球坐标系中的角动量算符

             

预备知识 角动量(量子)

   本文使用原子单位制.在量子力学中,我们一般把角动量算符放在球坐标中表示.把轨道角动量算符在直角坐标系中的定义(式 2 )通过链式法则用球坐标表示(留作习题).

\begin{equation} L_x = \mathrm{i} \left(\sin\phi \frac{\partial}{\partial{\theta}} + \cot\theta\cos\phi \frac{\partial}{\partial{\phi}} \right) \end{equation}
\begin{equation} L_y = \mathrm{i} \left(-\cos\phi \frac{\partial}{\partial{\theta}} + \cot\theta \sin\phi \frac{\partial}{\partial{\phi}} \right) \end{equation}
\begin{equation} L_z = - \mathrm{i} \frac{\partial}{\partial{\phi}} \end{equation}
\begin{equation} L^2 = L_x^2 + L_y^2 + L_z^2 = -\frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial}{\partial{\theta}} \left(\sin \theta \frac{\partial u}{\partial \theta} \right) - \frac{1}{\sin^2 \theta} \frac{\partial^{2}{u}}{\partial{\phi}^{2}} \end{equation}
注意 $L^2$ 恰好是球坐标系中拉普拉斯算符的角向部分(式 6 )$ \boldsymbol{\nabla}^2 _\Omega$ 的负.
\begin{equation} L^2 = - \boldsymbol{\nabla}^2 _\Omega \end{equation}
这并不奇怪,经典力学中球坐的哈密顿量可以记为(式 9
\begin{equation} H = \frac{p_r^2}{2m} + \frac{L^2}{2mr^2} + V \end{equation}
其中 $p_r = m\dot r$,$L = mr^2\dot\theta$.而量子力学的哈密顿算符在球坐标中可以用式 6 分解为
\begin{equation} H = -\frac{1}{2m} \boldsymbol{\nabla}^2 + V = \frac{- \boldsymbol{\nabla}^2 _r}{2m} +\frac{- \boldsymbol{\nabla}^2 _\Omega}{2mr^2} + V \end{equation}
这让我们很容易猜出 $p_r^2 = - \boldsymbol{\nabla}^2 _r$ 和式 5

   类比动量算符 $ \boldsymbol{\mathbf{p}} = - \mathrm{i} \boldsymbol\nabla $,我们可以定义 $ \boldsymbol\nabla _\Omega$ 满足

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{L}} = - \mathrm{i} \boldsymbol\nabla _\Omega \end{equation}
于是 $ \boldsymbol{\nabla}^2 _\Omega$ 可以看作是两个 $ \boldsymbol\nabla _\Omega$ 相乘而得.

1. 角动量算符的本征函数

预备知识 球谐函数

   我们已经知道 $L^2, L_z$ 对易且具有共同本征矢 $ \left\lvert l, m \right\rangle $,现在我们在球坐标中求解它的波函数.来看本征方程

\begin{equation} L_z \left\lvert l, m \right\rangle = m \left\lvert l, m \right\rangle \end{equation}
\begin{equation} L^2 \left\lvert l, m \right\rangle = l(l+1) \left\lvert l, m \right\rangle \end{equation}
它的解就是球谐函数 $Y_{l,m}(\theta,\phi)$.但本征波函数应该是三维的,所以任意波函数 $R(r)Y_{l,m}(\theta, \phi)$ 都是 $L^2$ 和 $L_z$ 的共同本征波函数.

致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择会员制,大量广告,内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元,我们一个星期内就能脱离亏损, 并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

         

© 小时科技 保留一切权利