贡献者： addis
以二元函数为例，在偏微分的几何意义中，若 $z = f(x,y)$ 在某点 $(x_0, y_0)$ 附近的曲面光滑1，那么如果考虑一个足够小的区域，可以把曲面近似为平面。设平面方程为
\begin{equation}
z = c_0 + c_x(x - x_0) + c_y(y - y_0)~.
\end{equation}
当 $x=x_0$，$y=y_0$ 时显然有 $c_0 = f(x_0, y_0)$，求两个偏导，又有
\begin{equation}
c_x = \frac{\partial f}{\partial x} ~, \qquad c_y = \frac{\partial f}{\partial y} ~.
\end{equation}
令坐标增量为 $\Delta x \equiv x - x_0$，$\Delta y \equiv y - y_0$， $\Delta z \equiv z - c_0$，则平面方程变为
\begin{equation}
\Delta z = \frac{\partial f}{\partial x} \Delta x + \frac{\partial f}{\partial y} \Delta y~.
\end{equation}
令增量为无穷小，即
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{z} = \frac{\partial f}{\partial x} \,\mathrm{d}{x} + \frac{\partial f}{\partial y} \,\mathrm{d}{y} ~,
\end{equation}
这就是
全微分关系。全微分的意义是，从某一点开始向任意方向移动 $( \,\mathrm{d}{x} , \,\mathrm{d}{y} )$，函数的增量等于只向 $x$ 方向移动 $ \,\mathrm{d}{x} $ 的增量加上只向 $y$ 方向移动 $ \,\mathrm{d}{y} $ 的增量。类似地，$N$ 元函数的全微分关系为
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{z} = \sum_{i = 1}^{N} \frac{\partial f}{\partial x_i} \,\mathrm{d}{x_i} ~.
\end{equation}
事实上，偏微分也可以理解为是由该式定义的。
1. 全微分近似
类比一元函数的微分近似 $\Delta y \approx \mathrm{d}{f}/\mathrm{d}{x} \cdot \Delta x$，若 $N$ 元函数各个变量的一阶偏导在一小块区域内变化不大，那么函数值的变化可近似为
\begin{equation} \begin{aligned}
\Delta z &= f(x_1+\Delta x_1, \dots, x_N + \Delta x_N) - f(x_1, \dots, x_N) \\
&\approx \frac{\partial f}{\partial x_1} \Delta {x_1} +\ldots + \frac{\partial f}{\partial x_N} \Delta {x_N}~.
\end{aligned} \end{equation}
例 1 测量误差
测量一个边长各不相同的长方体的体积，若三边的测量值和最大测量误差分别为 $a, \sigma_a, b, \sigma_b, c, \sigma_c$（假设不确定度远小于边长），求体积的最大测量误差 $\sigma_V$ 及最大相对误差 $\sigma_V/V$。
类比 “一元函数微分” 中的例 1 ，长方体的体积为 $V(a,b,c) = abc$，由全微分近似得
\begin{equation}
\sigma_V \approx \frac{\partial V}{\partial a} \sigma_a + \frac{\partial V}{\partial b} \sigma_b + \frac{\partial V}{\partial c} \sigma_c = bc \sigma_a + ac \sigma_b + ab \sigma_c~.
\end{equation}
相对不确定度为
\begin{equation}
\frac{\sigma_V}{V} \approx \frac{\sigma_a}{a} + \frac{\sigma_b}{b} + \frac{\sigma_c}{c}~.
\end{equation}
1. ^ “光滑” 即可以进行任意多次求导，对于多元函数则是任意多次偏微分。
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损， 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。