力矩

贡献者： addis

预备知识 1　矢量的叉乘

1. 平面力矩

　　如果只考虑一个厚度不计的片状物体在平面上的运动和受力，受力点位矢为 $r$ ，力为 $F$ ，那么对于一个给定的参考点（除非明确指出，一般取坐标原点），就可以计算物体的受到的力矩。

图 1：力矩的两种几何理解

　　根据初中所学的方法，应该先作出 “力臂” $r_{⊥}$ 与力的方向垂直（图 1 左）。力矩的大小（用 $τ$ 表示）为

\begin{matrix} (1) & τ = | r_{⊥} | | F | = | r | | F | \sin θ, \end{matrix}

其中

θ

是

r

与

F

的夹角或其补角¹。从另一种角度来看，也可以把力

F

正交分解为平行于

r

的分量和垂直于

r

的分量（图 1 右）。其中平行分量不产生力矩，垂直分量产生的力矩为

\begin{matrix} (2) & τ = | r | | F_{⊥} | = | r | | F | \sin θ . \end{matrix}

为了区分力矩的两个不同的方向（逆时针和顺时针），通常有两种做法：一是用正负号加以区分，例如规定逆时针的力矩为正，顺时针为负。这种定义把力矩看做一种标量（就像我们讨论一维运动时，将速度表示成标量，用正负号区分方向）。

　　若物体受到若干个力，且受力点不在一个平面内，或者力方向不在同一平面内，则应该在三维空间内考虑力矩，这时力矩只能是矢量，使用位置矢量和力矢量的叉乘定义为

\begin{matrix} (3) & τ = r \times F . \end{matrix}

根据这种定义，单个力的力矩大小还是

τ = | r | | F | \sin θ

，但是得到的力矩是矢量。在平面问题中，逆时针的力矩垂直纸面指向读者，而顺时针的力矩方向相反。

预备知识 2　质心，重积分

　　若一个物体在多个位置 $r_{i}$ 分别受力为 $F_{i}$ （ $i = 1, \dots, N$ ）²，那么定义总力矩为每个点的力矩之和

\begin{matrix} (4) & τ = \sum_{i = 1}^{N} τ_{i} = \sum_{i = 1}^{N} r_{i} \times F_{i} . \end{matrix}

如果受力是连续分布的，假设受力的体密度为

f (r)

，那么可以由体积分计算总力矩

\begin{matrix} (5) & τ = \int r \times f (r) d V, \end{matrix}

这个积分可以展开为三个分量的体积分。

　　若一个物体处于匀强重力场中，若它的密度分布为 $ρ (r)$ 求它受重力的力矩。

　　事实上这个问题与其用式 5 ，还有一种更简单的办法：假设这个物体由许多质点组成，每个质点位置为 $r_{i}$ ，质量为 $m_{i}$ ，令重力加速度矢量为 $g$ （这是一个常矢量，指向下），则总力矩为

\begin{matrix} (6) & τ = \sum_{i} r_{i} \times (m_{i} g) = \sum_{i} (m_{i} r_{i}) \times g = (\sum_{i} m_{i} r_{i}) \times g . \end{matrix}

其中第二个等号根据叉乘的几何定义（式 1 ）显然成立，第三个等使用了叉乘的分配律（式 4 ）。

　　再使用质心的定义（式 6 ），令物体总质量为 $M = \sum_{i} m_{i}$ ，得

\begin{matrix} (7) & τ = M r_{c} \times g . \end{matrix}

　　由该例可见，在计算匀强重力场对物体得力矩时，我们可以假设所有的重力都集中与质心一点。

　　一般来说，由于受力点的位置矢量 $r$ 与坐标系的选取有关，现在来看力矩在不同坐标系之间的变换。

　　在坐标系 $A$ 中，第 $i$ 个受力点的位置矢量为 $r_{A i}$ ，物体的合力矩为

\begin{matrix} (8) & τ_{A} = \sum_{i} r_{A i} \times F_{i} . \end{matrix}

在另一坐标系

B

中，

B

原点指向

A

原点的矢量为

r_{B A}

，合力矩为

\begin{matrix} (9) & \begin{aligned} τ_{B} & = \sum_{i} (r_{A i} + r_{B A}) \times F_{i} = \sum_{i} r_{A i} \times F_{i} + \sum_{i} r_{B A} \times F_{i} \\ = τ_{A} + r_{B A} \times \sum_{i} F_{i}, \end{aligned} \end{matrix}

其中最后两步使用了叉乘的分配律（式 4 ）。由结论可以看出，变换坐标系，力矩需要加上原坐标系相对新坐标系的位移叉乘物体的合力。由此也可以得出，若几个力的合力为零，则它们产生的力矩与参考系无关。

1. ^ 因为 $\sin (π - θ) = \sin θ$
2. ^ 如果某个点处受到多个力，我们可以计算该点受到的合力记为 $F_{i}$