伽利略变换

贡献者： ACertainUser; addis

预备知识　牛顿定律，线性变换

1. 伽利略变换

图 1：伽利略变换示意图

　　伽利略变换是经典力学中描述一个事件所发生的时间和地点，随着惯性参考系的不同而变换的规律。

\begin{equation} \begin{cases} \boldsymbol{\mathbf{r}} _{K1} &= \boldsymbol{\mathbf{r}} _{r}+ \boldsymbol{\mathbf{r}} _{K2}\\ t_{K2}&=t_{K1} \end{cases}~, \end{equation}

这样的两组坐标之间的变换，称为伽利略变换。它符合我们天生的直觉：两个参考系中同一个物体的长度仍然是一样的，时间独立于空间自由流动，所以事件发生的时间和参考系的选取无关。对伽利略变换两边求导，就能得到速度叠加原理（速度的参考系变换）。

　　如 Griffiths 所言，伽利略变换是如此的简单平凡无奇，在狭义相对论的洛伦兹变换之前，甚至没有人意识到伽利略变换也是经典力学的假设之一。

　　更简单的，假设有两个一维的惯性参考系 $K_1$ 和 $K_2$，其中 $K_2$ 沿着 $K_1$ 的正方向以速率 $v$ 移动。如果一个事件在 $K_1$ 的视角下，是在 $t$ 时刻发生于 $x$ 位置的，那么它在 $K_2$ 视角下，是在 $t'$ 时刻发生于 $x'$ 位置的；如果我们知道了 $x$，$t$，就可以相应地计算出 $x'$ 和 $t'$ 来：

\begin{equation} \begin{cases} x' = x - vt\\ t' = t \end{cases}~. \end{equation}

如果把 $(x, t)$ 当作一个二维的向量空间，那么伽利略变换就是向量空间之间的一个线性变换。

2. 伽利略变换（分量相加）

图 2：当两个参考系使用不同的基底时，伽利略原理看似不成立了。这是因为基于不同基底写出的位矢分量不能直接相加。

　　如果我们要使用 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _{K1} = \boldsymbol{\mathbf{r}} _{r}+ \boldsymbol{\mathbf{r}} _{K2}$ 的分量形式 $ \begin{cases} r_{K1,x}&=r_{r,x}+r_{K2,x}\\ r_{K1,y}&=r_{r,y}+r_{K2,y}\\ r_{K1,z}&=r_{r,z}+r_{K2,z}\\ \end{cases} $ ，那我们必须确定 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _{K1}, \boldsymbol{\mathbf{r}} _{K2}$ 的分量都是基于相同的基底而写出的。若这些位矢的分量是基于不同的基底，那么分量的含义就不同、直接相加分量也没有意义。这就像直接数值相加一人民币与一美元是没有意义的一样，1 人民币+1 美元=2? 这就要求我们在相加前恰当地变换基底。

　　实际的问题比想象中的复杂。例如，由于相对转动的参考系无可避免的涉及（含时）基底转换问题，这就导致了科氏加速度（加速度的参考系变换）。