贡献者： Giacomo; addis
1. 几何定义
我们先来看点乘的几何定义。注意该定义不需要任何坐标系的概念。
图 1：点乘的几何定义
两个几何向量的点乘（dot product），也叫点积、内积（inner product）或者标量积（scalar product）。如图 1 ，一般用一个实心圆点表示几何向量的点乘（不可省略）。点乘就是把两向量的模长相乘，再乘以它们的夹角1 $\theta$ 的余弦值：
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} \right\rvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{B}} \right\rvert \cos\theta ~,
\end{equation}
注意两个向量点乘得到的是一个标量（在这里就是实数）。几何定义中（
图 1 ），既可以把点乘理解为 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 投影在 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 上的模长乘以 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 的模长，也可以理解为 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 投影在 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 上的模长乘以 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的模长。在这种理解下，若量向量的夹角为钝角，投影长度需要取负值。可见当两向量模长固定时，若方向相同，点乘结果取最大值 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} \right\rvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{B}} \right\rvert $；若方向相反，点乘取最小值 $- \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} \right\rvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{B}} \right\rvert $；若相互垂直，则点乘为 0。
我们说两个点乘为 0 的向量互相垂直（perpendicular），或者说正交（orthogonal）。几何向量与自身点乘可得该向量模长的平方。单位向量与自己的点乘等于 1。
2. 坐标定义
若已知 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} , \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 在平面直角坐标系 $xy$ 中坐标分别为 $(A_x, A_y)$ 和 $(B_x, B_y)$，那么如何用坐标表示点乘运算的结果呢？我们把它定义为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} = A_x B_x + A_y B_y~.
\end{equation}
同理，空间向量点乘的坐标定义为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z ~.
\end{equation}
可以想象，如果我们有 “更高维度的向量”，我们也可以直接用直角坐标定义点乘：
\begin{equation}
A_1 B_1 + \dots + A_n B_n ~.
\end{equation}
3. 两种定义的等价性
图 2
假设 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} , \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 处于第一象限，记 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 和 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} $ 的夹角为 $\alpha$，$ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 和 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} $ 的夹角为 $\beta$，$ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 的夹角为 $\theta$，如图 2 ，根据两角和公式（式 5 ）有
\begin{equation}
\cos\theta = \cos\left(\alpha-\beta\right) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta~,
\end{equation}
因此
\begin{equation}
\begin{aligned}
| \boldsymbol{\mathbf{A}} | | \boldsymbol{\mathbf{B}} | \cos\theta &= | \boldsymbol{\mathbf{A}} | \cos\alpha | \boldsymbol{\mathbf{B}} | \cos\beta + | \boldsymbol{\mathbf{A}} | \sin\alpha | \boldsymbol{\mathbf{B}} | \sin\beta \\
&= A_x B_x + A_y B_y
\end{aligned}~
\end{equation}
对于空间向量也是一样的。
4. 点乘的性质
点乘满足交换率：
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} = \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} ~.
\end{equation}
由几何定义，易证。
点乘满足分配律：
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot ( \boldsymbol{\mathbf{B}} + \boldsymbol{\mathbf{C}} ) = \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} + \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{C}} ~,
\end{equation}
考虑坐标定义，我们有
\begin{equation}
\begin{aligned}
\boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot ( \boldsymbol{\mathbf{B}} + \boldsymbol{\mathbf{C}} ) &= A_1 (B_1 + C_1) + A_2 (B_2 + C_2) \\
&= A_1 B_1 + A_1 C_1 + A_2 B_2 + A_2 C_2 \\
&= (A_1 B_1 + A_2 B_2) + (A_1 C_1 + A_2 C_2) \\
&= \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} + \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{C}}
\end{aligned}~
\end{equation}
空间向量的证明类似。
注意点乘不满足结合律，即
\begin{equation}
( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} ) \boldsymbol{\mathbf{C}} \ne \boldsymbol{\mathbf{A}} ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{C}} )~.
\end{equation}
前者是 $ \boldsymbol{\mathbf{C}} $ 方向的向量，后者是 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 方向的向量，显然不一定相等。
5. 证明点乘的分配律
图 3：点乘分配律的证明
如图 3 ，令 $ \boldsymbol{\mathbf{D}} \equiv \boldsymbol{\mathbf{B}} + \boldsymbol{\mathbf{C}} $，把 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} $， $ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{C}} $， $ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{D}} $ 分别用几何定义理解为 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $， $ \boldsymbol{\mathbf{C}} $， $ \boldsymbol{\mathbf{D}} $ 在 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 上的投影乘 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} \right\rvert $，且令投影长度分别为 $L_B, L_C, L_D$。那么要证明 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot ( \boldsymbol{\mathbf{B}} + \boldsymbol{\mathbf{C}} ) = \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{D}} = \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} + \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{C}} $，只需证明 $L_D = L_B + L_C$ 即可。现在把 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 平移使其起点与 $ \boldsymbol{\mathbf{C}} $ 的终点对接（投影长度不变）。从图中立即得出 $L_D = L_B + L_C$。
1. ^ 对于空间向量来说，我们需要先截取这两个向量所在的平面（如果它们不平行则平面唯一确定）。
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