梯度 梯度定理

             

预备知识 方向导数

   在方向导数中,我们推出方向导数为

\begin{equation} \frac{\partial f}{\partial n} = \boldsymbol\nabla f \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{n}}} \end{equation}

   其中 $ \boldsymbol\nabla f$ 就叫标量函数 $f$ 的梯度1.要注意当且仅当 Del 算符 $ \boldsymbol\nabla $ 作用在标量函数(即函数值是一个数而不是矢量)上时,可以称其为梯度算符.这里的 $f$ 叫做势函数.对于 $N$ 维直角坐标系中的 $N$ 元函数 $f(x_1,x_2\dots x_N)$,其梯度是一个矢量函数

\begin{equation} \boldsymbol\nabla f = \sum_{i=1}^{N} \frac{\partial f}{\partial x_i} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _i \end{equation}
其中所有的 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _i$ 组成直角坐标系的正交归一基,现在来看全微分 关系
\begin{equation} \,\mathrm{d}{f} = \sum_{i = 1}^N \frac{\partial f}{\partial x_i} \,\mathrm{d}{x_i} \end{equation}
在直角坐标系中,位置矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 的微分为
\begin{equation} \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = \sum_{i=1}^{N} \,\mathrm{d}{x_i} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _i \end{equation}
式 3 可用势函数的梯度和 $ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } $ 的内积表示
\begin{equation} \,\mathrm{d}{f} = \boldsymbol\nabla f \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } \end{equation}
由内积的几何定义可知,从某点出发,若微位移 $ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } $ 的大小不变,那么当其方向与梯度方向相同时函数增量 $ \,\mathrm{d}{f} $ 最大;二者方向垂直时,函数增量为零;二者夹角为 $\theta$ 时,函数增量等于最大值乘以 $\cos \theta$.所以梯度矢量的方向是函数 $f$ 增加最快的方向,梯度的大小等于该方向的方向导数.注意式 5 式 1 的关系可以类比一元函数的导数和微分 的关系,当函数可微时,二者等效.所以也可以把式 5 看成梯度的定义(需要对所有方向的 $ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } $ 都成立).

   现在我们也可以把全微分近似(“ 全微分式 6 )记为矢量的形式

\begin{equation} \Delta f \approx \boldsymbol\nabla f \boldsymbol\cdot \Delta \boldsymbol{\mathbf{r}} \end{equation}

1. 极坐标,柱坐标和球坐标中的梯度算符

预备知识 正交曲线坐标系

   我们先写出极坐标中函数 $f(r,\theta)$ 的全微分为

\begin{equation} \,\mathrm{d}{f} = \frac{\partial f}{\partial r} \,\mathrm{d}{r} + \frac{\partial f}{\partial \theta} \,\mathrm{d}{\theta} \end{equation}
再写出极坐标中的微位移为
\begin{equation} \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = \,\mathrm{d}{r} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + r \,\mathrm{d}{\theta} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} \end{equation}
所以为了满足梯度的定义式 5 ,我们可以把式 7 写为
\begin{equation} \,\mathrm{d}{f} = \frac{\partial f}{\partial r} \,\mathrm{d}{r} + \frac1r \frac{\partial f}{\partial \theta} \cdot r \,\mathrm{d}{\theta} \end{equation}
对比式 5 式 8 式 9 可以得出极坐标中的梯度算符
\begin{equation} \boldsymbol\nabla = \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} \frac{\partial}{\partial{r}} + \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} \frac1r \frac{\partial}{\partial{\theta}} \end{equation}

   同理,柱坐标中的微位移(式 11 )与函数 $f(r,\theta, z)$ 的全微分可以分别表示为

\begin{equation} \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = \,\mathrm{d}{r} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + r \,\mathrm{d}{\theta} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} + \,\mathrm{d}{z} \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \end{equation}
\begin{equation} \,\mathrm{d}{f} = \frac{\partial f}{\partial r} \,\mathrm{d}{r} + \frac1r \frac{\partial f}{\partial \theta} \cdot r \,\mathrm{d}{\theta} + \frac{\partial f}{\partial z} \,\mathrm{d}{z} \end{equation}
所以柱坐标中的梯度算符
\begin{equation} \boldsymbol\nabla = \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} \frac{\partial}{\partial{r}} + \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} \frac1r \frac{\partial}{\partial{\theta}} + \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \frac{\partial}{\partial{z}} \end{equation}

   球坐标也类似,球坐标中的微位移(式 5 )与 $f(r,\theta,\phi)$ 的全微分可以分别表示为

\begin{equation} \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = \,\mathrm{d}{r} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + r \,\mathrm{d}{\theta} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} + r\sin\theta \,\mathrm{d}{\phi} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} \end{equation}
\begin{equation} \,\mathrm{d}{f} = \frac{\partial f}{\partial r} \,\mathrm{d}{r} + \frac1r \frac{\partial f}{\partial \theta} \cdot r \,\mathrm{d}{\theta} + \frac{1}{ r\sin\theta} \frac{\partial f}{\partial \phi} \cdot r\sin\theta \,\mathrm{d}{\phi} \end{equation}
所以球坐标中的梯度算符
\begin{equation} \boldsymbol\nabla = \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} \frac{\partial}{\partial{r}} + \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} \frac1r \frac{\partial}{\partial{\theta}} + \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} \frac{1}{ r\sin\theta} \frac{\partial}{\partial{\phi}} \end{equation}

2. 梯度定理

预备知识 线积分,牛顿—莱布尼兹公式

   梯度定理:一个标量函数 $f( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 的梯度延任何路径从起点 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _i$ 到终点 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _f$(角标 $i$ 表示 initial,$f$ 表示 final) 线积分的结果等于该函数在末位置的函数值减去初位置的函数值.可以用下式表示

\begin{equation} \int_{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _i}^{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _f} \boldsymbol\nabla f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = f( \boldsymbol{\mathbf{r}} _f) - f( \boldsymbol{\mathbf{r}} _i) \end{equation}
梯度定理可以看做是牛顿—莱布尼兹公式
\begin{equation} \int_a^b f'(x) \,\mathrm{d}{x} = f(b) - f(a) \end{equation}
的拓展,即把一元函数拓展为多元函数,把导函数拓展为梯度函数(在一维情况下,式 17 变为式 18 ).所以前者的证明也可以类比后者的证明.

梯度定理的证明

   我们先把式 17 路径分为许多首尾相接的小段曲线,则整段曲线的线积分等于所有小曲线的线积分之和.假设曲线处处光滑,如果每段小曲线都足够短,就可以把它们近似看做线段,且梯度值在上面近似为常矢量.令第 $i$ 小段的起点和终点分别为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _{i0}, \boldsymbol{\mathbf{r}} _{i1}$,则第 $i$ 段的线积分可近似为

\begin{equation} \int_{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _{i0}}^{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _{i1}} \boldsymbol\nabla f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } \approx \boldsymbol\nabla f( \boldsymbol{\mathbf{r}} _i) \boldsymbol\cdot \Delta \boldsymbol{\mathbf{r}} _i \end{equation}
再利用全微分近似(式 6 ),上式等于
\begin{equation} \int_{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _{i0}}^{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _{i1}} \boldsymbol\nabla f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } \approx f( \boldsymbol{\mathbf{r}} _{i1}) - f( \boldsymbol{\mathbf{r}} _{i0}) \end{equation}
将所有小段的线积分求和得到总的线积分得(注意 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _{i1} = \boldsymbol{\mathbf{r}} _{(i+1)0}$)
\begin{equation} \begin{aligned} \int_{C} \boldsymbol\nabla f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } &= \sum_{i=1}^n \int_{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _{i0}}^{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _{i1}} \boldsymbol\nabla f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } \\ &\approx \sum_{i=1}^n [f( \boldsymbol{\mathbf{r}} _{i1}) - f( \boldsymbol{\mathbf{r}} _{i0})] = f( \boldsymbol{\mathbf{r}} _f) - f( \boldsymbol{\mathbf{r}} _i) \end{aligned} \end{equation}
最后取极限 $n\to \infty$,可使上式精确成立.证毕.

3. 梯度的逆运算

  

未完成:并不是所有矢量场都存在梯度的逆运算,链接
未完成:这部分内容可以新建词条,使用定理表述,类似于散度的逆运算.证明 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 是无旋场当且仅当它可以表示为 $ \boldsymbol\nabla V$,$V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 可以加上任意常数 $C$.

   我们通常把上面的标量函数 $f( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 叫做势函数,其地位相当于牛顿—莱布尼兹公式中的原函数.在这个类比中,既然 “对原函数求导” 对应 “对势函数求梯度”,那么不定积分对应的 “通过梯度函数求势函数” 又该如何实现呢?

   以二维的情况为例,我们可以先指定势函数在某点 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _0 (x_0,y_0)$ 的值,然后根据式 17 ,要求势函数任意一点 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} (x,y)$ 的值,只需从 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _0$ 点出发由任意路径线积分到点 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 即可得到势函数 $f( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$.

\begin{equation} f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = f( \boldsymbol{\mathbf{r}} _0) + \int_{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _0}^{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } \boldsymbol\nabla f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } \end{equation}
计算该线积分一般选取一种简单的路径:即先延从 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _0(x_0,y_0)$ 到 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _1(x, y_0)$ 的水平线段,再延从 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _1(x, y_0)$ 到 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} (x,y)$ 的竖直线段(当然也可以取中间点为 $(x_0,y)$).若把 $ \boldsymbol\nabla f$ 的两个分量 $ \partial f/\partial x , \partial f/\partial y $ 简写为 $f_x(x,y), f_y(x,y)$,分关于 $x$ 和 $y$ 的不定积分记为 $F_x(x,y), F_y(x,y)$,延两个线段的线积分(分别把 $x$ 和 $y$ 作为线积分的参数)分别为
\begin{equation} \int_{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _0}^{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _1} \boldsymbol\nabla f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = \int_{x_0}^{x} f_x(x,y_0) \,\mathrm{d}{x} + 0 = F_x(x,y_0) - F_x(x_0,y_0) \end{equation}
\begin{equation} \int_{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _1}^{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } \boldsymbol\nabla f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = \int_{y_0}^{y} f_y(x,y) \,\mathrm{d}{y} + 0 = F_y(x,y) - F_y(x,y_0) \end{equation}
代回式 22 得势函数为
\begin{equation} \begin{aligned} f(x,y) &= f(x_0,y_0) + F_x(x,y_0) - F_x(x_0,y_0) + F_y(x,y) - F_y(x,y_0) \\ &= F_y(x,y) - F_y(x,y_0) + F_x(x,y_0) + C \end{aligned} \end{equation}
其中 $C$ 为待定常数.


1. ^ 这里假设 $f$ 在某区域内处处光滑,即所有一阶偏导数处处连续.这个性质也叫可微

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