正交归一基底

             

预备知识 几何矢量的基底和坐标,几何矢量内积

   我们已经知道了矢量基底的概念,如果 $N$ 维空间中一组矢量基底中的每个矢量模长都为 $1$ 且每两个矢量都正交,则我们把这组基底称为正交归一基(orthonormal bases),也叫单位正交基.若把这组正交归一基记为 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _1, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _2\dots \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _N$,则正交归一可以用内积表示为

\begin{equation} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _i \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _j = \delta_{ij} \qquad (i,j = 1,\dots, N) \end{equation}
其中 $\delta_{ij}$ 是克罗内克 delta 函数.简单来说就是任意两个不同的基底点乘为零,以及任意基底与自身的点成为 1.

   单位正交基是某个空间的基底,所以该空间中任意矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 在单位正交基上的展开

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} = \sum_{i = 1}^N c_i \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _i \qquad (i = 1,\dots, N) \end{equation}
其中 $c_i$ 就是 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 的各个坐标.由正交归一性可以证明(见下文)
\begin{equation} c_i = \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _i \qquad (i = 1,\dots, N) \end{equation}
或者把式 2 记为
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} = \sum_{i = 1}^N ( \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _i) \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _i \qquad (i = 1,\dots, N) \end{equation}

   最常见的例子就是几何矢量在直角坐标系的 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $ 三个单位正交矢量上的展开:

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} = ( \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} )\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + ( \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} )\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + ( \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} )\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} = x \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + y \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + z \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \end{equation}

1. 证明

   我们来证明式 3 :用 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _k$ 同时乘以式 2 两边,得

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _k = \sum_{i = 1}^N c_i \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _i \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _k = \sum_{i = 1}^N c_i \delta_{ik} = c_k \qquad (k = 1, \dots, N) \end{equation}
最后一步使用了式 2 .证毕.

   式 6 的过程可以看作是用 “点乘 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _k$” 的操作把式 6 求和中需要的一项筛选出来.注意只有使用正交归一基底才可以进行这样的筛选.一个反例是斜坐标系(例 2 )不能使用式 2 计算坐标,因为它的基底不正交.

致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择会员制,大量广告,内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元,我们一个星期内就能脱离亏损, 并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

         

© 小时科技 保留一切权利