正交归一基底(几何向量)

                     

贡献者: addis; Giacomo

  • 本文处于草稿阶段。
预备知识 几何矢量的基底和坐标,几何矢量内积

   我们已经知道了矢量基底的概念,如果 $N$ 维空间中一组矢量基底中的每个矢量模长都为 $1$ 且每两个矢量都正交,则我们把这组基底称为正交归一基(orthonormal bases),也叫单位正交基。若把这组正交归一基记为 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _1, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _2\dots \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _N$,则正交归一可以用内积表示为

\begin{equation} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _i \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _j = \delta_{ij} ~,\qquad (i,j = 1,\dots, N)~. \end{equation}
其中 $\delta_{ij}$ 是克罗内克 delta 函数。简单来说就是任意两个不同的基底点乘为零,以及任意基底与自身的点乘为 1。

   单位正交基是某个空间的基底,所以该空间中任意矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 在单位正交基上的展开

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} = \sum_{i = 1}^N c_i \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _i ~,\qquad (i = 1,\dots, N)~. \end{equation}
其中 $c_i$ 就是 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 的各个坐标。由正交归一性可以证明(见下文)
\begin{equation} c_i = \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _i ~,\qquad (i = 1,\dots, N)~. \end{equation}
或者把式 2 记为
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} = \sum_{i = 1}^N ( \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _i) \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _i~, \qquad (i = 1,\dots, N)~. \end{equation}

   最常见的例子就是几何矢量在直角坐标系的 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $ 三个单位正交矢量上的展开:

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} = ( \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} )\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + ( \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} )\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + ( \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} )\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} = x \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + y \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + z \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ~. \end{equation}

证明

   我们来证明式 3 :用 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _k$ 同时乘以式 2 两边,得

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _k = \sum_{i = 1}^N c_i \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _i \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _k = \sum_{i = 1}^N c_i \delta_{ik} = c_k ~,\qquad (k = 1, \dots, N)~. \end{equation}
最后一步使用了式 2 。证毕。

   式 6 的过程可以看作是用 “点乘 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _k$” 的操作把式 6 求和中需要的一项筛选出来。注意只有使用正交归一基底才可以进行这样的筛选。一个反例是斜坐标系(例 2 )不能使用式 2 计算坐标,因为它的基底不正交。

1. 施密特正交归一化

   若在 $M$ 维矢量空间中任意给出 $N \leqslant M$ 个线性无关的矢量,如何得到一组正交归一化的基底呢?我们可以用施密特正交归一化(Schmidt orthonormalization)。先看一个二维的例子

例 1 二维空间中的几何矢量

   已知两个几何矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1, \boldsymbol{\mathbf{v}} _2$ 坐标分别为 $(2, 1)$,$(1, 2)$。这两个矢量不共线,说明它们线性无关。但容易看出它们既不归一也不正交,下面来进行施密特正交归一化。

   先把 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1$ 归一化,并记为 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} _1$

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{u}} _1 = \frac{ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{v}} _1 \right\rvert } = \frac{1}{\sqrt{5}} (2, 1)~. \end{equation}
然后,用内积来计算 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _2$ 在 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1$ 方向的投影长度
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} _2 \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{u}} _1 = \frac{4}{\sqrt{5}}~, \end{equation}
所以 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _2$ 在平行于 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1$ 方向的分量为
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} _2^{||} = ( \boldsymbol{\mathbf{v}} _2 \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{u}} _1) \boldsymbol{\mathbf{u}} _1 = \frac{4}{5} (2, 1)~. \end{equation}
将 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _2$ 减去和 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1$ 平行的分量,就是和 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1$ 垂直的分量
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} _2^\bot = \boldsymbol{\mathbf{v}} _2 - \boldsymbol{\mathbf{v}} _2^{||} = \left(-\frac35, \frac65 \right) ~, \end{equation}
归一化并记为
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{u}} _2 = \frac{ \boldsymbol{\mathbf{v}} _2^\bot}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{v}} _2^\bot \right\rvert } = \frac{1}{3\sqrt{5}} (-3, 6)~. \end{equation}
现在可以验证,基底 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} _1$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} _2$ 是正交归一的,即 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{u}} _1 \right\rvert = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{u}} _2 \right\rvert = 1$,且 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} _1 \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{u}} _2 = 0$。

   若给出 $M$ 维矢量空间中的 $N$ 个($N \leqslant M$)线性无关矢量

  1. 将第 1 个矢量归一化得到第 1 个基底
  2. 将第 2 个矢量分解为与第 1 个矢量平行和垂直的两个分量,并将垂直分量归一化得到第 2 个基底
  3. 将第 3 个矢量分解为三个部分,即分别平行于前两个基底的分量和一个垂直分量,并将垂直分量归一化得到第 3 个基底
  4. 对第 $n = 4, \dots , N$ 个基底重复该步骤,得到第 $n$ 个基底

   用公式来表示这个过程,就是:

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} _1^\bot = \boldsymbol{\mathbf{v}} _1~. \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{u}} _i = \frac{ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i^\bot}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{v}} _i^\bot \right\rvert } \qquad (i = 1, \dots ,N)~, \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} _i^{||} = \sum _{j=1}^{i-1} ( \boldsymbol{\mathbf{v}} _i \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{u}} _j) \boldsymbol{\mathbf{u}} _j \qquad (i = 2, \dots N)~, \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} _i^\bot = \boldsymbol{\mathbf{v}} _i - \boldsymbol{\mathbf{v}} _i^{||} \qquad (i = 2, \dots N)~. \end{equation}

习题 1 

   对三维空间中的矢量 $(2, 1, 1)$,$(1, 2, 1)$ 和 $(1, 1, 2)$ 进行施密特正交归一化。

推导

   这里来解释式 14 式 15 。我们假设已经知道 $i-1$ 个正交归一的矢量,由于 $N$ 维空间中必然存在 $N$ 个正交归一基底,我们可以设剩下 $u_i$ 的也已经知道(或者可以任意取)。于是 $v_i$ 可以用基底展开为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} _i = \sum _{j=1}^N c_j \boldsymbol{\mathbf{u}} _j~. \end{equation}
式 14 得到前 $i-i$ 项之和
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} _i^{||} = \sum _{j=1}^{i-1} c_j \boldsymbol{\mathbf{u}} _j~, \end{equation}
所以 autoref{eq_OrNrB_7} 就是第 $i$ 项到第 $N$ 项之和
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} _i^\bot = \sum _{j=i}^{N} c_j \boldsymbol{\mathbf{u}} _j~. \end{equation}
所以对 $j = 1, \dots , i-1$,都有 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i^\bot \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{u}} _j = 0$。也就是说和已有的 $i-1$ 个基底都正交。


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