雅可比矩阵、雅可比行列式

                     

贡献者: 叶月2_; addis

  • 本文处于草稿阶段。
  • 补充:与方向导数的关系
预备知识 行列式与体积,全微分

   若有坐标系变换

\begin{equation} \begin{cases} x = x(u,v,w)\\ y = y(u,v,w)\\ z = z(u,v,w) \end{cases}~. \end{equation}
根据全微分关系
\begin{equation} \begin{pmatrix} \,\mathrm{d}{x} \\ \,\mathrm{d}{y} \\ \,\mathrm{d}{z} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \partial x/\partial u & \partial x/\partial v & \partial x/\partial w \\ \partial y/\partial u & \partial y/\partial v & \partial y/\partial w \\ \partial z/\partial u & \partial z/\partial v & \partial z/\partial w \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \,\mathrm{d}{u} \\ \,\mathrm{d}{v} \\ \,\mathrm{d}{w} \end{pmatrix} ~. \end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{J}} $ 叫做雅可比矩阵,又可写为 $\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}$。称其行列式 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{J}} \right\rvert $ 为雅可比行列式(Jacobian determinant),或表示为 $|\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}|$。在微分几何中,雅可比矩阵是切映射的表示。

雅可比行列式与体积元

   由外代数的知识可知,设 $V$ 为 $n$ 维线性空间且 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1, \boldsymbol{\mathbf{v}} _2,... \boldsymbol{\mathbf{v}} _n\in V$,若 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1\wedge \boldsymbol{\mathbf{v}} _2\wedge...\wedge \boldsymbol{\mathbf{v}} _n\neq 0$(即该向量组线性无关),则其模为 $\{ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i\}^n_{i=1}$ 张成的 $n$ 维立方体的体积。若 $\{ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i\}^n_{i=1}$ 是正交向量组,则其模为各向量模长的乘积。

   雅可比行列式是体积元进行线性变换后的比例系数,以二维欧几里得线性空间为例。令 $f:(x,y)\rightarrow (r, \phi)$,

\begin{equation} \begin{aligned} x=&r \operatorname {cos}\phi\\ y=&r \operatorname {sin}\phi~. \end{aligned} \end{equation}
则我们有:
\begin{equation} \begin{aligned} dx\wedge dy&= (dr \operatorname {cos}\phi-r \operatorname {sin}\phi d\phi )\wedge(dr \operatorname {sin}\phi+r \operatorname {cos}\phi d\phi )\\ &=(r \operatorname {cos}^2\phi +r \operatorname {sin}^2\phi)dr\wedge d\phi=rdr\wedge d\phi=| \boldsymbol{\mathbf{J}} |dr\wedge d\phi~. \end{aligned} \end{equation}

   可以验证,若 $\{x_i\}^n_{i=1}$ 和 $\{y_i\}^n_{i=1}$ 都是 $n$ 维线性空间中线性无关的坐标变量,则我们总可以进行类似式 3 的变量代换。微积分中的多重积分实际上是对变量的外积进行积分,因此常利用该结论进行坐标系的变换。

定理 1 

   设 $U$ 为 $\mathbb R^n$($n>2$)上的开集,对于任意 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} =(x_1,x_2...x_n)\in U$,映射 $f:y_i=( \boldsymbol{\mathbf{x}} ),i=1,2...n$ 将 $U$ 上的点一一映射到 $V\subset \mathbb R^n$。设 $\Omega$ 是 $U$ 上具有分片光滑边界的有界闭区域,$T(\Omega)$ 上的点 $y_i$ 都有连续偏导数且这个映射的雅可比行列式不为 $0$。如果 $f(y_1,y_2...y_n)$ 是 $T(\Omega)$ 上的连续函数,那么变量代换公式

\begin{equation} \int_{T(\Omega)} f\left(y_1, \cdots, y_n\right) \mathrm{d} y_1 \cdots \mathrm{d} y_n=\int_{\Omega} f\left(y_1(\boldsymbol{x}), \cdots, y_n(\boldsymbol{x})\right)\left|\frac{\partial\left(y_1, \cdots, y_n\right)}{\partial\left(x_1, \cdots, x_n\right)}\right| \mathrm{d} x_1 \cdots \mathrm{d} x_n~. \end{equation}
成立。


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