方向导数

贡献者：待更新

预备知识　全微分，正交归一基

　　先来看一幅等高线图（图 1 ）。令高度 $z$ 为位置的函数 $z = f (r)$ 。这里 $r$ 是二维平面上的位矢，即 $f (r) = f (x, y)$ 。当位矢沿着等高线移动时， $z$ 不变，而当位矢沿垂直于等高线的方向移动时， $z$ 变化得最快。位置沿其他方向运动， $z$ 的变化速度介于两者之间。

图 1：等高线

　　那么如何衡量位置向各个方向移动时 $z$ 变化的快慢呢？我们先规定一个方向 $\hat{n} = (n_{x}, n_{y})$ （平面单位矢量，满足 $n_{x}^{2} + n_{y}^{2} = 1$ ），然后用方向导数来衡量变化率，其定义如下

\begin{matrix} (1) & \frac{d f}{d n} \equiv lim_{Δ s \to 0} \frac{f (r + \hat{n} Δ s) - f (r)}{Δ s} = \frac{d f}{d s}, \end{matrix}

其中

\hat{n} Δ s

代表沿

\hat{n}

方向的微小位移。从几何上来讲，二维函数

f (r)

表示一个曲面，曲面上某点的方向导数就是曲面在该方向的斜率。

　　由 “全微分” 中的结论

\begin{matrix} (2) & d f = \frac{\partial f}{\partial x} d x + \frac{\partial f}{\partial y} d y . \end{matrix}

而现在我们往

\hat{n} = (n_{x}, n_{y})

方向移动

d s

，所以

\begin{matrix} (3) & d x = n_{x} d s, d y = n_{y} d s . \end{matrix}

代入上式，得

\begin{matrix} (4) & d f = (\frac{\partial f}{\partial x} n_{x} + \frac{\partial f}{\partial y} n_{y}) d s . \end{matrix}

根据导数与微分的关系（也可以通俗地说 “两边同除

d s

”），就得到方向导数

\begin{matrix} (5) & \frac{\partial f}{\partial n} = \frac{d f}{d s} = \frac{\partial f}{\partial x} n_{x} + \frac{\partial f}{\partial y} n_{y} . \end{matrix}

如果使用平面的正交归一基

\hat{x}, \hat{y}

写成矢量内积的形式，就是

\begin{matrix} (6) & \frac{d f}{d n} = (\frac{\partial f}{\partial x} \hat{x} + \frac{\partial f}{\partial y} \hat{y}) \cdot \hat{n} . \end{matrix}

定义二维直角坐标系中的 Del 算符为

\begin{matrix} (7) & \nabla = \hat{x} \frac{\partial}{\partial x} + \hat{y} \frac{\partial}{\partial y} . \end{matrix}

其作用在函数上表示

\begin{matrix} (8) & \nabla f = \frac{\partial f}{\partial x} \hat{x} + \frac{\partial f}{\partial y} \hat{y} . \end{matrix}

则方向导数可以写成相当简洁的形式，即

\begin{matrix} (9) & \frac{\partial f}{\partial n} = \nabla f \cdot \hat{n} . \end{matrix}

1. 多元函数的方向导数

　　通过和以上类似的分析，可以得出 $N$ 元函数 $f (r) = f (x_{1}, x_{2} \dots x_{N})$ 在单位方向矢量 $\hat{n} = (n_{x 1}, n_{x 2} \dots n_{x_{N}})$ 的方向上的微分关系为

\begin{matrix} (10) & d f = \frac{\partial f}{\partial x_{1}} d x_{1} + \frac{\partial f}{\partial x_{2}} d x_{2} \dots = (\frac{\partial f}{\partial x_{1}} n_{x 1} + \frac{\partial f}{\partial x_{2}} n_{x 2} \dots) d s . \end{matrix}

方向导数为

\begin{matrix} (11) & \frac{\partial f}{\partial n} = \frac{d f}{d s} = (\frac{\partial f}{\partial x_{1}} {\hat{x}}_{1} + \frac{\partial f}{\partial x_{2}} {\hat{x}}_{2} \dots \frac{\partial f}{\partial x_{N}} {\hat{x}}_{N}) \cdot \hat{n} = \nabla f \cdot \hat{n} . \end{matrix}

形式与式 9 相同。这里定义了 $N$ 维直角坐标系的 Del 算符 为

\begin{matrix} (12) & \nabla = {\hat{x}}_{1} \frac{\partial}{\partial x_{1}} + {\hat{x}}_{2} \frac{\partial}{\partial x_{2}} \dots {\hat{x}}_{n} \frac{\partial}{\partial x_{N}} . \end{matrix}

致读者：小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损，并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款，他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识，我们在此表示感谢。