散度的逆运算

贡献者： addis

预备知识　矢量算符运算法则

定理 1　

　　令 $V (r)$ 为任意标量场，则 $V (r)$ 总能表示为一个矢量场 $F (r)$ 的散度，即

\begin{matrix} (1) & V (r) = \nabla \cdot F (r), \end{matrix}

且

F (r)

可以通过以下公式计算：

\begin{matrix} (2) & F (r) \equiv \frac{1}{4 π} \int \frac{V (r^{'}) R}{R^{3}} d V^{'} . \end{matrix}

其中

r, r^{'}

分别是坐标原点指向三维直角坐标

(x, y, z)

和

(x^{'}, y^{'}, z^{'})

的位置矢量，

R = r - r^{'}

，

R = | R |

，体积分

\int d V^{'} = \int d x^{'} d y^{'} d z^{'}

的区域是整个三维空间或者空间中

F

不为零的区域，

\times

表示矢量叉乘。

　　若在式 2 右边加上任意无散场 $H (r)$ ，定理同样成立。

　　式 2 可以看做是散度运算的逆运算，类似于不定积分是求导的逆运算。 $H (r)$ 则相当于不定积分中的任意常数。旋度也有类似的逆运算。

　　该定理在物理中可应用于电场和电荷的关系，定理中的 $F$ 可看做电场 $E$ ，而 $V (r)$ 可看做电荷密度 $ρ (r)$ 除以真空介电常数 $ϵ_{0}$ 。于是式 1 就是电场的高斯定律（式 2 ），式 2 就是库仑定律（式 6 ）。

定理 2　

　　令 $V (r)$ 为一个标量场，则式 2 得到的 $F (r)$ 是一个无旋场，即 $\nabla \times F = 0$ 。

　　作为静电学的一个应用，如果仍然将 $F$ 看做电场，那么该定理说明由静止电荷产生的电场是无旋场。

1. 证明定理 1

　　对式 2 求散度，得

\begin{matrix} (3) & \nabla \cdot F (r) = \frac{1}{4 π} \int \nabla \cdot \frac{V (r^{'}) R}{R^{3}} d V^{'} . \end{matrix}

使用式 3 ，得

\begin{matrix} (4) & \nabla \cdot \frac{V (r^{'}) R}{R^{3}} = [\nabla V (r^{'})] \frac{R}{R^{3}} + V (r^{'}) (\nabla \cdot \frac{R}{R^{3}}) . \end{matrix}

由于

V (r^{'})

是

x^{'}, y^{'}, z^{'}

而不是

x, y, z

的函数，右边第一项中

\nabla V (r^{'}) = 0

。第二项中（式 5 ）

\begin{matrix} (5) & \nabla \cdot \frac{R}{R^{3}} = 4 π δ (R), \end{matrix}

所以式 4 代入式 3 得

\begin{matrix} (6) & \nabla \cdot F (r) = \int V (r^{'}) δ (r - r^{'}) d V^{'} = V (r), \end{matrix}

证毕。

2. 证明定理 2

　　对式 2 求旋度，得

\begin{matrix} (7) & \nabla \times F (r) \equiv \frac{1}{4 π} \int \nabla \times \frac{V (r^{'}) R}{R^{3}} d V^{'} . \end{matrix}

由式 5 得

\begin{matrix} (8) & \nabla \times \frac{V (r^{'}) R}{R^{3}} = \nabla V (r^{'}) \times \frac{R}{R^{3}} + V (r^{'}) \nabla \times \frac{R}{R^{3}} . \end{matrix}

由于

V (r^{'})

是

x^{'}, y^{'}, z^{'}

而不是

x, y, z

的函数，右边第一项中

\nabla V (r^{'}) = 0

，第二项中，

\begin{matrix} (9) & \nabla \times \frac{R}{R^{3}} = 0, \end{matrix}

所以式 7 中积分为零。证毕。

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