无限深球势阱

                     

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预备知识 球坐标系中的定态薛定谔方程,球贝塞尔函数

   球无限深势阱的势能项可以表示为 $$ V(r)= \begin{cases} 0, & \text{若 $0\leq r\leq a$} \\ \infty, & \text{若 $r > a$} \end{cases} $$

   在球坐标系下,角度部分的解是球谐函数。对于径向方程,我们可以写出它的形式为:

\begin{equation} \left[-\frac{\hbar^2}{2mr^2} \frac{\mathrm{d}^{}{}}{\mathrm{d}{r}^{}} \left(r^2 \frac{\mathrm{d}^{}{}}{\mathrm{d}{r}^{}} \right) + \frac{l(l + 1)\hbar^2}{2mr^2}\right]R_{nl} = ER_{nl}\tag{2} \end{equation}

   球面 $r = a$ 处的边界条件为 $\Psi = 0$。

   势阱内部的径向波函数(unscaled)为球贝塞尔函数 $j_l(kr)$

   证明波函数的正交归一性。


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