线积分、环积分（矢量分析）

贡献者： addis

预备知识　矢量的内积，一元矢量函数的积分

未完成：标量场的线积分

　　我们先来通过一个物理的例子引入曲线积分的概念，见 “功、功率”。

　　下面讨论如何在直角坐标系中具体计算线积分。为书写方便，以下省略积分路径 $C_{a b}$ 。

　　将被积曲线的参数方程表示为¹ $x (t), y (t), z (t)$ ，则曲线上任意一点都唯一对应一个 $t$ 值。根据微分关系，当 $t$ 增加 $d t$ 时，曲线上的一小段位移矢量 $d r = (d x, d y, d z)$ 中

\begin{matrix} (1) & d x = x^{'} (t) d t, d y = y^{'} (t) d t, d z = z^{'} (t) d t . \end{matrix}

这样，对曲线上任意一点（对应参数

t

），

F

可表示成

t

的矢量函数

F (t) = F [x (t), y (t), z (t)]

。

F

的三个分量² 则表示为关于

t

的单变量标量函数

\begin{matrix} (2) & F_{x_{i}} (t) = F_{x_{i}} [x (t), y (t), z (t)] (i = 1, 2, 3) . \end{matrix}

　　下面将三维空间的线积分转换为三个一元定积分

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} \int F (r) \cdot d r & = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} F (r_{i}) \cdot Δ r_{i} \\ = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} F_{x} (r_{i}) Δ x_{i} + lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} F_{y} (r_{i}) Δ y_{i} + lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} F_{z} (r_{i}) Δ z_{i} \\ = \int F_{x} (r) d x + \int F_{y} (r) d y + \int F_{z} (r) d z . \end{aligned} \end{matrix}

设积分路径

C_{a b}

的起点对应

t = a

，终点对应

t = b

。结合式 1 ，上面每一项积分可以表示为

\begin{matrix} (4) & \int F_{x_{i}} (r) d x_{i} = \int_{a}^{b} F_{x_{i}} [r (t)] x_{i}^{'} (t) d t (i = 1, 2, 3) . \end{matrix}

计算这三个关于

t

的定积分再相加，就可以得出线积分结果。

例 1　计算力场对质点的做功

　　令力场为 $F = α r \hat{r}$ ，一质点从原点出发，沿轨迹 $(x - a)^{2} + y^{2} = a^{2}$ 的上半部分移动到 $(a, 0)$ ，求力对质点做的功。若起点终点不变，轨迹改为延 $x$ 轴，结果又如何？

　　我们先来建立运动轨迹的参数方程。由于运动是一个圆，我们可以使用圆的参数方程。把角度作为参数 $t$ ， $t \in [0, π]$ 。

\begin{matrix} (5) & {\begin{cases} x (t) = a (1 - \cos t) \\ y (t) = a \sin t \end{cases}, {\begin{cases} x^{'} (t) = a \sin t \\ y^{'} (t) = a \cos t \end{cases} . \end{matrix}

把力场在直角坐标系中表示为

F (x, y) = α (x \hat{x} + y \hat{y})

，两个分量分别为

F_{x} = α x, F_{y} = α y

。由式 4

(i = 1, 2)

，力场对质点做功等于两个定积分之和

\begin{matrix} (6) & W = \int F \cdot d r = \int_{0}^{π} α a (1 - \cos t) \cdot a \sin t d t + \int_{0}^{π} α a \sin t \cdot a \cos t d t . \end{matrix}

注意到第一个积分中的第二项恰好是第二个积分的相反数，所以上式变为

\begin{matrix} (7) & \int_{0}^{π} α a^{2} \sin t d t = 2 α a^{2} . \end{matrix}

　　现在来计算延 $x$ 轴的直线轨迹运动的情况。由于轨迹上处处都有 $y = 0$ ， $F_{y} = 0$ ，积分只有 $F_{x}$ 一项。另外 $x$ 本身就可以作为轨道参数，即 $x (t) = t, y (t) = 0, x \in [0, 2 a]$ 。代入式 4 得做功为

\begin{matrix} (8) & W = \int_{0}^{2 a} α x d x = 2 α a^{2} . \end{matrix}

　　在上例中，我们发现对于给定的矢量场，即使路径不同，当起点和终点相同时，线积分的结果也相同（虽然我们只计算了两条路径，但这个结论是正确的）。具有这样性质的矢量场叫做保守场，并总存在一个势能函数。

1. 环积分

　　当线积分的路径是一个回路时，就可以叫做环积分，也叫回路积分，此时把积分号写作 $\oint$ 作为强调。

未完成：举例，另外解释一下类似式 2 是什么意思。

1. ^ 注意这里的 $t$ 不一定代表时间，可以是任意参数，甚至可以是 $x, y, z$ 中的一个。
2. ^ 为了书写简洁，这里定义 $x_{1} \equiv x, x_{2} \equiv y, x_{3} \equiv z$ 。

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线积分、环积分（矢量分析）

例 1 计算力场对质点的做功

1. 环积分

例 1　计算力场对质点的做功