雅可比矩阵、雅可比行列式

贡献者：叶月2_; addis

本文处于草稿阶段。
补充：与方向导数的关系

预备知识　行列式与体积，全微分

　　若有坐标系变换

\begin{matrix} (1) & {\begin{cases} x = x (u, v, w) \\ y = y (u, v, w) \\ z = z (u, v, w) \end{cases} . \end{matrix}

根据全微分关系

\begin{matrix} (2) & (\begin{matrix} d x \\ d y \\ d z \end{matrix}) = (\begin{matrix} \partial x / \partial u & \partial x / \partial v & \partial x / \partial w \\ \partial y / \partial u & \partial y / \partial v & \partial y / \partial w \\ \partial z / \partial u & \partial z / \partial v & \partial z / \partial w \end{matrix}) (\begin{matrix} d u \\ d v \\ d w \end{matrix}) . \end{matrix}

其中

J

叫做雅可比矩阵，又可写为

\frac{\partial (x, y, z)}{\partial (u, v, w)}

。称其行列式

| J |

为雅可比行列式（Jacobian determinant），或表示为

| \frac{\partial (x, y, z)}{\partial (u, v, w)} |

。在微分几何中，雅可比矩阵是切映射的表示。

雅可比行列式与体积元

　　由外代数的知识可知，设 $V$ 为 $n$ 维线性空间且 $v_{1}, v_{2}, . . . v_{n} \in V$ ，若 $v_{1} \land v_{2} \land . . . \land v_{n} \neq 0$ （即该向量组线性无关），则其模为 ${v_{i}}_{i = 1}^{n}$ 张成的 $n$ 维立方体的体积。若 ${v_{i}}_{i = 1}^{n}$ 是正交向量组，则其模为各向量模长的乘积。

　　雅可比行列式是体积元进行线性变换后的比例系数，以二维欧几里得线性空间为例。令 $f : (x, y) \to (r, ϕ)$ ，

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} x = & r \cos ϕ \\ y = & r \sin ϕ . \end{aligned} \end{matrix}

则我们有：

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} d x \land d y & = (d r \cos ϕ - r \sin ϕ d ϕ) \land (d r \sin ϕ + r \cos ϕ d ϕ) \\ = (r \cos^{2} ϕ + r \sin^{2} ϕ) d r \land d ϕ = r d r \land d ϕ = | J | d r \land d ϕ . \end{aligned} \end{matrix}

　　可以验证，若 ${x_{i}}_{i = 1}^{n}$ 和 ${y_{i}}_{i = 1}^{n}$ 都是 $n$ 维线性空间中线性无关的坐标变量，则我们总可以进行类似式 3 的变量代换。微积分中的多重积分实际上是对变量的外积进行积分，因此常利用该结论进行坐标系的变换。

定理 1　

　　设 $U$ 为 $R^{n}$ （ $n > 2$ ）上的开集，对于任意 $x = (x_{1}, x_{2} . . . x_{n}) \in U$ ，映射 $f : y_{i} = (x), i = 1, 2. . . n$ 将 $U$ 上的点一一映射到 $V \subset R^{n}$ 。设 $Ω$ 是 $U$ 上具有分片光滑边界的有界闭区域， $T (Ω)$ 上的点 $y_{i}$ 都有连续偏导数且这个映射的雅可比行列式不为 $0$ 。如果 $f (y_{1}, y_{2} . . . y_{n})$ 是 $T (Ω)$ 上的连续函数，那么变量代换公式

\begin{matrix} (5) & \int_{T (Ω)} f (y_{1}, \dots, y_{n}) d y_{1} \dots d y_{n} = \int_{Ω} f (y_{1} (x), \dots, y_{n} (x)) | \frac{\partial (y_{1}, \dots, y_{n})}{\partial (x_{1}, \dots, x_{n})} | d x_{1} \dots d x_{n} . \end{matrix}

成立。

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