贡献者： addis
1. 质点的角动量
在我们讨论物体的转动时通常会引入角动量（angular momentum）的概念，这与直线运动中的动量有许多相似之处。
定义 1 角动量
一个质点的质量为 $m$，某时刻速度为 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $，则其动量为 $ \boldsymbol{\mathbf{p}} = m \boldsymbol{\mathbf{v}} $。在三维空间中建立坐标系，原点为 $O$，$O$ 点到质点的位置矢量为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $。定义该质点关于 $O$ 点的角动量为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{L}} = \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{p}} = m \, \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{v}} ~.
\end{equation}
由叉乘的几何定义 可知，当速度与位矢平行时角动量为 $ \boldsymbol{\mathbf{0}} $，垂直时角动量模长为距离和动量模长的积 $L = rp$。
注意角动量取决于参考系的选取，如果我们选用不同的参考系，那么式 1 中的 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 就会发生改变，进而改变角动量。事实上我们也可以取空间中的任意一点 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _0$ 作为角动量的参考点，定义角动量为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{L}} = ( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} _0) \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{p}} ~.
\end{equation}
这相当于以 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _0$ 为原点建立一个新的参考系，然后在其中计算角动量。或者更简单地，我们可以说这是关于 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _0$ 点的角动量。
例 1 质点圆周运动的角动量
图 1：圆周运动的角动量
考虑一个质量为 $m$ 的质点绕坐标原点做半径为 $r$ 的逆时针匀速圆周运动（图 1 ），角速度为 $\omega$，速度为 $v = \omega r$。对于圆周运动，位置矢量和速度矢量始终垂直，令 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $ 为垂直纸面向外的单位矢量，则角动量为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{L}} = mvr \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} = m r^2 \omega \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ~.
\end{equation}
所以质点绕原点做圆周运动时，角动量矢量不随时间变化，即下文将要介绍的角动量守恒。
例 2 质点直线运动的角动量
图 2：直线运动的角动量
虽然角动量通常用于描述转动，但也可以描述质点任意运动。例如当质点做匀速直线运动，运动轨迹与原点的距离为 $d$，则角动量始终为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{L}} = mvr\sin\theta \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} = mvd \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ~,
\end{equation}
所以做直线运动的质点同样有角动量守恒。
习题 1 角动量的轴向分量
在例 1 中，如果不把坐标原点设置在圆心上，而是在过圆心的转轴的其他位置，请问 1. 角动量的方向如何？是否随时间变化？2. 角动量矢量在转轴方向的分量是多少？是否随时间变化？
2. 单质点角动量定理
令质点在某时刻受到的力矩为 $ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} $，可以证明
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{L}} }}{\mathrm{d}{t}} = \boldsymbol{\mathbf{\tau}} ~,
\end{equation}
这就是（单个质点的）
角动量定理。
特殊地，若质点受到的力矩为零，则 $ \mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{L}} }/\mathrm{d}{t} = \boldsymbol{\mathbf{0}} $，即角动量不随时间变化。这个现象叫做角动量守恒（conservation of angular momentum）。由力矩的定义（式 3 ）$ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} = \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{F}} $，可见以下两种情况下力矩为零，角动量守恒。
- 质点受合力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} $，即质点静止或做匀速直线运动（例 2 ）。
- $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 与 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 同向，即质点只受关于 $O$ 点的有心力。如例 1 的圆周运动中，向心力就属于有心力。
习题 2
习题 1 中我们发现质点的角动量会随时间变化，而质点作圆周运动只需要向心力。计算向心力产生的力矩，是否能使式 5 的角动量定理成立？
证明
我们来证明单个质点的角动量定理。令质点的速度为 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} = \mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }/\mathrm{d}{t} $，加速度为 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} = \mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }/\mathrm{d}{t} $，叉乘的求导法则（式 7 ）与标量乘法求导类似，牛顿第二定律为 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} = m \boldsymbol{\mathbf{a}} $，两个同方向矢量叉乘为零，
\begin{equation}
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{L}} }}{\mathrm{d}{t}} &= \frac{\mathrm{d}{( \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{p}} )}}{\mathrm{d}{t}} = m \frac{\mathrm{d}{( \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{v}} )}}{\mathrm{d}{t}}
= m \left( \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }}{\mathrm{d}{t}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{v}} + \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }}{\mathrm{d}{t}} \right) \\
&= m( \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{v}} + \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{a}} ) = \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times (m \boldsymbol{\mathbf{a}} )\\
&= \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{F}} = \boldsymbol{\mathbf{\tau}} ~.
\end{aligned} \end{equation}
证毕。
