速度、加速度

贡献者： addis; ACertainUser

预备知识　速度、加速度（一维），牛顿第二定律的矢量形式，切线，矢量的导数，矢量积分

　　在大学物理中，位移、速度和加速度都是矢量，既有大小也有方向。如果没有特殊说明，它们一般是指瞬时速度和瞬时加速度

图 1：位矢、速度与加速度示意图

1. 速度

　　质点在运动时，其位矢 $r$ 是时间 $t$ 的函数。假定质点在 $t_{1}$ 时刻的位矢为 $r (t_{1})$ ，经过时间 $Δ t$ 后，位矢为 $r (t_{1} + Δ t)$ ，所以物体在 $Δ t$ 时间内的位移为

\begin{matrix} (1) & Δ r = r (t_{1} + Δ t) - r (t_{1}) . \end{matrix}

那么即可定义

t_{1}

时刻质点的速度¹

\begin{matrix} (2) & v (t_{1}) = lim_{Δ t \to 0} \frac{Δ r}{Δ t} = lim_{Δ t \to 0} \frac{r (t_{1} + Δ t) - r (t_{1})}{Δ t} . \end{matrix}

即速度是位置矢量关于时间的导数，同样是时间的矢量函数。

　　速度方向总是质点运动轨迹的切线方向。

　　通常情况下，质点运动轨迹上的每一点都会对应一个确定的速度矢量²，类比速度的定义，加速度的定义为

\begin{matrix} (3) & a (t_{1}) = lim_{Δ t \to 0} \frac{Δ v}{Δ t} = lim_{Δ t \to 0} \frac{v (t_{1} + Δ t) - v (t_{1})}{Δ t} = \frac{d v}{d t} . \end{matrix}

结合速度的定义，加速度为

\begin{matrix} (4) & a = \frac{d v}{d t} = \frac{d}{d t} (\frac{d r}{d t}) = \frac{d^{2} r}{d t^{2}} . \end{matrix}

所以，加速度是速度对时间的导数，或者位矢对时间的二阶导数。

　　加速度可以有垂直于速度的分量，与平行于速度的分量，详见曲线运动的加速度。

　　 简单的例子：圆周运动的加速度（子节 2 ）。

　　如果已知速度关于时间的函数 $v (t)$ ，以及初始时间 $t_{0}$ 和位置 $r_{0}$ ，该如何得到位移—时间函数 $r (t)$ 呢？类比一维的情况，我们也可以通过矢量函数的定积分（见例 1 ）来求出速度—时间函数进而求出位移—时间函数

\begin{matrix} (5) & v (t) = v_{0} + \int_{t_{0}}^{t} a (t) d t, \end{matrix}

\begin{matrix} (6) & \begin{aligned} r (t) & = r_{0} + \int_{t_{0}}^{t} v (t) d t . \end{aligned} \end{matrix}

　　 简单的例子：匀加速运动。

1. ^ 假设 $r$ 可导
2. ^ 注意上面的速度在定义时虽然取了两点，但是取极限以后，速度和位置是一一对应的，也就和时间一一对应，而不是两个位置和时间对应一个速度。