柱坐标系中的矢量算符

             

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预备知识 正交曲线坐标系中的矢量算符

   柱坐标系中标量函数 $u(r, \theta, z)$ 和矢量函数 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} (r, \theta, z)$ 的梯度,散度,旋度和拉普拉斯算符的公式如下.其中 $r$、$\theta$ 是 $xOy$ 面上的极径和极角,$z$ 是竖坐标.

   梯度

\begin{equation} \boldsymbol\nabla u = \frac{\partial u}{\partial r} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial \theta} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} + \frac{\partial u}{\partial z} \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \end{equation}
散度
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{v}} = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial{r}} (r v_r) + \frac{1}{r} \frac{\partial v_\theta}{\partial \theta} + \frac{\partial v_z}{\partial z} \end{equation}
旋度
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{v}} = \left(\frac{1}{r} \frac{\partial v_z}{\partial \theta} - \frac{\partial v_\theta}{\partial z} \right) \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + \left( \frac{\partial v_r}{\partial z} - \frac{\partial v_z}{\partial r} \right) \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} + \frac{1}{r} \left[ \frac{\partial}{\partial{r}} (r v_\theta) - \frac{\partial v_r}{\partial \theta} \right] \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \end{equation}
拉普拉斯算子
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}^2 u = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial{r}} \left(r \frac{\partial u}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^{2}{u}}{\partial{\theta}^{2}} + \frac{\partial^{2}{u}}{\partial{z}^{2}} \end{equation}

1. 推导

   位置矢量 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $ 在直角坐标系中展开为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{r}} (r, \theta, z) = r\cos\theta\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + r\sin\theta\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + z \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \end{equation}
柱坐标系中三个单位矢量 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $ 的方向被定义为每个坐标单独增加时 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 增加的方向,即以下偏导数的方向
\begin{equation} \left\{\begin{aligned} \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} }{\partial r} &= \cos\theta\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \sin\theta\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \\ \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} }{\partial \theta} &= -r\sin\theta\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + r \cos\theta\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \\ \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} }{\partial z} &= \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \end{aligned}\right. \end{equation}
将这三个矢量归一化,就得到三个单位矢量
\begin{equation} \begin{cases} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} = \cos\theta\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \sin\theta\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \\ \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} = -\sin\theta\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \cos\theta\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \\ \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} = \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \end{cases} \end{equation}

   可见柱坐标系和直角坐标系中的 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $ 相同,而 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} $ 分别是 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} $ 绕 $z$ 轴逆时针旋转 $\theta$ 角所得.所以尽管柱坐标系中的三个单位矢量的方向取决于坐标,但它们始终两两垂直.可见柱坐标系是一个正交曲线坐标系

   现在我们可以将式 5 式 6 用柱坐标中的三个单位矢量来表示.

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{r}} = r \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + z \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \end{equation}
\begin{equation} \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} }{\partial r} = \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} \qquad \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} }{\partial \theta} = r \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} \qquad \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} }{\partial z} = \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \end{equation}
未完成:这样的基本公式应该放到 “柱坐标和直角坐标的转换” 里面

   与极坐标的情况 类似,将式 7 对 $\theta$ 求偏导可以得到单位矢量的偏导

\begin{equation} \frac{\partial \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} }{\partial \theta} = \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} \qquad \frac{\partial \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} }{\partial \theta} = - \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} \qquad \frac{\partial \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} }{\partial \theta} = \boldsymbol{\mathbf{0}} \end{equation}
根据式 9 和矢量函数的全微分(链接未完成),柱坐标系中一段微小位移可记为
\begin{equation} \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} }{\partial r} \,\mathrm{d}{r} + \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} }{\partial \theta} \,\mathrm{d}{\theta} + \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} }{\partial z} \,\mathrm{d}{z} = \,\mathrm{d}{r} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + r \,\mathrm{d}{\theta} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} + \,\mathrm{d}{z} \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \end{equation}
代入式 3 式 8 即可完成推导.

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