贡献者： addis
1. 力场
高中物理中我们已经学过一些场的概念，即质点受场的力取决于质点在场中的位置。例如地球表面局部的引力场可以近似看做一个恒力场（称为为重力场），即在一定区域内，质点总受向下的，大小恒为 $mg$ 的重力（矢量式 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} = m \boldsymbol{\mathbf{g}} $）。又例如水平面上一根原长忽略不计的弹簧，一端固定在原点，另一端连接质点，那么质点受力总指向原点，大小等于劲度系数和位矢模长的之积 $kr$。用矢量的方法表示，就是 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} = -k \boldsymbol{\mathbf{r}} $。
总结到一般情况，力场可以用场对质点施加的力（矢量）关于质点位置（位矢）的矢量函数表示，所以力场是一种矢量场。
例 1 引力场
球坐标原点处质量为 $M$ 的质点在周围造成的引力场为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = - G\frac{M}{r^2}\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ~.
\end{equation}
若位矢用 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 来表示（$ \boldsymbol{\mathbf{r}} = r\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $），则
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = - G\frac{M}{r^3}\, \boldsymbol{\mathbf{r}} ~.
\end{equation}
现在变换到直角坐标系中，有
\begin{equation}
\begin{cases}
\boldsymbol{\mathbf{r}} = x\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + y\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + z\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \\
r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} ~.
\end{cases}
\end{equation}
代入上式，展开得
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = - \frac{GMx}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} - \frac{GMy}{(x^2 +y^2+z^2)^{3/2}} \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} - \frac{GMz}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ~.
\end{equation}
显然球坐标系中的引力场表达式比直角坐标系中的要简洁得多。由此可见，对不同的矢量场选择适当的坐标系往往可以简化问题。
若质点从场的一点移动到另一点的过程中，力场对质点做的功 只与初末位置有关，而与质点移动的路径无关，那么这个力场就是一个保守场。这时我们可以给该质点定义一个势能函数，势能函数是一个关于位矢的标量函数，一般记为 $V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$，具有能量量纲。当质点从一点以任意路径移动到另一点时，场对质点做的功等于质点初位置的势能减末位置的势能，即
\begin{equation}
\int_{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _1}^{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _2} \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = V( \boldsymbol{\mathbf{r}} _1)-V( \boldsymbol{\mathbf{r}} _2)~.
\end{equation}
那么如何判断一个力场是否是保守场呢？我们分一维和多维空间进行讨论。
2. 一维势能函数
现在先假设质点只能沿一条直线运动，且力也始终与直线平行。显然质点从一点到另一点的路径只可能有一条，所以任何一维力场都是保守场。若给直线定义一个正方向，单位矢量为 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} $，任何一维力场可以记为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{F}} (x) = F(x) \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} ~,
\end{equation}
质点的位置矢量可记为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} = x \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} $。由于 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} = 1$，质点从 $x = a$ 移动到 $x=b$ 过程中场做的功为
\begin{equation}
\int_{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _1}^{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _2} \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }
= \int_a^b F(x) \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
根据势能的定义，对任意的 $a$ 和 $b$，上式应该等于 $V(a) - V(b)$。根据
牛顿—莱布尼兹公式，势能函数恰好就是 $F(x)$ 的负原函数，所以 $F(x)$ 是 $V(x)$ 负导函数。
\begin{equation}
V(x) = -\int F(x) \,\mathrm{d}{x} ~,
\qquad
F(x) = - \frac{\mathrm{d}{V(x)}}{\mathrm{d}{x}} ~.
\end{equation}
需要注意的是，由于原函数有无穷多个（由不定积分中任意常数的取值决定），所以势能函数也存在无穷多个，且都相差一个常数。为了确定势能函数，我们需要指定场中某一点的势能值，如果令某点势能为零，那么这点就叫做零势点。
例 2 弹簧的势能
一个原长可忽略的轻弹簧劲度系数为 $k$，一端固定在原点，另一端连接质点。质点只能沿 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} $ 方向运动，规定质点在原点时势能为 $0$，求弹簧的势能关于质点位置坐标 $x$ 的函数。
由题意，式 6 中 $F(x) = -kx$，不定积分并取负值得到含有待定常数的势能函数
\begin{equation}
V(x) = -\int (-kx) \,\mathrm{d}{x} = \frac12 k x^2 - C~.
\end{equation}
为了确定待定常数，代入 $V(0) = 0$，解得 $C = 0$。所以所求势能为
\begin{equation}
V(x) = \frac12 k x^2~.
\end{equation}
3. 二维和三维函数
在二维（平面）或三维空间中，矢量场不一定是保守场，那么应该如何判断一个场是否是保守场？事实上 “线积分结果与路径无关” 有一个充要条件就是 “延任意闭合曲线的环积分结果为零”。而根据斯托克斯定理，这就要求矢量场的旋度处处为零，即它是一个无旋场。
未完成：画图说明 “线积分结果与路径无关” 的等效条件是 “延任意闭合曲线的环积分结果为零”
假设力场 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 是平面或三维空间中的保守场，对应势能为 $V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$，初始点为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _i$，终点为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _f$。对 $-V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 使用梯度定理 得
\begin{equation}
\int_{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _i}^{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _f} \boldsymbol\nabla [-V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )] \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} } = V( \boldsymbol{\mathbf{r}} _i) - V( \boldsymbol{\mathbf{r}} _f)~.
\end{equation}
我们把该式与
式 5 比较，不难发现力场是势能函数的负梯度
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = - \boldsymbol\nabla V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )~.
\end{equation}
即在保守场的某点中，力的方向是势能下降最快的方向，大小是该方向的负方向导数。由梯度的定义，力场的各个分量分别为对应方向的负偏导数
\begin{equation}
F_x( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = - \frac{\partial V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )}{\partial x} \quad F_y( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = - \frac{\partial V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )}{\partial y} \quad \ldots~
\end{equation}
例 3 二维简谐振子
若已知二维的势能函数为 $V(x,y) = k_1 (x+y)^2/2 + k_2 (x-y)^2/2$，求力场。若已知场函数求势能函数，又该如何求？
把势能函数代入式 13 中，求偏导，得场为
\begin{equation} \begin{aligned}
\boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) &= - \frac{\partial V}{\partial x} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} - \frac{\partial V}{\partial y} \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \\
&= -[(k_1 + k_2) x + (k_1-k_2) y] \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} - [(k_1-k_2)x + (k_1+k_2)y] \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} ~.
\end{aligned} \end{equation}
现在我们根据 “梯度定理” 中的式 25 从场逆推势能。首先对力场的 $x$ 分量和 $y$ 分量分别关于 $x$ 和 $y$ 做不定积分得到任意两个原函数并记为 $G_x$ 和 $G_y$ 得
\begin{equation}
G_x(x,y) = - \frac12 (k_1 + k_2) x^2 - (k_1-k_2) xy~,
\end{equation}
\begin{equation}
G_y(x,y) = - (k_1 - k_2) xy - \frac12 (k_1+k_2) y^2~,
\end{equation}
代入得（注意这里的场是势能函数的的负梯度而不是梯度，另外注意下式中的常数项都并入 $C$ 中）
\begin{equation} \begin{aligned}
V(x,y) &= -G_y(x,y) + G_y(x,y_0) - G_x(x,y_0) + C\\
&= \frac12 (k_1 + k_2) x^2 + (k_1-k_2)xy + \frac12 (k_1+k_2) y^2 + C\\
&= \frac12 k_1 (x+y)^2 +\frac12 k_2 (x-y)^2 + C~.
\end{aligned} \end{equation}
若规定零势点 $V(0,0) = 0$，代入上式得 $C=0$。
4. 两质点间的势能
如果两质点 $A$ 和 $B$ 的位矢分别为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _A$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _B$，相对位移为 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} = \boldsymbol{\mathbf{r}} _B - \boldsymbol{\mathbf{r}} _A$，两质点距离为 $R = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{R}} \right\rvert $。且 $A$ 对 $B$ 的作用力为 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} = F(R) \hat{\boldsymbol{\mathbf{R}}} $，$B$ 对 $A$ 的反作用力为 $- \boldsymbol{\mathbf{F}} $。现在考虑一个过程中力对两质点做的总功。
在一段微小时间 $ \,\mathrm{d}{t} $ 内，两质点分别移动了 $ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _A} $，和 $ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _B} $，则相互作用力对二者做功为
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{W} = \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _B} + (- \boldsymbol{\mathbf{F}} ) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _A} = \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{R}} }
= F(R) \hat{\boldsymbol{\mathbf{R}}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{R}} } = F(R) \,\mathrm{d}{R} ~,
\end{equation}
（最后一步的证明见 “位置矢量
” 中的
例 1 ）定积分得
\begin{equation}
W = \int_{R_1}^{R_2} F(R) \,\mathrm{d}{R} ~.
\end{equation}
现在我们借用一维势能的定义
式 8 来定义势能函数为 $F(R)$ 的负原函数，则力在一段时间内对两质点做的总功就等于末势能减初势能
\begin{equation}
W = V(R_2) - V(R_1)~.
\end{equation}
5. 三维以上的势能
虽然牛顿力学仅限于三维空间以内，但曲线积分在任意维度都有定义，对于 $N$（$N > 3$）维空间，把坐标记为 $x_1, x_2, \dots, x_N$ 矢量场 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ “延任意闭合曲线的环积分结果为零”，即存在势能函数的充分必要条件是对所有 $i,j \in \left\{1,\dots, N \right\} $ 都有
\begin{equation}
\frac{\partial F_j}{\partial x_i} - \frac{\partial F_i}{\partial x_j} = 0 \qquad (i\ne j)~,
\end{equation}
势能函数的计算同理可得。
6. 含时势能
以上的讨论中，我们默认力场的分布不随时间变化，所得势能显然也不随时间变化。但在一些情况下，我们也可以定义随时间变化的势能。
未完成：……