柱坐标系中的矢量算符

贡献者： addis; 零穹

本文处于草稿阶段。

预备知识　正交曲线坐标系中的矢量算符

　　柱坐标系中标量函数 $u (r, θ, z)$ 和矢量函数 $v (r, θ, z)$ 的梯度，散度，旋度和拉普拉斯算符的公式如下。其中 $r$ 、 $θ$ 是 $x O y$ 面上的极径和极角， $z$ 是竖坐标。

　　梯度

\begin{matrix} (1) & \nabla u = \frac{\partial u}{\partial r} \hat{r} + \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial θ} \hat{θ} + \frac{\partial u}{\partial z} \hat{z} . \end{matrix}

散度

\begin{matrix} (2) & \nabla \cdot v = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (r v_{r}) + \frac{1}{r} \frac{\partial v_{θ}}{\partial θ} + \frac{\partial v_{z}}{\partial z} . \end{matrix}

旋度

\begin{matrix} (3) & \nabla \times v = (\frac{1}{r} \frac{\partial v_{z}}{\partial θ} - \frac{\partial v_{θ}}{\partial z}) \hat{r} + (\frac{\partial v_{r}}{\partial z} - \frac{\partial v_{z}}{\partial r}) \hat{θ} + \frac{1}{r} [\frac{\partial}{\partial r} (r v_{θ}) - \frac{\partial v_{r}}{\partial θ}] \hat{z} . \end{matrix}

拉普拉斯算子

\begin{matrix} (4) & \nabla^{2} u = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (r \frac{\partial u}{\partial r}) + \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2} u}{\partial θ^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}} . \end{matrix}

1. 推导

　　位置矢量 $\hat{r}$ 在直角坐标系中展开为

\begin{matrix} (5) & r (r, θ, z) = r \cos θ \hat{x} + r \sin θ \hat{y} + z \hat{z} . \end{matrix}

柱坐标系中三个单位矢量

\hat{r}, \hat{θ}, \hat{z}

的方向被定义为每个坐标单独增加时

r

增加的方向，即以下偏导数的方向

\begin{matrix} (6) & {\begin{aligned} \frac{\partial r}{\partial r} & = \cos θ \hat{x} + \sin θ \hat{y} \\ \frac{\partial r}{\partial θ} & = - r \sin θ \hat{x} + r \cos θ \hat{y} \\ \frac{\partial r}{\partial z} & = \hat{z} \end{aligned} . \end{matrix}

将这三个矢量归一化，就得到三个单位矢量

\begin{matrix} (7) & {\begin{cases} \hat{r} = \cos θ \hat{x} + \sin θ \hat{y} \\ \hat{θ} = - \sin θ \hat{x} + \cos θ \hat{y} \\ \hat{z} = \hat{z} \end{cases} . \end{matrix}

　　可见柱坐标系和直角坐标系中的 $\hat{z}$ 相同，而 $\hat{r}, \hat{θ}$ 分别是 $\hat{x}, \hat{y}$ 绕 $z$ 轴逆时针旋转 $θ$ 角所得。所以尽管柱坐标系中的三个单位矢量的方向取决于坐标，但它们始终两两垂直。可见柱坐标系是一个正交曲线坐标系。

　　现在我们可以将式 5 和式 6 用柱坐标中的三个单位矢量来表示。

\begin{matrix} (8) & r = r \hat{r} + z \hat{z}, \end{matrix}

\begin{matrix} (9) & \frac{\partial r}{\partial r} = \hat{r} \frac{\partial r}{\partial θ} = r \hat{θ} \frac{\partial r}{\partial z} = \hat{z} . \end{matrix}

未完成：这样的基本公式应该放到 “柱坐标和直角坐标的转换” 里面

　　与极坐标的情况类似，将式 7 对 $θ$ 求偏导可以得到单位矢量的偏导

\begin{matrix} (10) & \frac{\partial \hat{r}}{\partial θ} = \hat{θ} \frac{\partial \hat{θ}}{\partial θ} = - \hat{r} \frac{\partial \hat{z}}{\partial θ} = 0 . \end{matrix}

根据式 9 和矢量函数的全微分，柱坐标系中一段微小位移可记为

\begin{matrix} (11) & d r = \frac{\partial r}{\partial r} d r + \frac{\partial r}{\partial θ} d θ + \frac{\partial r}{\partial z} d z = d r \hat{r} + r d θ \hat{θ} + d z \hat{z}, \end{matrix}

代入式 3 到式 8 即可完成推导。

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