几何向量的内积

                     

贡献者: Giacomo; addis

预备知识 几何向量的运算,三角函数(高中)

1. 几何定义

   我们先来看内积的几何定义。注意该定义不需要任何坐标系的概念。

图
图 1:内积的几何定义

   两个几何向量的内积(inner product)也叫点乘(dot product)点积或者标量积(scalar product)。如图 1 ,一般用一个实心圆点表示几何向量的内积(不可省略)。内积就是把两向量的模长相乘,再乘以它们的夹角1 $\theta$ 的余弦值:

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} \right\rvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{B}} \right\rvert \cos\theta ~, \end{equation}
注意两个向量内积得到的是一个标量。几何定义中(图 1 ),既可以把内积理解为 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 投影在 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 上的模长乘以 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 的模长,也可以理解为 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 投影在 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 上的模长乘以 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的模长。在这种理解下,若量向量的夹角为钝角,投影长度取负值。可见当两向量模长不变时,若方向相同,内积取最大值 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} \right\rvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{B}} \right\rvert $;若方向相反,内积取最小值 $- \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} \right\rvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{B}} \right\rvert $;若相互垂直,则内积为 0。

   我们说两个内积为 0 的向量互相垂直(perpendicular),或者说正交(orthogonal)。几何向量与自身内积可得该向量模长的平方。单位向量与自己的内积等于 1。

2. 坐标定义

   若已知 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} , \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 在平面直角坐标系 $xy$ 中坐标分别为 $(A_x, A_y)$ 和 $(B_x, B_y)$,那么如何用坐标表示内积运算的结果呢?我们把它定义为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} = A_x B_x + A_y B_y~. \end{equation}
同理,空间向量内积的坐标定义为
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z ~. \end{equation}

   可以想象,如果我们有 “更高维度的向量”,我们也可以用坐标定义内积:

\begin{equation} A_1 B_1 + \dots + A_n B_n ~. \end{equation}

3. 两种定义的等价性

  

未完成:和角的余弦公式

图
图 2

   假设 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} , \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 处于第一象限,记 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 和 $\hat{x}$ 的夹角为 $\alpha$,$ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 和 $\hat{x}$ 的夹角为 $\beta$,$ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 的夹角为 $\theta$,如图 2 ,我们有

\begin{equation} \cos\left(\theta\right) = \cos\left(\alpha\right) \cos\left(\beta\right) + \sin\left(\alpha\right) \sin\left(\beta\right) ~, \end{equation}
因此
\begin{equation} \begin{aligned} | \boldsymbol{\mathbf{A}} | | \boldsymbol{\mathbf{B}} | \cos\left(\theta\right) &= | \boldsymbol{\mathbf{A}} | \cos\left(\alpha\right) | \boldsymbol{\mathbf{B}} | \cos\left(\beta\right) + | \boldsymbol{\mathbf{A}} | \sin\left(\alpha\right) | \boldsymbol{\mathbf{B}} | \sin\left(\beta\right) \\ &= A_x B_x + A_y B_y \end{aligned}~ \end{equation}

   对于空间向量也是一样的。

4. 内积的性质

   内积满足交换率:

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} = \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} ~. \end{equation}
由几何定义,易证。

   内积满足分配律:

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot ( \boldsymbol{\mathbf{B}} + \boldsymbol{\mathbf{C}} ) = \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} + \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{C}} ~, \end{equation}
考虑坐标定义,我们有
\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot ( \boldsymbol{\mathbf{B}} + \boldsymbol{\mathbf{C}} ) &= A_1 (B_1 + C_1) + A_2 (B_2 + C_2) \\ &= A_1 B_1 + A_1 C_1 + A_2 B_2 + A_2 C_2 \\ &= (A_1 B_1 + A_2 B_2) + (A_1 C_1 + A_2 C_2) \\ &= \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} + \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{C}} \end{aligned}~ \end{equation}
空间向量的证明类似。

   注意内积不满足结合律,即

\begin{equation} ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} ) \boldsymbol{\mathbf{C}} \ne \boldsymbol{\mathbf{A}} ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{C}} )~. \end{equation}
前者是 $ \boldsymbol{\mathbf{C}} $ 方向的向量,后者是 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 方向的向量,显然不一定相等。

5. 证明内积的分配律

图
图 3:内积分配律的证明

   如图 3 ,令 $ \boldsymbol{\mathbf{D}} \equiv \boldsymbol{\mathbf{B}} + \boldsymbol{\mathbf{C}} $,把 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} $, $ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{C}} $, $ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{D}} $ 分别用几何定义理解为 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $, $ \boldsymbol{\mathbf{C}} $, $ \boldsymbol{\mathbf{D}} $ 在 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 上的投影乘 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} \right\rvert $,且令投影长度分别为 $L_B, L_C, L_D$。那么要证明 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot ( \boldsymbol{\mathbf{B}} + \boldsymbol{\mathbf{C}} ) = \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{D}} = \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} + \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{C}} $,只需证明 $L_D = L_B + L_C$ 即可。现在把 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 平移使其起点与 $ \boldsymbol{\mathbf{C}} $ 的终点对接(投影长度不变)。从图中立即得出 $L_D = L_B + L_C$。


1. ^ 对于空间向量来说,我们需要先截取这两个向量所在的平面(如果它们不平行则平面唯一确定)。


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