万有引力、引力势能

贡献者： addis

预备知识 1　牛顿运动定律，几何矢量

1. 万有引力和引力场

　　若两个质点质量分别为 $m_{1}$ 和 $m_{2}$ ，位置矢量分别为 $r_{1}$ 和 $r_{2}$ ，则质点 1 对质点 2 的万有引力（gravitational force） 为

\begin{matrix} (1) & F_{12} = - \frac{G m_{1} m_{2}}{r_{12}^{2}} {\hat{r}}_{12} = - \frac{G m_{1} m_{2}}{{| r_{2} - r_{1} |}^{3}} (r_{2} - r_{1}) . \end{matrix}

其中

r_{12} = | r_{2} - r_{1} |

是两点间的距离，

{\hat{r}}_{12} = (r_{2} - r_{1}) / | r_{2} - r_{1} |

是从 1 指向 2 的单位矢量。由该式，质点 2 对质点 1 的万有引力为

F_{21} = - F_{12}

，符合牛顿第三定律。

　　我们类比高中所学电场的概念，把以上 $m_{1}$ 对 $m_{2}$ 的作用力看做是 $m_{1}$ 在空间中产生的引力场对 $m_{2}$ 的作用力。定义 $m_{1}$ 产生的引力场为

\begin{matrix} (2) & g (r) = - \frac{G m_{1}}{{| r - r_{1} |}^{3}} (r - r_{1}) . \end{matrix}

那么质点 2 受到的引力就是

\begin{matrix} (3) & F_{12} = m_{2} g (r_{2}) . \end{matrix}

这可以类比电场力等于电场乘以电荷。

　　若质点 2 只受这一个力，那么对比牛顿第二定律 $F_{12} = m_{2} a$ 会发现 $g (r)$ 就是质点 2 的加速度矢量。

　　式 1 描述的只是两个质点之间的万有引力，一般来说只有当两个物体的距离远大于它们的大小时，我们才可以直接使用该式。但一个显著的例外是均匀球体（见壳层定理）。

　　要把式 1 推广到具有连续质量分布的物体并不难，用定积分的思想，只需要先把每个物体切割成均匀的小块，再把这些小块看成质点计算分别计算两两之间得引力在进行矢量相加即可。当这些小块切割得越来越小，计算的结果也越来越精确。用定积分表示物体 1 对物体 2 的引力为

\begin{matrix} (4) & F_{12} = - G \iint \frac{{\hat{r}}_{12}}{r_{12}^{2}} \cdot ρ_{1} (r_{1}) ρ_{2} (r_{2}) d^{3} r_{1} d^{3} r_{2} . \end{matrix}

我们也可以先计算引力场再计算引力：物体 1 在任意一点

r_{2}

产生的引力场为

\begin{matrix} (5) & g (r_{2}) = - G \int \frac{{\hat{r}}_{12}}{r_{12}^{2}} \cdot ρ_{1} (r_{1}) d^{3} r_{1} . \end{matrix}

物体 2 在引力场中受到的合力为

\begin{matrix} (6) & F_{12} = - G \int g (r_{2}) ρ_{2} (r_{2}) d^{3} r_{2} . \end{matrix}

预备知识 2　力场、势能，球坐标系中的梯度算符

　　为了简单我们还是先讨论质点。在寻找质点的万有引力的势能以前，我们先来证明所有具有 $F (r) = F (r) \hat{r}$ 形式的力场都是保守场。质点延一段轨迹 $L$ 从 $r_{1}$ 移动到 $r_{2}$ 时，力场对质点做功可以用线积分表示（以 $r$ 作为参数）

\begin{matrix} (7) & W = \int_{L} F (r) \cdot d r = \int_{r_{1}}^{r_{2}} F (r) d r, \end{matrix}

其中第二步是因为

\begin{matrix} (8) & F (r) \cdot d r = F (r) \hat{r} \cdot (d r \hat{r} + r d θ \hat{θ}) = F (r) d r . \end{matrix}

显然线积分的结果只与初末位置（与原点的距离）有关，而与路径

L

的选择无关，

F (r)

是保守力场。

　　现在我们来寻找引力对应的势能。假设质量为 $M$ 的质点固定在坐标原点，考察质量为 $m$ 的质点位置矢量为 $r$ 。由于场对物体做功等于初势能减末势能令质点沿着引力场从 $r_{1}$ 延任意曲线移动到 $r_{2}$ ，我们有

\begin{matrix} (9) & V (r_{1}) - V (r_{2}) = \int_{r_{1}}^{r_{2}} F (r) d r = - G M m \int_{r_{1}}^{r_{2}} \frac{1}{r^{2}} d r = - G M m (\frac{1}{r_{1}} - \frac{1}{r_{2}}), \end{matrix}

可见任意位置的势能函数可以取

\begin{matrix} (10) & V (r) = V (r) = - \frac{G M m}{r} . \end{matrix}

根据势能的定义也可以给

V (r)

加上任意常数，但习惯上我们令无穷远处势能为 0，而上式恰好满足这点。拓展到任意具有

F (r) = F (r) \hat{r}

形式的力场，其势能可以用不定积分得到

\begin{matrix} (11) & V = - \int F (r) d r, \end{matrix}

这与一维的情况相同。

　　我们也可以反过来通过引力势能求出引力场。使用球坐标的梯度算符式 1 得

\begin{matrix} (12) & F = - \nabla V = G M m (\hat{r} \frac{\partial}{\partial r} + \hat{θ} \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial θ} + \hat{ϕ} \frac{1}{r \sin θ} \frac{\partial}{\partial ϕ}) \frac{1}{r} = - \frac{G M m}{r^{2}} \hat{r}, \end{matrix}

也可以使用直角坐标的梯度

\begin{matrix} (13) & F = - \nabla V = G M m (\hat{x} \frac{\partial}{\partial x} + \hat{y} \frac{\partial}{\partial y} + \hat{z} \frac{\partial}{\partial z}) \frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} . \end{matrix}

以

x

分量为例

\begin{matrix} (14) & \frac{\partial}{\partial x} (x^{2} + y^{2} + z^{2})^{- 1 / 2} = - x (x^{2} + y^{2} + z^{2})^{- 3 / 2} = - \frac{x}{r^{3}}, \end{matrix}

另外两个分量类似可得

- y / r^{3}

和

- z / r^{3}

，代入式 13 得

\begin{matrix} (15) & F = - \nabla V = - \frac{G M m}{r^{3}} (x \hat{x} + y \hat{y} + z \hat{z}) = - \frac{G M m}{r^{2}} \frac{r}{r} = - \frac{G M m}{r^{2}} \hat{r} . \end{matrix}