几何向量的点乘

贡献者： Giacomo; addis

预备知识　几何向量的线性组合，三角函数（高中）

1. 几何定义

　　我们先来看点乘的几何定义。注意该定义不需要任何坐标系的概念。

图 1：点乘的几何定义

　　两个几何向量的点乘（dot product），也叫点积、内积（inner product）或者标量积（scalar product）。如图 1 ，一般用一个实心圆点表示几何向量的点乘（不可省略）。点乘就是把两向量的模长相乘，再乘以它们的夹角¹ $θ$ 的余弦值：

\begin{matrix} (1) & A \cdot B = | A | | B | \cos θ, \end{matrix}

注意两个向量点乘得到的是一个标量（在这里就是实数）。几何定义中（图 1 ），既可以把点乘理解为

A

投影在

B

上的模长乘以

B

的模长，也可以理解为

B

投影在

A

上的模长乘以

A

的模长。在这种理解下，若量向量的夹角为钝角，投影长度需要取负值。可见当两向量模长固定时，若方向相同，点乘结果取最大值

| A | | B |

；若方向相反，点乘取最小值

- | A | | B |

；若相互垂直，则点乘为 0。

　　我们说两个点乘为 0 的向量互相垂直（perpendicular），或者说正交（orthogonal）。几何向量与自身点乘可得该向量模长的平方。单位向量与自己的点乘等于 1。

2. 坐标定义

　　若已知 $A, B$ 在平面直角坐标系 $x y$ 中坐标分别为 $(A_{x}, A_{y})$ 和 $(B_{x}, B_{y})$ ，那么如何用坐标表示点乘运算的结果呢？我们把它定义为

\begin{matrix} (2) & A \cdot B = A_{x} B_{x} + A_{y} B_{y} . \end{matrix}

同理，空间向量点乘的坐标定义为

\begin{matrix} (3) & A \cdot B = A_{x} B_{x} + A_{y} B_{y} + A_{z} B_{z} . \end{matrix}

　　可以想象，如果我们有 “更高维度的向量”，我们也可以直接用直角坐标定义点乘：

\begin{matrix} (4) & A_{1} B_{1} + \dots + A_{n} B_{n} . \end{matrix}

3. 两种定义的等价性

图 2

　　假设 $A, B$ 处于第一象限，记 $A$ 和 $\hat{x}$ 的夹角为 $α$ ， $B$ 和 $\hat{x}$ 的夹角为 $β$ ， $A$ 和 $B$ 的夹角为 $θ$ ，如图 2 ，根据两角和公式（式 5 ）有

\begin{matrix} (5) & \cos θ = \cos (α - β) = \cos α \cos β + \sin α \sin β, \end{matrix}

因此

\begin{matrix} (6) & \begin{aligned} | A | | B | \cos θ & = | A | \cos α | B | \cos β + | A | \sin α | B | \sin β \\ = A_{x} B_{x} + A_{y} B_{y} \end{aligned} \end{matrix}

　　对于空间向量也是一样的。

4. 点乘的性质

　　点乘满足交换率：

\begin{matrix} (7) & A \cdot B = B \cdot A . \end{matrix}

由几何定义，易证。

　　点乘满足分配律：

\begin{matrix} (8) & A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C, \end{matrix}

考虑坐标定义，我们有

\begin{matrix} (9) & \begin{aligned} A \cdot (B + C) & = A_{1} (B_{1} + C_{1}) + A_{2} (B_{2} + C_{2}) \\ = A_{1} B_{1} + A_{1} C_{1} + A_{2} B_{2} + A_{2} C_{2} \\ = (A_{1} B_{1} + A_{2} B_{2}) + (A_{1} C_{1} + A_{2} C_{2}) \\ = A \cdot B + A \cdot C \end{aligned} \end{matrix}

空间向量的证明类似。

　　注意点乘不满足结合律，即

\begin{matrix} (10) & (A \cdot B) C \neq A (B \cdot C) . \end{matrix}

前者是

C

方向的向量，后者是

A

方向的向量，显然不一定相等。

5. 证明点乘的分配律

图 3：点乘分配律的证明

　　如图 3 ，令 $D \equiv B + C$ ，把 $A \cdot B$ ， $A \cdot C$ ， $A \cdot D$ 分别用几何定义理解为 $B$ ， $C$ ， $D$ 在 $A$ 上的投影乘 $| A |$ ，且令投影长度分别为 $L_{B}, L_{C}, L_{D}$ 。那么要证明 $A \cdot (B + C) = A \cdot D = A \cdot B + A \cdot C$ ，只需证明 $L_{D} = L_{B} + L_{C}$ 即可。现在把 $B$ 平移使其起点与 $C$ 的终点对接（投影长度不变）。从图中立即得出 $L_{D} = L_{B} + L_{C}$ 。

1. ^ 对于空间向量来说，我们需要先截取这两个向量所在的平面（如果它们不平行则平面唯一确定）。

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