杨氏模量、泊松比、剪切模量、广义胡克定律的基本形式

贡献者： ACertainUser; addis

本文处于草稿阶段。

　　¹ 在本文中，我们假定材料是弹性的、线性的、各向同性的，且所有变形都发生在弹性限度内。

1. 杨氏模量；广义胡克定律（单向拉伸）

图 1：在外力下材料变形

　　如同弹簧的胡克定律 $$F=k \Delta x~,$$ 当材料被垂直于截面的单向外力拉伸时，我们有广义胡克定律

\begin{equation} \sigma = E \varepsilon~. \end{equation}

其中 $\sigma$ 是应力，$\varepsilon$ 是应变，$E$ 被称为杨氏模量（Young's modulus），也叫杨氏模数或者弹性模量，是用于衡量材料弹性的力学属性，物理含义类似弹簧的劲度系数 $k$。杨氏模量具有压强的量纲（国际单位：帕斯卡）。

　　更准确地说，由于应力与应变都是局域量，材料不同位置的应力、应变情况可以不同，因此广义胡克定律对 “单个微元” 成立，其使用的应力、应变都是单个微元的应力、应变。如果外力在截面上分布均匀，那么应力化为 $\sigma=\frac{F}{A}$，应变为 $\varepsilon=\frac{\Delta l}{l_0}$，在材料内部是处处相同的，此时广义胡克定律简化为：

\begin{equation} E = \frac{FL_0}{A\Delta L}~. \end{equation}

其中 $F$ 是受力，$L_0$ 是原长，$A$ 是横截面积，$\Delta L$ 是伸长或压缩的长度。通常我们假设 $\Delta L \ll L_0$，因为和弹簧一样，过大的形变会导致非线性效应。

例 1　

　　一根横截面直径为 $2r = 2 \,\mathrm{mm} $ 的钢丝，松弛长度为 $L_0 = 1 \,\mathrm{m} $，已知该钢丝的杨氏模量为 $E = 200 \,\mathrm{GPa} $，要将其拉长 $\Delta L = 1 \,\mathrm{mm} $ 需要在两端施加多大的力？

　　解：横截面为 $A = \pi r^2$，将各个量代入式 2 解的张力为 $F = 628.3 \,\mathrm{N} $。这也意味着，将一个 $60 \,\mathrm{kg} $ 的成年人挂在铁丝上，才能勉强将其拉长 $1 \,\mathrm{mm} $。危险动作请勿模仿！

2. 泊松比

　　玩过橡皮条的你会发现，当你在一个方向上拉伸橡皮时，橡皮在另外两个方向往往也会上缩短。这种现象是普遍的，这意味着，如图 1 所示，材料即使只在 $x$ 方向上受力，在 $y,z$ 方向上也会产生变形。这被称为 “柏松现象”，也是弹性力学的另一个基本假设。

\begin{equation} -\varepsilon_z= \nu \varepsilon_x~. \end{equation}

负号表示变形的方向，$\nu$ 被称为柏松比 (Poisson's Ratio)。$\nu$ 一般为正值，但一些结构特殊的材料的 $\nu$ 可以是负数。根据弹性力学的相关理论可确定 $\nu$ 的理论范围。

3. 剪切模量；广义胡克定律（单向剪切）

图 2：材料发生剪切变形

　　当材料受到一组平行于截面的剪切外力时，材料也会发生形变，只不过发生的是剪切变形。类似地，有

\begin{equation} \tau=2G\varepsilon~. \end{equation}

其中 $\tau$ 是剪应力，$\varepsilon$ 是切应变，$G$ 是剪切模量，或第一 Lame 常数。

　　剪切模量并不是独立的物理量，他取决于材料的杨氏模量与泊松比。

\begin{equation} G = \frac{E}{2(1+\nu)}~. \end{equation}

　　在工程上，这个公式也记为 $\tau=G\gamma$。$\gamma$ 是工程剪应变，工程剪应变仅仅是相应切应变的 $2$ 倍。

1. ^ 本文参考维基百科相关页面与 Callister 的 Material Science and Engineering An Introduction。