机械能守恒（单个质点）
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若质点只受不随时间变化的保守力作用1，那么物体在某段时间内从 $A$ 点移动到 $B$ 点，力场对物体做功能等于初末势能函数之差
\begin{equation}
W_{AB} = V( \boldsymbol{\mathbf{r}} _A) - V( \boldsymbol{\mathbf{r}} _B)~.
\end{equation}
而根据动能定理，力场对质点做功等于质点的末动能减初动能
\begin{equation}
W_{AB} = E_{kB} - E_{kA} = \frac12 m v_B^2 - \frac12 m v_A^2~.
\end{equation}
结合以上两式，得
\begin{equation}
E_{kA} + V( \boldsymbol{\mathbf{r}} _A) = E_{kB} + V( \boldsymbol{\mathbf{r}} _B)~,
\end{equation}
我们现在定义质点在某个时刻的动能加势能为
机械能。上式就是单个质点机械能守恒的表达式。
1. ^ 即势能函数不随时间变化