正交归一基底

贡献者： Giacomo; addis

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预备知识　基底（线性代数），内积、内积空间

未完成：目前写的是有限维度版本，需要调整成一般的内积空间

1. 正交归一基底

　　我们已经知道了向量基底的概念，如果内积空间中一组向量基底中的每个向量模长都为 $1$ 且每两个向量都正交，则我们把这组基底称为正交归一基底（orthonormal bases），也叫单位正交基。若把这组正交归一基底记为 $x_{1}, x_{2} \dots x_{N}$ ，则正交归一可以用内积表示为

\begin{matrix} (1) & ⟨ x_{i}, x_{j} ⟩ = δ_{i j}, i, j = 1, \dots, N . \end{matrix}

其中

δ_{i j}

是克罗内克 delta 函数。简单来说就是任意两个不同的基底内积为零，以及任意基底与自身的内积为 1。

　　单位正交基是某个空间的基底，所以该空间中任意向量 $v$ 在单位正交基上的展开

\begin{matrix} (2) & v = \sum_{i = 1}^{N} c_{i} x_{i}, i = 1, \dots, N . \end{matrix}

其中

c_{i}

就是

v

的各个坐标。由正交归一性可以证明（见下文）

\begin{matrix} (3) & c_{i} = ⟨ v, x_{i} ⟩, i = 1, \dots, N . \end{matrix}

或者把式 2 记为

\begin{matrix} (4) & v = \sum_{i = 1}^{N} (⟨ v, x_{i} ⟩) x_{i}, i = 1, \dots, N . \end{matrix}

　　最常见的例子就是几何向量在直角坐标系的 $x, y, z$ 三个单位正交向量上的展开：

\begin{matrix} (5) & v = (⟨ v, x ⟩) x + (⟨ v, y ⟩) y + (⟨ v, z ⟩) z = x x + y y + z z . \end{matrix}

证明

　　我们来证明式 3 ：用 $x_{k}$ 同时乘以式 2 两边，得

\begin{matrix} (6) & ⟨ v, x_{k} ⟩ = \sum_{i = 1}^{N} c_{i} ⟨ x_{i}, x_{k} ⟩ = \sum_{i = 1}^{N} c_{i} δ_{i k} = c_{k}, k = 1, \dots, N . \end{matrix}

最后一步使用了式 2 。证毕。

　　式 6 的过程可以看作是用 “与 $x_{k}$ 内积” 的操作把式 6 求和中需要的一项筛选出来。注意只有使用正交归一基底才可以进行这样的筛选。一个反例是斜坐标系（例 2 ）不能使用式 2 计算坐标，因为它的基底不正交。

2. 施密特正交归一化

未完成：目前写的是有限维度版本，需要增加无限维度的情况

　　若在 $M$ 维向量空间中任意给出 $N ⩽ M$ 个线性无关的向量，如何得到一组正交归一化的基底呢？我们可以用施密特正交归一化（Schmidt orthonormalization）。先看一个二维的例子

例 1　二维空间中的几何向量

　　已知两个几何向量 $v_{1}, v_{2}$ 坐标分别为 $(2, 1)$ ， $(1, 2)$ 。这两个向量不共线，说明它们线性无关。但容易看出它们既不归一也不正交，下面来进行施密特正交归一化。

　　先把 $v_{1}$ 归一化，并记为 $u_{1}$

\begin{matrix} (7) & u_{1} = \frac{v_{1}}{‖ v_{1} ‖} = \frac{1}{\sqrt{5}} (2, 1) . \end{matrix}

然后，用内积来计算

v_{2}

在

v_{1}

方向的投影长度

\begin{matrix} (8) & ⟨ v_{2}, u_{1} ⟩ = \frac{4}{\sqrt{5}}, \end{matrix}

所以

v_{2}

在平行于

v_{1}

方向的分量为

\begin{matrix} (9) & v_{2}^{∥} = (⟨ v_{2}, u_{1} ⟩) u_{1} = \frac{4}{5} (2, 1) . \end{matrix}

将

v_{2}

减去和

v_{1}

平行的分量，就是和

v_{1}

垂直的分量

\begin{matrix} (10) & v_{2}^{⊥} = v_{2} - v_{2}^{∥} = (- \frac{3}{5}, \frac{6}{5}), \end{matrix}

归一化并记为

\begin{matrix} (11) & u_{2} = \frac{v_{2}^{⊥}}{‖ v_{2}^{⊥} ‖} = \frac{1}{3 \sqrt{5}} (- 3, 6) . \end{matrix}

现在可以验证，基底

u_{1}

和

u_{2}

是正交归一的，即

‖ u_{1} ‖ = ‖ u_{2} ‖ = 1

，且

⟨ u_{1}, u_{2} ⟩ = 0

。

　　若给出 $M$ 维向量空间中的 $N$ 个（ $N ⩽ M$ ）线性无关向量

将第 1 个向量归一化得到第 1 个基底
将第 2 个向量分解为与第 1 个向量平行和垂直的两个分量，并将垂直分量归一化得到第 2 个基底
将第 3 个向量分解为三个部分，即分别平行于前两个基底的分量和一个垂直分量，并将垂直分量归一化得到第 3 个基底
对第 $n = 4, \dots, N$ 个基底重复该步骤，得到第 $n$ 个基底

　　用公式来表示这个过程，就是：

\begin{matrix} (12) & v_{1}^{⊥} = v_{1} . \end{matrix}

\begin{matrix} (13) & u_{i} = \frac{v_{i}^{⊥}}{‖ v_{i}^{⊥} ‖} i = 1, \dots, N, \end{matrix}

\begin{matrix} (14) & v_{i}^{∥} = \sum_{j = 1}^{i - 1} (⟨ v_{i}, u_{j} ⟩) u_{j} (i = 2, \dots N), \end{matrix}

\begin{matrix} (15) & v_{i}^{⊥} = v_{i} - v_{i}^{∥} i = 2, \dots N . \end{matrix}

习题 1　

　　对三维空间中的向量 $(2, 1, 1)$ ， $(1, 2, 1)$ 和 $(1, 1, 2)$ 进行施密特正交归一化。

推导

　　这里来解释式 14 和式 15 。我们假设已经知道 $i - 1$ 个正交归一的向量，由于 $N$ 维空间中必然存在 $N$ 个正交归一基底，我们可以设剩下 $u_{i}$ 的也已经知道（或者可以任意取）。于是 $v_{i}$ 可以用基底展开为

\begin{matrix} (16) & v_{i} = \sum_{j = 1}^{N} c_{j} u_{j} . \end{matrix}

式 14 得到前

i - 1

项之和

\begin{matrix} (17) & v_{i}^{∥} = \sum_{j = 1}^{i - 1} c_{j} u_{j}, \end{matrix}

所以式 15 就是第

i

项到第

N

项之和

\begin{matrix} (18) & v_{i}^{⊥} = \sum_{j = i}^{N} c_{j} u_{j} . \end{matrix}

所以对

j = 1, \dots, i - 1

，都有

⟨ v_{i}^{⊥}, u_{j} ⟩ = 0

。也就是说和已有的

i - 1

个基底都正交。

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正交归一基底

1. 正交归一基底

证明

2. 施密特正交归一化

例 1 二维空间中的几何向量

习题 1

推导

例 1　二维空间中的几何向量

习题 1　