一元函数的微分

             

预备知识 导数

   考察一个连续光滑的函数 $y = f(x)$,在 $x$ 处函数值为 $y$,若此时函数增加一个无穷小量 $ \,\mathrm{d}{x} $,函数值会相应增加无穷小量 $ \,\mathrm{d}{y} $.根据导数的定义 $f'(x) = \mathrm{d}{y}/\mathrm{d}{x} $,我们将 $ \,\mathrm{d}{y} $ 与 $ \,\mathrm{d}{x} $ 的关系记为

\begin{equation} \,\mathrm{d}{y} = f'(x) \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
这就是一元函数的微分.注意一元函数的求导和微分除了表达方式不同外并无太大区别.从形式上来看,微分是微小变化量之间的线性关系,而导数则强调变化率.

1. 微分近似

   严格来说,类似式 1 的微分关系式默认取极限 $ \,\mathrm{d}{x} \to 0$ 才能使等号成立,但只要在一定范围 $\Delta x$ 内导函数 $f'(x)$ 的变化非常小,就可以将函数值的变化量 $\Delta y = f(x+\Delta x)-f(x)$ 近似为

\begin{equation} \Delta y \approx f'(x) \Delta x \end{equation}
注意在近似式中不能出现微分符号 $\mathrm{d}$,也不能使用等号.

图
图 1:微分近似用函数曲线的切线增量 $f'(x)\Delta x$ 来近似函数增量 $\Delta y$

例 1 测量误差

   若测得立方体的边长为 $a$,测量的最大可能误差为 $\sigma_a$(可以假设 $\sigma_a \ll a$),估计立方体体积的最大误差 $\sigma_V$.

   立方体的体积与边长的关系为 $V(a)=a^3$,根据微分近似,有

\begin{equation} \sigma_V \approx V'(a) \sigma_a = 3a^2 \sigma_x \end{equation}

例 2 细圆环的面积和薄球壳的体积

   圆的面积关于其半径的函数为 $A(r) = \pi r^2$,对该式进行微分得 $ \,\mathrm{d}{A} = 2\pi r \,\mathrm{d}{r} $.注意到 $2\pi r$ 为 $r$ 对应的周长,所以该微分式的意义就是,半径为 $r$,宽度为 $ \,\mathrm{d}{r} $ 的圆环的面积等于该圆环的周长乘以圆环的宽度.

   球的体积关于其半径的函数为 $V(r) = 4\pi r^3/3$,求微分得 $ \,\mathrm{d}{V} = 4\pi r^2 \,\mathrm{d}{r} $.注意到 $4\pi r^2$ 为 $r$ 对应的球表面积,所以该微分式的意义是,半径为 $r$,厚度为 $ \,\mathrm{d}{r} $ 的球壳的体积等于该球壳的表面积乘以球壳厚度.

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