散度的逆运算

             

预备知识 矢量算符运算法则

定理 1 

   令 $V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 为任意标量场,则 $V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 总能表示为一个矢量场 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 的散度,即

\begin{equation} V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \end{equation}
且 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 可以通过以下公式计算:
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \equiv \frac{1}{4\pi}\int \frac{V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ') \boldsymbol{\mathbf{R}} }{R^3} \,\mathrm{d}{V'} \end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} , \boldsymbol{\mathbf{r}} '$ 分别是坐标原点指向三维直角坐标 $(x, y, z)$ 和 $(x', y', z')$ 的位置矢量,$ \boldsymbol{\mathbf{R}} = \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '$,$R = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{R}} \right\rvert $,体积分 $\int \,\mathrm{d}{V'} = \int \,\mathrm{d}{x'} \,\mathrm{d}{y'} \,\mathrm{d}{z'} $ 的区域是整个三维空间或者空间中 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 不为零的区域,$ \boldsymbol\times $ 表示矢量叉乘

   若在式 2 右边加上任意无散场 $ \boldsymbol{\mathbf{H}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$,定理同样成立.

   式 2 可以看做是散度运算的逆运算,类似于不定积分是求导的逆运算.$ \boldsymbol{\mathbf{H}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 则相当于不定积分中的任意常数.旋度也有类似的逆运算

   该定理在物理中可应用于电场和电荷的关系,定理中的 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 可看做电场 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} $,而 $V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 可看做电荷密度 $\rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 除以真空介电常数 $\epsilon_0$.于是式 1 就是电场的高斯定律(式 2 ),式 2 就是库伦定律(式 6 ).

定理 2 

   令 $V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 为一个标量场,则式 2 得到的 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 是一个无旋场,即 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{F}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} $.

   作为静电学的一个应用,如果仍然将 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 看做电场,那么该定理说明由静止电荷产生的电场是无旋场.

1. 证明定理 1

   对式 2 求散度,得

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{1}{4\pi}\int \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \frac{V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ') \boldsymbol{\mathbf{R}} }{R^3} \,\mathrm{d}{V'} \end{equation}
使用式 3 ,得
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \frac{V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ') \boldsymbol{\mathbf{R}} }{R^3} = [ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ')] \frac{ \boldsymbol{\mathbf{R}} }{R^3} + V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ') \left( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \frac{ \boldsymbol{\mathbf{R}} }{R^3} \right) \end{equation}
由于 $V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ')$ 是 $x', y', z'$ 而不是 $x, y, z$ 的函数,右边第一项中 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ') = 0$.第二项中(链接未完成)
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \frac{ \boldsymbol{\mathbf{R}} }{R^3} = 4\pi \delta( \boldsymbol{\mathbf{R}} ) \end{equation}
所以式 4 代入式 3
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \int \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ') \delta( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ') \,\mathrm{d}{V'} = V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \end{equation}
证毕.

2. 证明定理 2

   对式 2 求旋度,得

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \equiv \frac{1}{4\pi}\int \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \frac{V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ') \boldsymbol{\mathbf{R}} }{R^3} \,\mathrm{d}{V'} \end{equation}
式 5
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \frac{V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ') \boldsymbol{\mathbf{R}} }{R^3} = \boldsymbol\nabla V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ') \boldsymbol\times \frac{ \boldsymbol{\mathbf{R}} }{R^3} + V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ') \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \frac{ \boldsymbol{\mathbf{R}} }{R^3} \end{equation}
由于 $V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ')$ 是 $x', y', z'$ 而不是 $x, y, z$ 的函数,右边第一项中 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ') = \boldsymbol{\mathbf{0}} $,第二项中(链接未完成)
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \frac{ \boldsymbol{\mathbf{R}} }{R^3} = \boldsymbol{\mathbf{0}} \end{equation}
所以式 7 中积分为零.证毕.

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