贡献者： addis
我们回顾导数的定义，令 $y = f(x)$，
\begin{equation}
f'(x) = \frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{x}} = \lim_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}~.
\end{equation}
这告诉我们，当 $\Delta x$ 越小，以下近似就在某种意义上越精确
\begin{equation}
\Delta y \approx f'(x) \Delta x~.
\end{equation}
这说明，当 $\Delta x$ 很小的时候，对应的 $\Delta y$ 和 $\Delta x$ 成正比。
形式上，为了表示 $\Delta x\to 0$ 的过程中上式越来越精确地成立，我们可以写成
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{y} = f'(x) \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
并把它叫做函数 $f(x)$ 的
微分。要特别注意在 “极简微积分” 部分中，该式只是
式 1 的另一种方便的
书写形式。而不可以理解为等号左边的无穷小等于右边的无穷小。因为无穷小并不是具体的实数而是一个过程，无法比较是否精确相等。
1
从式 1 到式 3 你可能会误以为我们可以把第一个等号两边同时乘以 $ \,\mathrm{d}{x} $，且把 $ \mathrm{d}{y}/\mathrm{d}{x} $ 中的分母 “约去”。这只是一种形式上的操作，可以帮助理解和记忆，但不能过度解读。毕竟 $ \mathrm{d}{y}/\mathrm{d}{x} $ 是一个整体符号而不表示除法。
1. 微分近似
在实际应用中，即使 $\Delta x$ 只是一个较小的具体的数而不是无穷小，我们也往往可以适用式 2 来估计 $\Delta y$。
\begin{equation}
\Delta y \approx f'(x) \Delta x~.
\end{equation}
注意在该近似式中不能使用微分符号 $\mathrm{d}$ 或等号。
图 1：微分近似用函数曲线的切线增量 $f'(x)\Delta x$ 来近似函数增量 $\Delta y$，另见
图 3 。
注意式 4 中的近似成立的条件是，在 $\Delta x$ 所在的区间内，$f'(x)$ 的变化足够小，或者说 $f(x)$ 在该区间足够的线性（即足够接近直线）。
例 1 测量误差
若测得立方体的边长为 $a$，测量边长的最大可能误差为 $\sigma_a$，假设 $\sigma_a \ll a$，估计立方体体积的最大误差 $\sigma_V$。
解：立方体的体积与边长的关系为 $V(a)=a^3$，根据微分近似，有
\begin{equation}
\sigma_V \approx V'(a) \sigma_a = 3a^2 \sigma_x~.
\end{equation}
例 2 细圆环的面积和薄球壳的体积
图 2：细圆环的面积
1. 圆的面积关于其半径的函数为 $A(r) = \pi r^2$，对该式进行微分得 $ \,\mathrm{d}{A} = 2\pi r \,\mathrm{d}{r} $。注意到 $2\pi r$ 为 $r$ 对应的周长，所以微分近似告诉我们，半径为 $r$，宽度为 $\Delta r \ll r$ 的圆环的面积约等于该圆环的周长乘以圆环的宽度。
2. 球的体积关于其半径的函数为 $V(r) = 4\pi r^3/3$，求微分得 $ \,\mathrm{d}{V} = 4\pi r^2 \,\mathrm{d}{r} $。注意到 $4\pi r^2$ 为 $r$ 对应的球表面积，所以微分近似告诉我们，半径为 $r$，厚度为 $\Delta r \ll r$ 的球壳的体积等于该球壳的表面积乘以球壳厚度。
注意这两个近似成立的前提都是在 $\Delta r$ 的范围内，$A'(r)$ 或 $V'(r)$ 变化得足够慢。也就是需要满足
\begin{equation}
\Delta r \ll r~,
\end{equation}
即厚度
远小于半径。
2 你可以给 $r$ 和 $\Delta r$ 取不同的具体数值，验证以上近似的误差有多大。
例 3 失败的例子
作为一个失败的例子，我们对 $y = x^2$ 以及 $x=0$ 使用式 4 。由于 $f'(x) = 2x$，有 $f'(0) = 0$，也就是说无论 $\Delta x$ 多小都会估计出 $\Delta y = 0$。
但若 $\Delta x = x - 0$，则精确来说 $\Delta y = x^2 - 0^2 = \Delta x^2$。所以该近似的相对误差达到了 $-100\%$。
为什么会失败呢？还记得我们上文说过，该近似要求斜率在 $\Delta x$ 范围内变化很小。但该例中 $x=0$ 处的斜率为 0，而 $x=\Delta x$ 处斜率为 $2\Delta x$，导致后者的斜率的相对增长是无穷大。这也是为什么上例中我们要求式 6 （试想如果 $\Delta r$ 的区间取 $[0, \Delta r]$ 会发生什么）。
该例中要得到更好的近似公式或理解，就需要了解之后我们要学习的二阶无穷小和泰勒展开。但暂时你只需要知道当斜率接近 0 时，该近似很可能失效。
1. ^ 但如果你把 $ \,\mathrm{d}{x} $ 和 $ \,\mathrm{d}{y} $ 理解成非常小的具体实数，那严格来说又只能写成式 2 ，因为严格来说等号必须是精确的且它的含义需要明确定义。
2. ^ 远小于只是一个模糊的说法，具体需要小多少倍，还是取决于你对误差的要求。
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