贡献者： addis
定理 1
令 $V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 为任意标量场，则 $V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 总能表示为一个矢量场 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 的散度，即
\begin{equation}
V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )~,
\end{equation}
且 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 可以通过以下公式计算：
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \equiv \frac{1}{4\pi}\int \frac{V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ') \boldsymbol{\mathbf{R}} }{R^3} \,\mathrm{d}{V'} ~.
\end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} , \boldsymbol{\mathbf{r}} '$ 分别是坐标原点指向三维直角坐标 $(x, y, z)$ 和 $(x', y', z')$ 的位置矢量，$ \boldsymbol{\mathbf{R}} = \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '$，$R = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{R}} \right\rvert $，体积分 $\int \,\mathrm{d}{V'} = \int \,\mathrm{d}{x'} \,\mathrm{d}{y'} \,\mathrm{d}{z'} $ 的区域是整个三维空间或者空间中 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 不为零的区域，$ \boldsymbol\times $ 表示
矢量叉乘。
若在式 2 右边加上任意无散场 $ \boldsymbol{\mathbf{H}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$，定理同样成立。
式 2 可以看做是散度运算的逆运算，类似于不定积分是求导的逆运算。$ \boldsymbol{\mathbf{H}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 则相当于不定积分中的任意常数。旋度也有类似的逆运算。
该定理在物理中可应用于电场和电荷的关系，定理中的 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 可看做电场 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} $，而 $V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 可看做电荷密度 $\rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 除以真空介电常数 $\epsilon_0$。于是式 1 就是电场的高斯定律（式 2 ），式 2 就是库仑定律（式 6 ）。
定理 2
令 $V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 为一个标量场，则式 2 得到的 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 是一个无旋场，即 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{F}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} $。
作为静电学的一个应用，如果仍然将 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 看做电场，那么该定理说明由静止电荷产生的电场是无旋场。
1. 证明定理 1
对式 2 求散度，得
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{1}{4\pi}\int \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \frac{V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ') \boldsymbol{\mathbf{R}} }{R^3} \,\mathrm{d}{V'} ~.
\end{equation}
使用
式 3 ，得
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \frac{V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ') \boldsymbol{\mathbf{R}} }{R^3} = [ \boldsymbol\nabla V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ')] \frac{ \boldsymbol{\mathbf{R}} }{R^3} + V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ') \left( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \frac{ \boldsymbol{\mathbf{R}} }{R^3} \right) ~.
\end{equation}
由于 $V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ')$ 是 $x', y', z'$ 而不是 $x, y, z$ 的函数，右边第一项中 $ \boldsymbol\nabla V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ') = 0$。第二项中（
式 5 ）
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \frac{ \boldsymbol{\mathbf{R}} }{R^3} = 4\pi \delta( \boldsymbol{\mathbf{R}} )~,
\end{equation}
所以
式 4 代入
式 3 得
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \int V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ') \delta( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ') \,\mathrm{d}{V'} = V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )~,
\end{equation}
证毕。
2. 证明定理 2
对式 2 求旋度，得
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \equiv \frac{1}{4\pi}\int \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \frac{V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ') \boldsymbol{\mathbf{R}} }{R^3} \,\mathrm{d}{V'} ~.
\end{equation}
由
式 5 得
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \frac{V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ') \boldsymbol{\mathbf{R}} }{R^3} = \boldsymbol\nabla V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ') \boldsymbol\times \frac{ \boldsymbol{\mathbf{R}} }{R^3} + V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ') \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \frac{ \boldsymbol{\mathbf{R}} }{R^3}~.
\end{equation}
由于 $V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ')$ 是 $x', y', z'$ 而不是 $x, y, z$ 的函数，右边第一项中 $ \boldsymbol\nabla V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ') = \boldsymbol{\mathbf{0}} $，第二项中，
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \frac{ \boldsymbol{\mathbf{R}} }{R^3} = \boldsymbol{\mathbf{0}} ~,
\end{equation}
所以
式 7 中积分为零。证毕。
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