \left(\frac12 - \frac{a}{z} \right) M_{a, b}(z) + \frac{1}{x} \left(a + b + \frac12 \right) M_{a+1, b}(z)~, \end{equation}

\begin{equation} \frac{\partial}{\partial{z}} [W_{a, b}(z)] = \frac{1}{2z} \left[(z - 2a) W_{a, b}(z) - 2W_{a+1, b}(z) \right] ~. \end{equation}

可见程序中求导数大概要比求函数值多用一倍时间（因为要求两次惠特克函数），但同时也顺便求出了函数值。如果同时需要两类库仑函数及它们的导数，只需求 $H^+$ 函数的导数，这就顺便求出了 $H^+$，再分别取实部虚部即可。另外只需要把 $H^+$ 做复共轭即可得到 $H^-$。

　　一种验证函数值是否正确的方法是使用以下性质

\begin{equation} \mathcal{W}\{G, F\} = \mathcal{W}\{H^\pm, F\} = 1~, \end{equation}

其中 $\mathcal{W}\{f_1(x), f_2(x)\}$ 是二阶朗斯基行列式（Wronskian determinant）

\begin{equation} \mathcal{W}\{f_1(x), f_2(x)\} = \begin{vmatrix} f_1(x) & f_2(x) \\ f_1'(x) & f_2'(x) \end{vmatrix} = f_1(x) f_2'(x) - f_2(x) f_1'(x)~. \end{equation}

　　由渐进形式可得径向归一化积分⁵与球贝塞尔函数乘以 $kr$ 的相同（式 22 ）

\begin{equation} \int_0^\infty F_l(-Z/k', k' r)F_l(-Z/k, kr) \,\mathrm{d}{r} = \int_0^\infty \sin\left(k'r\right) \sin\left(kr\right) \,\mathrm{d}{r} = \frac{\pi}{2}\delta(k - k') \qquad (k, k' > 0)~. \end{equation}

1. ^ 参考 NIST 相关页面。
2. ^ 当能量 $E < 0$ 时将得到束缚态，见 “类氢原子的定态波函数”
3. ^ 当 $\eta = 0$ 时 $F_l(\eta, \rho)=\rho j_l(\rho)$。
4. ^ 类比 $ \exp\left( \mathrm{i} x\right) = \cos x + \mathrm{i} \sin x$。
5. ^ 积分时可忽略 $\sin$ 中的额外相位，但笔者不会证。

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