雅可比行列式

             

预备知识 行列式,全微分

   若有坐标系变换

\begin{equation} \begin{cases} x = x(u,v,w)\\ y = y(u,v,w)\\ z = z(u,v,w) \end{cases} \end{equation}
根据全微分关系
\begin{equation} \begin{pmatrix} \,\mathrm{d}{x} \\ \,\mathrm{d}{y} \\ \,\mathrm{d}{z} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \partial x/\partial u & \partial x/\partial v & \partial x/\partial w \\ \partial y/\partial u & \partial y/\partial v & \partial y/\partial w \\ \partial z/\partial u & \partial z/\partial v & \partial z/\partial w \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \,\mathrm{d}{u} \\ \,\mathrm{d}{v} \\ \,\mathrm{d}{w} \end{pmatrix} \end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{J}} $ 叫做雅可比矩阵.

   考虑 $uvw$ 坐标系中的一个体积元 $(u,v,w)$-$(u + \,\mathrm{d}{u} , v + \,\mathrm{d}{v} , w + \,\mathrm{d}{w} )$, 一般情况下(不需要是正交曲线坐标系),体积元为平行六面体,起点为 $(u,v,w)$ 的三条棱对应的矢量分别为

\begin{equation} \begin{pmatrix} \,\mathrm{d}{x_1} \\ \,\mathrm{d}{y_1} \\ \,\mathrm{d}{z_1} \end{pmatrix} = \boldsymbol{\mathbf{J}} \begin{pmatrix} \,\mathrm{d}{u} \\0\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}J_{11}\\J_{21}\\J_{31}\end{pmatrix} \,\mathrm{d}{u} \end{equation}
\begin{equation} \begin{pmatrix} \,\mathrm{d}{x_2} \\ \,\mathrm{d}{y_2} \\ \,\mathrm{d}{z_2} \end{pmatrix} = \boldsymbol{\mathbf{J}} \begin{pmatrix}0\\ \,\mathrm{d}{v} \\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}J_{12}\\J_{22}\\J_{32}\end{pmatrix} \,\mathrm{d}{v} \end{equation}
\begin{equation} \begin{pmatrix} \,\mathrm{d}{x_3} \\ \,\mathrm{d}{y_3} \\ \,\mathrm{d}{z_3} \end{pmatrix} = \boldsymbol{\mathbf{J}} \begin{pmatrix}0\\0\\ \,\mathrm{d}{w} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}J_{13}\\J_{23}\\J_{33}\end{pmatrix} \,\mathrm{d}{w} \end{equation}
由于平行六面体的体积是同一起点三条矢量的混合积
\begin{equation} \,\mathrm{d}{V} = \begin{vmatrix} \,\mathrm{d}{x_1} & \,\mathrm{d}{y_1} & \,\mathrm{d}{z_1} \\ \,\mathrm{d}{x_2} & \,\mathrm{d}{y_2} & \,\mathrm{d}{z_2} \\ \,\mathrm{d}{x_3} & \,\mathrm{d}{y_3} & \,\mathrm{d}{z_3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \,\mathrm{d}{x_1} & \,\mathrm{d}{x_2} & \,\mathrm{d}{x_3} \\ \,\mathrm{d}{y_1} & \,\mathrm{d}{y_2} & \,\mathrm{d}{y_3} \\ \,\mathrm{d}{z_1} & \,\mathrm{d}{z_2} & \,\mathrm{d}{z_3} \end{vmatrix} = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{J}} \right\rvert \,\mathrm{d}{u} \,\mathrm{d}{v} \,\mathrm{d}{w} \end{equation}
其中 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{J}} \right\rvert $ 叫做雅可比行列式

致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择会员制,大量广告,内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元,我们一个星期内就能脱离亏损, 并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

         

© 小时科技 保留一切权利