简谐振子（经典力学）

贡献者： JierPeter; addis

预备知识　胡克定律，牛顿第二定律

未完成：应该另写一个高中版本，不涉及微积分，把这里的基本概念移动过去

1. 简谐振子及其运动方程

简谐振子的概念

图 1：简谐振子模型

　　如图 1 ，质量为 $m$ 的质点固定在弹性系数为 $k$ 的弹簧的一端，弹簧另一端固定，忽略弹簧的质量，任何摩擦以及重力。

　　在 $t = 0$ 时，若质点不在平衡位置，或者有一个初速度，则接下来会发生振动。以质点拉伸弹簧的方向为 $x$ 轴正方向，质点的平衡位置为 $x = 0$。当质点在位置 $x$ 时，根据胡克定律，受力为 $F = - kx$。根据牛顿第二定律 $F = ma = m\ddot x$（$\ddot x$ 代表对时间的二阶导数）。两式消去 $F$，得

\begin{equation} m\ddot x = - kx~, \end{equation}

这是一个单自变量常微分方程}。我们以弹簧振子为代表，将一切形如式 1 的方程称为简谐振子方程，或者说将一切能量与位置关系满足胡克定律的系统称为简谐振子¹。

　　微分方程式 1 的通解表示为：

\begin{equation} x = A \cos\left(\omega t + \phi_0\right) \qquad \left(\omega = \sqrt{k/m} \right) ~. \end{equation}

即无论常数 $A, \phi_0$ 取任意值，形如式 2 的函数都满足式 1 ，且任意一个满足式 1 的函数必取式 2 的形式。

　　像式 2 这样满足正弦（余弦）规律的运动叫做简谐运动（或简谐振动）。其中 $A$ 为振幅（amplitude），$\omega t + \phi_0$ 为相位（phase），$\phi_0$ 为初相位（initial phase）（即 $t = 0$ 时刻的相位）。

　　方程式 1 的解法见下：

方程的解法

　　由于上式中最高阶导数是二阶，所以叫做二阶微分方程。要解该方程，就是要寻找一个函数 $x(t)$，使它的二阶导数与 $- x(t)$ 成正比，比例系数为 $k/m$。

　　注意到 $\cos'' t = - \cos t$ 具有类似的性质²，不妨继续猜测 $x = \cos\left(\omega t\right) $，则 $\ddot x = - {\omega ^2}\cos \omega t$。所以只要令 $\omega = \sqrt{k/m}$ 即可满足方程。这说明，弹簧的振动可以用余弦函数来描述。但是这只是方程的一个解。容易验证，形如式 2 的函数 $x(t)$ 都是式 1 的解。

　　事实上，式 2 包含了式 1 的所有解。要证明这一点，需要了解常微分方程的解的结构，因此这里不作讨论。感兴趣的读者请系统学习常微分方程一章。

　　式 1 的解法还可参考二阶常系数齐次微分方程的通解，或见常系数线性齐次微分方程，是其中一个简单的特例。

初值与特解

　　简谐振子的运动规律式 2 知道了，但是如何决定 $A$ 和 $\phi_0$ 呢？

　　由于有两个待定常数，我们需要两个额外条件才能解出。常见的情况是给出初始时刻 $t = 0$ 时质点的位置 $x(0)$ 和速度 $\dot x(0)$，这就叫做初值条件。

　　例如给出 $x(0) = 0$， $\dot x(0) = v_0$，把方程的通解代入，得 $A\cos \phi_0 = 0$， $ - A\omega \sin \phi_0 = v_0$，解得 $\phi_0 = \pi /2$， $A = -v_0\omega $。所以

\begin{equation} x = - v_0\omega \cos\left(\omega t + \frac{\pi }{2}\right) = v_0\omega \sin \omega t \qquad \left(\omega = \sqrt{k/m} \right) ~. \end{equation}

　　初值条件给定，我们便能计算出待定常数 $A$ 和 $\phi_0$，得到唯一的解，即特解。初值条件把不确定的通解固定为唯一特解，其物理意义是初值条件唯一决定了系统的运动状态。

2. 其它简谐振子模型

竖直的弹簧振子

　　将图 1 中的弹簧振子竖直放置，忽略弹簧质量，那还是简谐振子吗？答案是肯定的，这是因为胡克定律是线性的。下面是具体讨论。

　　设原点仍然定义为弹簧处于原长时的末端，那么小球的运动方程为：

\begin{equation} m\ddot{x} = -kx+mg~. \end{equation}

作变量代换 $x=y+\frac{mg}{k}$，代回式 4 即得

\begin{equation} m\ddot{y} = m\ddot{x} = -kx+mg = -ky~. \end{equation}

式 5 就和式 1 一模一样，只是把 $x$ 换成了 $y$。

　　由此可见，如果小球所受重力为 $mg$，那么我们只需要把原点定义为比弹簧原长的位置还长 $\frac{mg}{k}$，那整个系统依然是一个平衡点在原点处的弹簧振子。在这个平衡点，重力和弹簧拉力平衡。

小角度单摆

　　关于单摆的讨论，另见单摆和单摆（大摆角）。

　　图 2 的左边是一个单摆，右边是摆锤的受力分析。

图 2：单摆。

　　轻质摆臂的长为 $l$，摆锤的质量为 $m$，则当单摆偏离平衡位置的角度为 $\theta$ 时，摆锤所受合力大小为

\begin{equation} F_{\text{合}} = mg\sin\theta~. \end{equation}

　　设 $x=l\theta$ 是摆锤划过 $\theta$ 角的弧长，于是单摆的运动方程为

\begin{equation} m\ddot{x} = -mg\sin\theta~, \end{equation}

　　这是一个非线性方程。为了简化，我们只考虑摆幅很小的情况（通常取 $\theta< t^\circ$），此时 $\sin\theta$ 近似等于 $\theta$，且 $x$ 也近似等于摆锤的水平位移。于是式 7 化为

\begin{equation} l\ddot{\theta} = -g\theta~. \end{equation}

式 8 等价于

\begin{equation} \ddot{x} = -\frac{g}{l}x~, \end{equation}

　　显然这也是一个简谐振子。

3. 能量

图 3：简谐振子势能曲线

　　简谐振子的总能量等于质点动能加弹簧的弹性势能。当位移最大时，动能为 0，总能量等于势能，位移为 0 时势能为 0，总能量等于动能

\begin{equation} E = \frac{1}{2} mv^2 + \frac12 k x^2 = \frac12 k A^2 = \frac12 m v_0^2~. \end{equation}

其中 $v_0$ 是质点经过原点处的速度，即最大速度；$A$ 是质点速度为零时到原点的距离，即最大距离。

4. 频率

　　简谐振子作周期性振动，可以计算其振动频率。振动频率的定义是单位时间内完成的周期数量，即完成一个周期所需时间的倒数。

　　假设一个简谐振子的运动方程为

\begin{equation} x = A \cos\left(\omega t+\phi_0\right) ~. \end{equation}

其周期为 $T$，那么由于余弦函数的周期是 $2\pi$，可知

\begin{equation} \omega T = 2\pi~, \end{equation}

于是简谐振子的周期为

\begin{equation} T = \frac{2\pi}{\omega}~, \end{equation}

从而可得其频率

\begin{equation} \nu = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi}~. \end{equation}

由式 2 知，$\omega=\sqrt{k/m}$，因此给定的弹簧振子模型的频率为

\begin{equation} \nu = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}~, \end{equation}

　　类似地，式 9 描述的单摆频率为

\begin{equation} \nu = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l}}~. \end{equation}

　　当你登陆一颗陌生天体时，可以用一根比较轻的绳子拴着一块重物，配合计时工具，利用式 16 快速地粗测出当地的重力加速度。

1. ^ 如量子简谐振子。
2. ^ $\sin t$ 也有同样的性质，所以以下讨论对 $\sin t$ 也成立