位置矢量、位移

贡献者： addis

预备知识 1　几何矢量

图 1：位矢与位移

1. 位矢

　　¹位置矢量（position vector）简称位矢，是从坐标原点 $O$ 指向某一点 $P$ 的矢量，可记为 $r$ 或 $\vec{O P}$ 。位矢常用于表示坐标系中一点的位置。

　　有时候可将位矢 $r$ 作为自变量以表示一个关于位置的函数。例如一个物体内密度关于位置的分布可以表示为 $ρ (r)$ 。在直角坐标系中，就相当于 $ρ (x, y, z)$ ，在球坐标系中就相当于 $ρ (r, θ, ϕ)$ 。这么做的好处是书写简洁，而且不需要指定坐标系的种类。

　　在物体运动过程中，可以把物体的坐标（以位矢表示）看做时间的矢量函数 $r = r (t)$ ，则位移 $Δ r$ 是一段时间 $[t_{1}, t_{2}]$ 内物体初末位矢的矢量差

\begin{matrix} (1) & Δ r = r (t_{2}) - r (t_{1}) . \end{matrix}

注意位移只与一段时间内物体的初末位置有关，与路径无关。由位移的概念可以进一步定义速度和加速度。

预备知识 2　全微分，矢量的微分，矢量内积

　　这个证明的几何意义是，位矢模长的微小变化等于位矢的微小变化在位矢方向的投影。

　　这里以平面直角坐标系中的位矢为例证明。令位矢 $r$ 的坐标为 $(x, y)$ ，模长为 $r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ ，模长的全微分为

\begin{matrix} (2) & d r = \frac{\partial r}{\partial x} d x + \frac{\partial r}{\partial y} d y = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} d x + \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} d y . \end{matrix}

考虑到

x / \sqrt{x^{2} + y^{2}}

和

y / \sqrt{x^{2} + y^{2}}

分别为

\hat{r} = r / r

的两个分量，

d x

和

d y

分别为

d r

的两个分量，根据内积的定义上式变为

\begin{matrix} (3) & d r = \hat{r} \cdot d r . \end{matrix}

1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。