贡献者： addis
我们已经知道了矢量基底的概念，如果 $N$ 维空间中一组矢量基底中的每个矢量模长都为 $1$ 且每两个矢量都正交，则我们把这组基底称为正交归一基（orthonormal bases），也叫单位正交基。若把这组正交归一基记为 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _1, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _2\dots \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _N$，则正交归一可以用内积表示为
\begin{equation}
\hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _i \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _j = \delta_{ij} ~,\qquad (i,j = 1,\dots, N)~.
\end{equation}
其中 $\delta_{ij}$ 是克罗内克 delta 函数
。简单来说就是任意两个不同的基底点乘为零，以及任意基底与自身的点乘为 1。
单位正交基是某个空间的基底，所以该空间中任意矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 在单位正交基上的展开
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{v}} = \sum_{i = 1}^N c_i \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _i ~,\qquad (i = 1,\dots, N)~.
\end{equation}
其中 $c_i$ 就是 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 的各个坐标。由正交归一性可以证明（见下文）
\begin{equation}
c_i = \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _i ~,\qquad (i = 1,\dots, N)~.
\end{equation}
或者把
式 2 记为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{v}} = \sum_{i = 1}^N ( \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _i) \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _i~, \qquad (i = 1,\dots, N)~.
\end{equation}
最常见的例子就是几何矢量在直角坐标系的 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $ 三个单位正交矢量上的展开：
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{v}} = ( \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} )\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + ( \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} )\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + ( \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} )\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} = x \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + y \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + z \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ~.
\end{equation}
1. 证明
我们来证明式 3 ：用 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _k$ 同时乘以式 2 两边，得
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _k = \sum_{i = 1}^N c_i \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _i \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _k = \sum_{i = 1}^N c_i \delta_{ik} = c_k ~,\qquad (k = 1, \dots, N)~.
\end{equation}
最后一步使用了
式 2 。证毕。
式 6 的过程可以看作是用 “点乘 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _k$” 的操作把式 6 求和中需要的一项筛选出来。注意只有使用正交归一基底才可以进行这样的筛选。一个反例是斜坐标系（例 2 ）不能使用式 2 计算坐标，因为它的基底不正交。
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