贡献者： addis
若有坐标系变换
\begin{equation}
\begin{cases}
x = x(u,v,w)\\ y = y(u,v,w)\\ z = z(u,v,w)
\end{cases}~.
\end{equation}
根据全微分关系
\begin{equation}
\begin{pmatrix} \,\mathrm{d}{x} \\ \,\mathrm{d}{y} \\ \,\mathrm{d}{z} \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
\partial x/\partial u & \partial x/\partial v & \partial x/\partial w \\
\partial y/\partial u & \partial y/\partial v & \partial y/\partial w \\
\partial z/\partial u & \partial z/\partial v & \partial z/\partial w \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \,\mathrm{d}{u} \\ \,\mathrm{d}{v} \\ \,\mathrm{d}{w} \end{pmatrix} ~.
\end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{J}} $ 叫做雅可比矩阵。
考虑 $uvw$ 坐标系中的一个体积元 $(u,v,w)$-$(u + \,\mathrm{d}{u} , v + \,\mathrm{d}{v} , w + \,\mathrm{d}{w} )$， 一般情况下（不需要是正交曲线坐标系），体积元为平行六面体，起点为 $(u,v,w)$ 的三条棱对应的矢量分别为
\begin{equation}
\begin{pmatrix} \,\mathrm{d}{x_1} \\ \,\mathrm{d}{y_1} \\ \,\mathrm{d}{z_1} \end{pmatrix} =
\boldsymbol{\mathbf{J}} \begin{pmatrix} \,\mathrm{d}{u} \\0\\0\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}J_{11}\\J_{21}\\J_{31}\end{pmatrix} \,\mathrm{d}{u} ~,
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{pmatrix} \,\mathrm{d}{x_2} \\ \,\mathrm{d}{y_2} \\ \,\mathrm{d}{z_2} \end{pmatrix} =
\boldsymbol{\mathbf{J}} \begin{pmatrix}0\\ \,\mathrm{d}{v} \\0\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}J_{12}\\J_{22}\\J_{32}\end{pmatrix} \,\mathrm{d}{v} ~,
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{pmatrix} \,\mathrm{d}{x_3} \\ \,\mathrm{d}{y_3} \\ \,\mathrm{d}{z_3} \end{pmatrix} =
\boldsymbol{\mathbf{J}} \begin{pmatrix}0\\0\\ \,\mathrm{d}{w} \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}J_{13}\\J_{23}\\J_{33}\end{pmatrix} \,\mathrm{d}{w} ~.
\end{equation}
由于平行六面体的体积是同一起点三条矢量的混合积
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{V}
= \begin{vmatrix}
\,\mathrm{d}{x_1} & \,\mathrm{d}{x_2} & \,\mathrm{d}{x_3} \\
\,\mathrm{d}{y_1} & \,\mathrm{d}{y_2} & \,\mathrm{d}{y_3} \\
\,\mathrm{d}{z_1} & \,\mathrm{d}{z_2} & \,\mathrm{d}{z_3} \end{vmatrix}
= \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{J}} \right\rvert \,\mathrm{d}{u} \,\mathrm{d}{v} \,\mathrm{d}{w} ~,
\end{equation}
其中 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{J}} \right\rvert $ 叫做
雅可比行列式。
其中 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{J}} \right\rvert $ 叫做雅可比行列式（Jacobian determinant）。注意这里的体积可能是负值。例如在二维情况下，若 $( \,\mathrm{d}{u_1} , \,\mathrm{d}{v_1} )$ 逆时针转动后得到 $( \,\mathrm{d}{u_2} , \,\mathrm{d}{v_2} )$，那么行列式为正，逆时针为负；三维情况下，若 $( \,\mathrm{d}{u_1} , \,\mathrm{d}{v_1} , \,\mathrm{d}{w_1} )$ 叉乘 $( \,\mathrm{d}{u_2} , \,\mathrm{d}{v_2} , \,\mathrm{d}{w_2} )$ 与 $( \,\mathrm{d}{u_3} , \,\mathrm{d}{v_3} , \,\mathrm{d}{w_3} )$ 的夹角小于 $90^\circ$，则行列式为正，大于 $90^\circ$ 为负。
式 2 对应的雅可比行列式又记为
\begin{equation}
\left\lvert \boldsymbol{\mathbf{J}} \right\rvert = \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}= \begin{vmatrix}
\partial x/\partial u & \partial x/\partial v & \partial x/\partial w \\
\partial y/\partial u & \partial y/\partial v & \partial y/\partial w \\
\partial z/\partial u & \partial z/\partial v & \partial z/\partial w \end{vmatrix} ~.
\end{equation}
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