贡献者： addis; 零穹
柱坐标系中标量函数 $u(r, \theta, z)$ 和矢量函数 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} (r, \theta, z)$ 的梯度，散度，旋度和拉普拉斯算符的公式如下。其中 $r$、$\theta$ 是 $xOy$ 面上的极径和极角，$z$ 是竖坐标。
梯度
\begin{equation}
\boldsymbol\nabla u = \frac{\partial u}{\partial r} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial \theta} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} + \frac{\partial u}{\partial z} \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ~.
\end{equation}
散度
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{v}} = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial{r}} (r v_r) + \frac{1}{r} \frac{\partial v_\theta}{\partial \theta} + \frac{\partial v_z}{\partial z} ~.
\end{equation}
旋度
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{v}} = \left(\frac{1}{r} \frac{\partial v_z}{\partial \theta} - \frac{\partial v_\theta}{\partial z} \right) \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + \left( \frac{\partial v_r}{\partial z} - \frac{\partial v_z}{\partial r} \right) \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} + \frac{1}{r} \left[ \frac{\partial}{\partial{r}} (r v_\theta) - \frac{\partial v_r}{\partial \theta} \right] \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ~.
\end{equation}
拉普拉斯算子
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}^2 u = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial{r}} \left(r \frac{\partial u}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^{2}{u}}{\partial{\theta}^{2}} + \frac{\partial^{2}{u}}{\partial{z}^{2}} ~.
\end{equation}
1. 推导
位置矢量 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $ 在直角坐标系中展开为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{r}} (r, \theta, z) = r\cos\theta\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + r\sin\theta\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + z \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ~.
\end{equation}
柱坐标系中三个单位矢量 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $ 的方向被定义为每个坐标单独增加时 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 增加的方向，即以下偏导数的方向
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
\frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} }{\partial r} &= \cos\theta\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \sin\theta\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \\
\frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} }{\partial \theta} &= -r\sin\theta\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + r \cos\theta\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \\
\frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} }{\partial z} &= \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}}
\end{aligned}\right. ~.\end{equation}
将这三个矢量归一化，就得到三个单位矢量
\begin{equation}
\begin{cases}
\hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} = \cos\theta\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \sin\theta\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \\
\hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} = -\sin\theta\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \cos\theta\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \\
\hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} = \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}}
\end{cases}~.
\end{equation}
可见柱坐标系和直角坐标系中的 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $ 相同，而 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} $ 分别是 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} $ 绕 $z$ 轴逆时针旋转 $\theta$ 角所得。所以尽管柱坐标系中的三个单位矢量的方向取决于坐标，但它们始终两两垂直。可见柱坐标系是一个正交曲线坐标系。
现在我们可以将式 5 和式 6 用柱坐标中的三个单位矢量来表示。
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{r}} = r \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + z \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ~,
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} }{\partial r} = \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} \qquad \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} }{\partial \theta} = r \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} \qquad \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} }{\partial z} = \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ~.
\end{equation}
未完成：这样的基本公式应该放到 “柱坐标和直角坐标的转换” 里面
与极坐标的情况类似，将式 7 对 $\theta$ 求偏导可以得到单位矢量的偏导
\begin{equation}
\frac{\partial \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} }{\partial \theta} = \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} \qquad
\frac{\partial \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} }{\partial \theta} = - \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} \qquad
\frac{\partial \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} }{\partial \theta} = \boldsymbol{\mathbf{0}} ~.
\end{equation}
根据
式 9 和矢量函数的全微分，柱坐标系中一段微小位移可记为
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} }{\partial r} \,\mathrm{d}{r} + \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} }{\partial \theta} \,\mathrm{d}{\theta} + \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} }{\partial z} \,\mathrm{d}{z} = \,\mathrm{d}{r} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + r \,\mathrm{d}{\theta} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} + \,\mathrm{d}{z} \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ~,
\end{equation}
代入
式 3 到
式 8 即可完成推导。
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损， 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。