质点问题（摘要）

贡献者： ACertainUser; addis

　　这是关于质点运动学与动力学问题的摘要与总结。

1. 参考系

图 1：参考系=参考物+坐标系

　　我们往往需要选择一个参考系才能有效地探讨各类物理问题。参考系=参考物+坐标系。

图 2：参考系不同，对物理量的描述也可能不同

　　例如，“小明在教学楼往北 30m 的地方” 这句话就包括了一个参考物 “教学楼”、一个（一维的）坐标系 “北” 和一个单位标尺 “m”。而在另一人看来，小明可能 “在食堂往东 20m”。这两句话看似完全不一样，但都是正确的，只是描述时使用的参考系不同。

惯性参考系

　　牛顿第一定律(见下)定义了惯性参考系；相对于惯性参考系匀速运动的参考系还是惯性参考系。

2. 质点运动学

图 3：位矢、速度、加速度

　　质点运动学量描述了质点的位矢、速度、加速度等。

表1：质点运动学量

名称	定义
位矢 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $	（原点至质点的矢量）
速度 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $	$ \boldsymbol{\mathbf{v}} = \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }}{\mathrm{d}{t}} $
加速度 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} $	$ \boldsymbol{\mathbf{a}} = \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }}{\mathrm{d}{t}} = \frac{\mathrm{d}^{2}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }}{\mathrm{d}{t}^{2}} $

　　反过来，可由加速度、速度求位矢。 $$ \boldsymbol{\mathbf{v}} = \int^{t}_0 \boldsymbol{\mathbf{a}} \,\mathrm{d}{t} + \boldsymbol{\mathbf{v}} _0~, $$ $$ \boldsymbol{\mathbf{r}} = \int^{t}_0 \boldsymbol{\mathbf{v}} \,\mathrm{d}{t} + \boldsymbol{\mathbf{r}} _0~, $$

　　 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _0, \boldsymbol{\mathbf{r}} _0$ 与初始条件有关。单由速度不能完全确定质点的位置。比如小明说 “我出门往前走了 30m，又右转再走了 20m”。我们的确可以根据小明的描述画出他的行走路线，但如果不知道小明最初在哪里，我们仍然无从得知他的这段行程之后是从图书馆走到了教室，还是从宿舍走到了食堂。

3. 质点动力学

牛顿定律

　　牛顿定律是经典物理中最伟大的发现（可能没有之一）。由于太重要了，因此我不得不在这里复读一遍：

第一定律：不受力或受合力为零的质点做匀速直线运动或静止。
第二定律：质点所受合外力等于质点的质量乘以加速度。
第三定律：两质点的相互作用力等大反向。

　　牛顿的三大定律无不涉及 “力” 的概念。“力” 又是一个令人费解的抽象概念，不过，你只暂时需要知道 “力是物体之间的相互作用，它会改变物体的形状或运动状态；力的作用效果与力的大小、方向、作用点有关。”（反之，如果物体的形状或运动状态改变，那我们说有力作用在上面）

　　牛顿第二定律描述了力对物体运动状态的影响(将牛二写为 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} = \frac{ \boldsymbol{\mathbf{F}} }{m}$ 时更直观地体现了这一点)¹，联系了运动学与动力学。

　　有人认为牛顿第二定律定义了力，但在费曼²等人看来，牛二以及牛顿三定律只是描述了力的作用效果，而没有直接定义什么是力，否则将会陷入循环论证的尴尬。

力的合成与分解：力的 “加法”

图 4：力的合成

　　力由矢量描述，并且符合矢量的加减法。我们通过合成或分解力来处理合力或力平衡的问题。

质点动力学量与定理

表2：质点系相关物理定律

名称	公式	涉及的物理量 1	涉及的物理量 2	相应的守恒律
牛二	$ \boldsymbol{\mathbf{F}} = m \boldsymbol{\mathbf{a}} $	$ \boldsymbol{\mathbf{a}} $ 是质点的加速度	$ \boldsymbol{\mathbf{F}} =\sum \boldsymbol{\mathbf{F}} _i$ 是质点所受合力	$ \boldsymbol{\mathbf{F}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} \Rightarrow \boldsymbol{\mathbf{a}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} \Rightarrow \boldsymbol{\mathbf{v}} = \boldsymbol{\mathbf{v}} _0$ 质点所受合力为零时，保持静止或匀速运动。这就是判断质点受力平衡的重要依据。
动量定理	$ \boldsymbol{\mathbf{F}} = \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }}{\mathrm{d}{t}} $	$ \boldsymbol{\mathbf{p}} = m \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 质点动量是质点质量与速度的乘积	$ \boldsymbol{\mathbf{F}} =\sum \boldsymbol{\mathbf{F}} _i$ 是质点所受的合力。	若 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} $，则 $ \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{P}} }}{\mathrm{d}{t}} = 0$，即合力为零时，质点动量守恒。
角动量定理	$ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} = \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{L}} }}{\mathrm{d}{t}} $	$ \boldsymbol{\mathbf{L}} = \boldsymbol{\mathbf{r}} \times \boldsymbol{\mathbf{p}} $ 质点角动量是质点动量与位矢的叉乘	$ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} = \sum \boldsymbol{\mathbf{\tau}} _i $ 是质点所受力矩和；$ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} _i= \boldsymbol{\mathbf{r}} \times \boldsymbol{\mathbf{F}} _i$ 力矩是力与位矢的叉乘；	力矩和为零时，质点角动量守恒
动能定理	$W = \Delta E_k$	$E_k = \frac{1}{2} m v^2$ 质点动能=1/2质点质量速度的平方	$W = \sum W_i$ 是各力做的功之和； $W_i = \boldsymbol{\mathbf{F}} _i \cdot \Delta \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 功是力在质点位移上的“作用量”。	功之和为零时，质点动能守恒
保守力的功-能关系	$W_{CON} = -\Delta E_p$	$E_P$ 是势能	$W_{CON}$ 是保守力的功之和	$W_{C} = 0 \Rightarrow \Delta E_{P} = 0$
机械能定理	$W_{NC} = \Delta E_{mech}$	$E_{mech} = E_k+E_P$ 机械能是动能、势能之和	$W_{NC}$ 是非保守力的功之和	$W_{NC} = 0 \Rightarrow \Delta E_{mech} = 0$

　　³,⁴

分量形式

　　由于这些方程大都是矢量方程，因此每个方程其实包括了三个不同方向上的方程。比如在直角坐标系中， $ \boldsymbol{\mathbf{F}} = m \boldsymbol{\mathbf{a}} \Rightarrow \left \{ \begin{aligned} F_x &= m a_x \\ F_y &= m a_y \\ F_z &= m a_z \\ \end{aligned} \right . $。同理， $ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{v}} } = \boldsymbol{\mathbf{a}} \,\mathrm{d}{t} \Rightarrow \left \{ \begin{aligned} \,\mathrm{d}{v} _x &= a_x \,\mathrm{d}{t} \\ \,\mathrm{d}{v} _y &= a_y \,\mathrm{d}{t} \\ \,\mathrm{d}{v} _z &= a_z \,\mathrm{d}{t} \\ \end{aligned} \right . $。

　　因此，尽管这些矢量公式看起来非常简洁，但如果你试图直接计算的话，往往会陷入一些麻烦（例如，在直角坐标系下计算有关圆周运动的问题！）。所以，认真寻找问题中的对称性与不变量、选取合适的坐标系以避免直接计算就尤为重要。

4. 伽利略变换

图 5：伽利略变换

图 6：速度的参考系变换

　　有时我们需要改变参考系来观察同一质点。伽利略变换告诉我们应该如何在不同参考系中相应地转换物理量（在工科力学中这类问题被称为 “点的复合运动问题”）。我们先处理惯性系之间的相互转换问题，非惯性系问题将在文末简要说明。

表3：惯性系间的伽利略变换

物理量	公式
位矢	$ \boldsymbol{\mathbf{r}} _{K1} = \boldsymbol{\mathbf{r}} _{K2} + \boldsymbol{\mathbf{r}} _r$
速度	$ \boldsymbol{\mathbf{v}} _{K1} = \boldsymbol{\mathbf{v}} _{K2} + \boldsymbol{\mathbf{v}} _r$
加速度	$ \boldsymbol{\mathbf{a}} _{K1} = \boldsymbol{\mathbf{a}} _{K2}$

　　注意到在任意惯性参考系中质点的加速度都一致。根据牛顿第二定律 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} = m \boldsymbol{\mathbf{a}} $，这暗示了质点所受合力无关惯性参考系。式 3 ⁵

5. 相对性原理

　　在任意惯性系中，上述动力学定理始终成立。亦即在不同惯性参考系中可能观察到不同的物理量，但不会观察到不同的物理规律。

6. 非惯性参考系问题

表4：惯性系-非惯性系的伽利略变换

物理量	公式
位矢	$ \boldsymbol{\mathbf{r}} _{K1} = \boldsymbol{\mathbf{r}} _{K2} + \boldsymbol{\mathbf{r}} _r$
速度	$ \boldsymbol{\mathbf{v}} _{K1} = \boldsymbol{\mathbf{v}} _{K2} + \boldsymbol{\mathbf{v}} _r$
加速度（参考系间仅平动）	$ \boldsymbol{\mathbf{a}} _{K1} = \boldsymbol{\mathbf{a}} _{K2} + \boldsymbol{\mathbf{a}} _r$
加速度（参考系间平动+转动）	$ \boldsymbol{\mathbf{a}} _{K1} = \boldsymbol{\mathbf{a}} _{K2} + \boldsymbol{\mathbf{a}} _r +2 \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \times \boldsymbol{\mathbf{v}} _{K2}$

　　除了加速度，其余项完全相同；但加速度变换的物理含义非同一般：再次根据牛二 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} = m \boldsymbol{\mathbf{a}} $，物体的加速度与其受力直接相关。因此，在非惯性系中看来，物体似乎受额外的假想力，例如惯性力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _\text{惯} = -m \boldsymbol{\mathbf{a}} _r$、离心力、科氏力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _\text{科} = -2 m \boldsymbol{\mathbf{v}} _{K2}\times \boldsymbol{\mathbf{\omega}} $ 。

　　相应地，在非惯性系中，牛二的形式化为 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} + \boldsymbol{\mathbf{F}} _\text{惯} + \boldsymbol{\mathbf{F}} _\text{科} = m \boldsymbol{\mathbf{a}} _{K2} $，$ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 是在惯性系中观察到的质点受力。

图 7：在地面惯性系 $K1$ 看来，板车以及车上的货物在向右加速，货物自然根据 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} =m \boldsymbol{\mathbf{a}} $ 受到来自板车后侧的支持力；而在板车非惯性参考系 $K2$ 看来，货物似乎被一个惯性力压在板车后方。这也是汽车加速时的“推背感”

　　例如，在一个（相对于某一惯性参考系）向右加速的参考系看来，所有物体都似乎受一个向左的惯性力。

7. 一些你可能关心的其他问题

　　这些结论并不是构建经典力学体系所必需的，但是他们很常用。

　　重力：$ \boldsymbol{\mathbf{G}} = mg \hat{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }$ 方向指向地面。地球引力的地表小范围近似。

　　引力：$ \boldsymbol{\mathbf{G}} = \frac{GMm}{r^2} \hat{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }$ 方向是两物体相互吸引的方向。

　　静电力：$ \boldsymbol{\mathbf{F}} = \frac{kQq}{r^2} \hat{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }$ 同种电荷相互吸引、异种电荷相互排斥。静电力与引力的相似引发了人们的无尽遐想。

　　摩擦力：$ \boldsymbol{\mathbf{f}} = - \mu N \hat{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }$ 指向物体（将要）运动的反方向。有时也使用 $ \boldsymbol{\mathbf{f}} = - \alpha v^n \hat{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }$。

　　弹簧弹力与回复力: $ \boldsymbol{\mathbf{F}} = - k \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 方向指向平衡位置

　　支持力 $ \boldsymbol{\mathbf{N}} $：总是垂直于接触面的公切线。

1. ^ 拓展一步：力对物体形状的影响是个复杂得多的问题，包括弹性力学、塑性力学、流体力学...
2. ^ 参考他三本厚厚的《物理学讲义》
3. ^ 有些人（包括笔者）认为，“势能” 源于质点和系统其余部分的相互作用，因此势能应属于整个系统，而非单独这个质点。
4. ^ 看起来，“合力的矩” 与 “力矩的和”$ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} = \boldsymbol{\mathbf{r}} \times (\sum \boldsymbol{\mathbf{F}} _i) = \sum ( \boldsymbol{\mathbf{r}} \times \boldsymbol{\mathbf{F}} _i)$ 是一样的，但只有单个质点时才如此，在多质点体系（质点系与刚体）中只有 “力矩的和” 有意义。因此，本文避免了前者这种具有迷惑性的写法。
5. ^ 拓展一步：实际问题比这个看似平凡的结论微妙得多。一个经典的问题是，“如果在 S 系中观察到一电荷在磁场中运动，那么 S 系的观察者会认为电荷受磁场力；但在随电荷一同运动的 S‘参考系中的观察者看来，电荷静止不动，则不应受磁场力！为什么两个参考系中的观察者会 “看到” 电荷不同的受力情况？那电荷到底如何运动？” 对于这类问题的思考启发了狭义相对论与相对论性电动力学。简要的回答是，根据洛伦兹变换，在 S’系中的观察者其实看到了磁场 “变成了” 电场，因此电荷受电场力，他的方向与大小恰好等效于 S 系观察者所认为的磁场力。尽管两个参考系的人对于力的来源意见不一，但力的作用效果是完全相同的。