线积分

             

预备知识 矢量的内积,定积分

   我们先来通过一个物理的例子引入曲线积分的概念,见 “功 功率”.

   下面讨论如何在直角坐标系中具体计算线积分.为书写方便,以下省略积分路径 $C_{ab}$.

   将被积曲线的参数方程表示为1 $x(t),y(t),z(t)$,则曲线上任意一点都唯一对应一个 $t$ 值.根据微分关系,当 $t$ 增加 $ \,\mathrm{d}{t} $ 时,曲线上的一小段位移矢量 $ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = ( \,\mathrm{d}{x} , \,\mathrm{d}{y} , \,\mathrm{d}{z} )$ 中

\begin{equation} \,\mathrm{d}{x} = x'(t) \,\mathrm{d}{t} \qquad \,\mathrm{d}{y} = y'(t) \,\mathrm{d}{t} \qquad \,\mathrm{d}{z} = z'(t) \,\mathrm{d}{t} \end{equation}
这样,对曲线上任意一点(对应参数 $t$),$ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 可表示成 $t$ 的矢量函数 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} (t) = \boldsymbol{\mathbf{F}} [x(t),y(t),z(t)]$. $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 的三个分量2 则表示为关于 $t$ 的单变量标量函数
\begin{equation} F_{x_i}(t) = F_{x_i}[x(t),y(t),z(t)] \quad (i = 1,2,3) \end{equation}

   下面将三维空间的线积分转换为三个一元定积分

\begin{equation} \begin{aligned} \int \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } &= \lim_{n \to \infty } \sum_{i = 1}^n \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} _i) \boldsymbol\cdot \Delta \boldsymbol{\mathbf{r}} _i\\ &= \lim_{n \to \infty } \sum_{i = 1}^n F_x( \boldsymbol{\mathbf{r}} _i)\Delta {x_i} + \lim_{n \to \infty } \sum_{i = 1}^n F_y( \boldsymbol{\mathbf{r}} _i)\Delta{y_i} + \lim_{n \to \infty } \sum_{i = 1}^n F_z( \boldsymbol{\mathbf{r}} _i)\Delta{z_i} \\ &= \int {F_x}( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \,\mathrm{d}{x} + \int {F_y}( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \,\mathrm{d}{y} + \int {F_z}( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \,\mathrm{d}{z} \end{aligned} \end{equation}
设积分路径 $C_{ab}$ 的起点对应 $t = a$,终点对应 $t = b$.结合式 1 ,上面每一项积分可以表示为
\begin{equation} \int F_{x_i}( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \,\mathrm{d}{x_i} = \int_a^b F_{x_i} [ \boldsymbol{\mathbf{r}} (t)] x_i'(t) \,\mathrm{d}{t} \quad (i=1,2,3) \end{equation}
计算这三个关于 $t$ 的定积分再相加,就可以得出线积分结果.

例 1 计算力场对质点的做功

   令力场为 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} = \alpha r \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $,一质点从原点出发,沿轨迹 $(x-a)^2 + y^2 = a^2$ 的上半部分移动到 $(a,0)$,求力对质点做的功.若起点终点不变,轨迹改为延 $x$ 轴,结果又如何?

   我们先来建立运动轨迹的参数方程.由于运动是一个圆,我们可以使用圆的参数方程.把角度作为参数 $t$,$t\in [0,\pi]$.

\begin{equation} \begin{cases} x(t) = a(1-\cos t)\\ y(t) = a \sin t \end{cases} \qquad \begin{cases} x'(t) = a \sin t\\ y'(t) = a \cos t \end{cases} \end{equation}
把力场在直角坐标系中表示为 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} (x,y) = \alpha (x\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + y\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} )$,两个分量分别为 $F_x = \alpha x, F_y = \alpha y$.由式 4 $(i=1,2)$,力场对质点做功等于两个定积分之和
\begin{equation} W = \int \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } =\int_0^\pi \alpha a(1-\cos t) \cdot a \sin t \,\mathrm{d}{t} + \int_0^\pi \alpha a \sin t \cdot a \cos t \,\mathrm{d}{t} \end{equation}
注意到第一个积分中的第二项恰好是第二个积分的相反数,所以上式变为
\begin{equation} \int_0^\pi \alpha a^2 \sin t \,\mathrm{d}{t} =2 \alpha a^2 \end{equation}

   现在来计算延 $x$ 轴的直线轨迹运动的情况.由于轨迹上处处都有 $y=0$,$F_y = 0$,积分只有 $F_x$ 一项.另外 $x$ 本身就可以作为轨道参数,即 $x(t) = t, y(t) = 0, x\in [0, 2a]$.代入式 4 得做功为

\begin{equation} W = \int_0^{2a} \alpha x \,\mathrm{d}{x} = 2 \alpha a^2 \end{equation}

   在上例中,我们发现对于给定的矢量场,即使路径不同,当起点和终点相同时,线积分的结果也相同(虽然我们只计算了两条路径,但这个结论是正确的).具有这样性质的矢量场叫做保守场,并总存在一个势能函数.


1. ^ 注意这里的 $t$ 不一定代表时间,可以是任意参数,甚至可以是 $x,y,z$ 中的一个.
2. ^ 为了书写简洁,这里定义 $x_1\equiv x, x_2\equiv y,x_3\equiv z$.

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