动能、动能定理（单个质点）

贡献者： addis

预备知识　功、功率，牛顿第二定律

1. 质点的动能

　　令质点的质量为 $m$ ，速度为 $v$ ，则质点的动能定义为

\begin{matrix} (1) & E_{k} = \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{1}{2} m v^{2} . \end{matrix}

注意这里的

v^{2} = v \cdot v

表示速度矢量和自身的内积，结果等于其模长的平方。

　　 一段时间内质点动能的变化等于合外力对质点做的功。

\begin{matrix} (2) & \sum W = Δ E_{k} . \end{matrix}

　　从变化率（即时间导数）的角度来看，动能定理也可以表述为质点的动能变化率等于合外力对质点的功率。

\begin{matrix} (3) & \sum P = \frac{d E_{k}}{d t} . \end{matrix}

　　力对质点做功的功率为

\begin{matrix} (4) & P = \frac{d W}{d t} = F \cdot \frac{d r}{d t} = F \cdot v, \end{matrix}

再来看动能的变化率

\begin{matrix} (5) & \frac{d}{d t} E_{k} = \frac{1}{2} m \frac{d}{d t} (v \cdot v) . \end{matrix}

由 “ 矢量内积的求导” 式 6 ，

d (v \cdot v) / d t = 2 v \cdot d v / d t = 2 v \cdot a

，上式变为

\begin{matrix} (6) & \frac{d}{d t} E_{k} = m a \cdot v = F \cdot v, \end{matrix}

最后一步使用了牛顿第二定律（式 2 ）。注意式 4 与式 6 相等，所以动能变化率等于合外力的功率。