贡献者： 叶月2_; addis
若有坐标系变换
\begin{equation}
\begin{cases}
x = x(u,v,w)\\ y = y(u,v,w)\\ z = z(u,v,w)
\end{cases}~.
\end{equation}
根据全微分关系
\begin{equation}
\begin{pmatrix} \,\mathrm{d}{x} \\ \,\mathrm{d}{y} \\ \,\mathrm{d}{z} \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
\partial x/\partial u & \partial x/\partial v & \partial x/\partial w \\
\partial y/\partial u & \partial y/\partial v & \partial y/\partial w \\
\partial z/\partial u & \partial z/\partial v & \partial z/\partial w \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \,\mathrm{d}{u} \\ \,\mathrm{d}{v} \\ \,\mathrm{d}{w} \end{pmatrix} ~.
\end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{J}} $ 叫做雅可比矩阵，又可写为 $\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}$。称其行列式 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{J}} \right\rvert $ 为
雅可比行列式（Jacobian determinant），或表示为 $|\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}|$。在微分几何中，雅可比矩阵是切映射的表示。
雅可比行列式与体积元
由外代数的知识可知，设 $V$ 为 $n$ 维线性空间且 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1, \boldsymbol{\mathbf{v}} _2,... \boldsymbol{\mathbf{v}} _n\in V$，若 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1\wedge \boldsymbol{\mathbf{v}} _2\wedge...\wedge \boldsymbol{\mathbf{v}} _n\neq 0$（即该向量组线性无关），则其模为 $\{ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i\}^n_{i=1}$ 张成的 $n$ 维立方体的体积。若 $\{ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i\}^n_{i=1}$ 是正交向量组，则其模为各向量模长的乘积。
雅可比行列式是体积元进行线性变换后的比例系数，以二维欧几里得线性空间为例。令 $f:(x,y)\rightarrow (r, \phi)$，
\begin{equation}
\begin{aligned}
x=&r \operatorname {cos}\phi\\
y=&r \operatorname {sin}\phi~.
\end{aligned}
\end{equation}
则我们有：
\begin{equation}
\begin{aligned}
dx\wedge dy&= (dr \operatorname {cos}\phi-r \operatorname {sin}\phi d\phi )\wedge(dr \operatorname {sin}\phi+r \operatorname {cos}\phi d\phi )\\
&=(r \operatorname {cos}^2\phi +r \operatorname {sin}^2\phi)dr\wedge d\phi=rdr\wedge d\phi=| \boldsymbol{\mathbf{J}} |dr\wedge d\phi~.
\end{aligned}
\end{equation}
可以验证，若 $\{x_i\}^n_{i=1}$ 和 $\{y_i\}^n_{i=1}$ 都是 $n$ 维线性空间中线性无关的坐标变量，则我们总可以进行类似式 3 的变量代换。微积分中的多重积分实际上是对变量的外积进行积分，因此常利用该结论进行坐标系的变换。
定理 1
设 $U$ 为 $\mathbb R^n$（$n>2$）上的开集，对于任意 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} =(x_1,x_2...x_n)\in U$，映射 $f:y_i=( \boldsymbol{\mathbf{x}} ),i=1,2...n$ 将 $U$ 上的点一一映射到 $V\subset \mathbb R^n$。设 $\Omega$ 是 $U$ 上具有分片光滑边界的有界闭区域，$T(\Omega)$ 上的点 $y_i$ 都有连续偏导数且这个映射的雅可比行列式不为 $0$。如果 $f(y_1,y_2...y_n)$ 是 $T(\Omega)$ 上的连续函数，那么变量代换公式
\begin{equation}
\int_{T(\Omega)} f\left(y_1, \cdots, y_n\right) \mathrm{d} y_1 \cdots \mathrm{d} y_n=\int_{\Omega} f\left(y_1(\boldsymbol{x}), \cdots, y_n(\boldsymbol{x})\right)\left|\frac{\partial\left(y_1, \cdots, y_n\right)}{\partial\left(x_1, \cdots, x_n\right)}\right| \mathrm{d} x_1 \cdots \mathrm{d} x_n~.
\end{equation}
成立。
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损， 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。