功、功率
贡献者： addis
图 1：在一小段位移中，把变力看做恒力
如图 1 ，当质点沿着曲线运动时，有一个力作用在其上，当质点的位置为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 时，力为 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$。下面求质点从点 $A$ 运动到点 $B$ 的过程中，力对质点的做功。
把从 $A$ 到 $B$ 这段曲线看成由许多小位移 $\Delta \boldsymbol{\mathbf{r}} _1, \Delta \boldsymbol{\mathbf{r}} _2 \dots \Delta \boldsymbol{\mathbf{r}} _n$ 组成，对其中第 $i$ 个进行分析。由于 $\Delta \boldsymbol{\mathbf{r}} _i$ 很短，质
点经过 $\Delta \boldsymbol{\mathbf{r}} _i$ 的过程中位矢 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 几乎不变，记为常矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _i$。在这小段中， $ \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 也可以近似看成是恒力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} _i)$。
现在把 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} _i)$ 分解成垂直于 $\Delta \boldsymbol{\mathbf{r}} _i$ 和平行于 $\Delta \boldsymbol{\mathbf{r}} _i$ 的两个正交分量，其中垂直分量不做功，平行分量的大小为 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} _i) \right\rvert \cos \theta_i$，该分量做功大小为
\begin{equation}
\Delta W_i = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} _i) \right\rvert \left\lvert \Delta \boldsymbol{\mathbf{r}} _i \right\rvert \cos \theta_i~.
\end{equation}
上式可以表示成
矢量内积的形式
\begin{equation}
\Delta W_i = \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} _i) \boldsymbol\cdot \Delta \boldsymbol{\mathbf{r}} _i~.
\end{equation}
把上式对所有的 $i$ 求和，就得到了做功的近似表达式
\begin{equation}
W_{ab} = \sum_{i = 1}^n \Delta W_i \approx \sum_{i = 1}^n \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} _i) \boldsymbol\cdot \Delta \boldsymbol{\mathbf{r}} _i ~.
\end{equation}
事实上，当曲线分割的越细，即 $n$ 越大时，上式就越精确地成立。类比
定积分中的介绍，令 $n \to \infty $，把求和符号换成积分符号，把表示增量的 $\Delta $ 换成微分符号 $ \,\mathrm{d}{} $，则不等号可以变为等号。
\begin{equation}
W_{ab} = \lim_{n \to \infty } \sum_{i = 1}^n \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} _i) \boldsymbol\cdot \Delta \boldsymbol{\mathbf{r}} _i = \int_{C_{ab}} \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } ~.
\end{equation}
不同于一元函数的积分，这一类特殊的积分叫做
线积分，详见 “
线积分”。
1. 力的功率
功率（瞬时）的定义为做功的变化率，即
\begin{equation}
P = \lim_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta W}{\Delta t} = \frac{\mathrm{d}{W}}{\mathrm{d}{t}} ~.
\end{equation}
根据
式 2 ，力的功率为
\begin{equation}
P = \lim_{\Delta t\to 0} \frac{ \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} _i) \boldsymbol\cdot \Delta \boldsymbol{\mathbf{r}} _i}{\Delta t_i} = \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }}{\mathrm{d}{t}} = \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} ~.
\end{equation}
