动能、动能定理（单个质点）
贡献者： addis
1. 质点的动能
令质点的质量为 $m$，速度为 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $，则质点的动能定义为
\begin{equation}
E_k = \frac12 m \boldsymbol{\mathbf{v}} ^2 = \frac12 mv^2~.
\end{equation}
注意这里的 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} ^2 = \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 表示速度矢量和自身的
内积，结果等于其模长的平方。
2. 质点动能定理
定理 1 质点动能定理
一段时间内质点动能的变化等于合外力对质点做的功。
\begin{equation}
\sum W=\Delta E_k~.
\end{equation}
从变化率（即时间导数）的角度来看，动能定理也可以表述为质点的动能变化率等于合外力对质点的功率。
\begin{equation}
\sum P= \frac{\mathrm{d}{E_k}}{\mathrm{d}{t}} ~.
\end{equation}
动能定理的推导
力对质点做功的功率为
\begin{equation}
P = \frac{\mathrm{d}{W}}{\mathrm{d}{t}} = \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }}{\mathrm{d}{t}} = \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} ~,
\end{equation}
再来看动能的变化率
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} E_k = \frac12 m \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} ( \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} )~.
\end{equation}
由 “ 矢量内积的求导
”
式 6 ，$ \mathrm{d}{( \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} )}/\mathrm{d}{t} = 2 \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\cdot \mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }/\mathrm{d}{t} = 2 \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{a}} $，上式变为
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} E_k = m \boldsymbol{\mathbf{a}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} = \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} ~,
\end{equation}
最后一步使用了牛顿第二定律（
式 2 ）。注意
式 4 与
式 6 相等，所以动能变化率等于合外力的功率。