科里奥利力

贡献者： addis; junyi

预备知识 1　离心力

　　 科里奥利力（Coriolis Force）是匀速旋转的参考系中由质点运动产生的惯性力。

\begin{matrix} (1) & F_{c} = 2 m v_{S^{'}} \times ω . \end{matrix}

其中

v_{S^{'}}

是质点相对于旋转参考系

S^{'}

的瞬时速度，

ω

是旋转系相对于某惯性系

S

转动的角速度矢量。式中的乘法是叉乘。在匀速转动参考系（属于非惯性系）中，若质点保持相对静止，则惯性力只有离心力。然而当质点与转动参考系有相对速度时，惯性力中还会增加一个与速度垂直的力，这就是科里奥利力。地理中的地转偏向力就是科里奥利力，可用上式计算（见 “地球表面的科里奥利力”）。

　　由叉乘的定义可得，科里奥利力与速度矢量始终保持垂直，所以科里奥利力不会对质点做功。

1. 推导

预备知识 2　连续叉乘的化简，圆周运动的速度，加速度的坐标变换

　　我们可以直接根据惯性力的定义（式 1 ）和加速度的坐标变换（式 9 ）得到任意非惯性系 $S^{'}$ 中质点的总惯性力（ $S$ 为任意惯性系）为

\begin{matrix} (2) & F_{c} = m (a_{S^{'}} - a_{S}) = - m a_{r} + 2 m v_{S^{'}} \times ω . \end{matrix}

其中第一项包含平移惯性力和转动惯性力，转动惯性力又可划分为离心力以及角加速度产生的惯性力（见式 8 ），但与质点相对

S^{'}

的速度无关，所以只将科里奥利力定义为第二项。

未完成：移动到 “加速度的参考系变换” 中

¹类比式 1 ，若

S^{'}

系与

S

系原点始终重合，且相对

S^{'}

相对

S

系以角速度

ω

旋转，对任意一个随时间变化的矢量（假设一阶导数存在），我们把它在

S

和

S^{'}

系中的时间导数分别记为

(\dot{A})_{S}

和

(\dot{A})_{S^{'}}

，则有

\begin{matrix} (3) & (\dot{A})_{S} = (\dot{A})_{S^{'}} + ω \times A . \end{matrix}

最后一项参考式 5 。注意该式中的矢量为几何矢量而不是坐标列矢量，若要将该式记为坐标形式，应该使用同一坐标系。

　　我们先将 $A$ 替换为质点的位矢 $r$ ，得参考系中质点的速度关系为（即式 1 ）

\begin{matrix} (4) & v_{S} = v_{S^{'}} + ω \times r . \end{matrix}

两边在

S

系中对时间求导得

\begin{matrix} (5) & a_{S} = ({\dot{v}}_{S^{'}})_{S} + ω \times v_{S} + \dot{ω} \times r . \end{matrix}

注意

S^{'}

系中的加速度

a_{S^{'}}

并不是

({\dot{v}}_{S^{'}})_{S}

，而是

({\dot{v}}_{S^{'}})_{S^{'}}

。令式 3 中的

A = v_{S^{'}}

，得

\begin{matrix} (6) & ({\dot{v}}_{S^{'}})_{S} = a_{S^{'}} + ω \times v_{S^{'}} . \end{matrix}

将式 4 和式 6 代入式 5 ，得（参考 “连续叉乘的化简”）

\begin{matrix} (7) & a_{S} = a_{S^{'}} + 2 ω \times v_{S^{'}} + ω \times (ω \times r) + \dot{ω} \times r . \end{matrix}

所以旋转参考系中的总惯性力（式 1 ）为

\begin{matrix} (8) & f = m (a_{S^{'}} - a_{S}) = 2 m v_{S^{'}} \times ω - m ω \times (ω \times r) - m \dot{ω} \times r . \end{matrix}

其中第一项被称为科里奥利力（唯一一项与

v_{S^{'}}

有关的），第二项为离心力（式 5 ），第三项为角加速度产生的惯性力。

1. ^ 参考 [1] 相关章节。

[1] ^ Herbert Goldstein. Classical Mechanics 3ed