球坐标系中的亥姆霍兹方程

             

预备知识 球谐函数

   亥姆霍兹方程为1

\begin{equation} ( \boldsymbol{\nabla}^2 + k^2)f = 0 \end{equation}
球坐标系中的求解过程与拉普拉斯方程 中的过程类似.将拉普拉斯算子分解为径向和角向两部分(式 6
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}^2 = \boldsymbol{\nabla}^2 _r + \frac{ \boldsymbol{\nabla}^2 _{\Omega}}{r^2} = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial{r}} \left(r^2 \frac{\partial u}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2\sin\theta} \frac{\partial}{\partial{\theta}} \left(\sin \theta \frac{\partial u}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{r^2\sin^2 \theta} \frac{\partial^{2}{u}}{\partial{\phi}^{2}} \end{equation}
式 1 乘 $r^2$ 得
\begin{equation} \left(r^2 \boldsymbol{\nabla}^2 _r + k^2 r^2 - \boldsymbol{\nabla}^2 _\Omega \right) f = 0 \end{equation}
注意前两项只含有 $r$ 的偏导,第三项只含有 $\theta,\phi$ 的偏导.用分离变量法,令 $f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = R(r) Y( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} )$,则分离后的角向方程和径向方程分别为
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}^2 _{\Omega} Y( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) = -l(l+1) Y( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \end{equation}
\begin{equation} \left[r^2 \boldsymbol{\nabla}^2 _r + k^2 r^2 - l(l+1) \right] R(r) = 0 \end{equation}
我们已知角向的解为球谐函数 $Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} )$.而径向方程比普拉斯方程中的(式 6 )多出了一项 $k^2r^2$,使用变量代换 $\rho = kr$ 得
\begin{equation} \rho^2 \frac{\partial^{2}{R}}{\partial{\rho}^{2}} + 2\rho \frac{\partial R}{\partial \rho} + [\rho^2 - l(l+1)] R = 0 \end{equation}
该方程被称为球贝塞尔方程,两个线性无关解分别是第一和第二类球贝塞尔函数 $j_l(\rho)$ 和 $y_l(\rho)$.

   综上,方程的通解为

\begin{equation} f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \sum_{l,m} [A_l j_l(kr) + B_l y_l(kr)] Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \end{equation}


1. ^ 一般地,$k$ 可以是复数,所以 $k^2$ 也可以是负实数.

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