单变量矢量值函数的积分
贡献者: Giacomo
1. 单变量不定积分
令 为只有一个自变量的矢量函数,则与标量函数类似,定义其不定积分为求导的逆运算。也就是说,若能找到 ,使得 对 求导就是 ,那么 ( 为任意常矢量)就是定积分的结果,都是 的原函数。
在直角坐标系中,我们已经知道对矢量函数 求导就是对它的每个分量函数分别求导,即
考虑到标量函数的不定积分是标量函数求导的逆运算,所以对 不定积分,只需对它的各个分量分别进行不定积分即可。注意每个分量函数在不定积分后都会出现一个待定常数,三个分量中的待定常数相加就得到一个待定常矢量 。
根据
式 1 式 2 ,显然有 。
2. 单变量定积分
类比一元标量函数定积分的定义,要计算一元矢量函数 从 到 的定积分,就先把区间 分为 个小区间,长度分别为 ,且令 为第 个区间内的任意一点。当我们取极限令所有区间长度 都趋近于 (这时 )时,如果以下极限存在,得到的矢量就是定积分的结果。
唯一与标量函数的定积分不同的是,这里的求和是矢量求和。但在直角坐标系中,我们可以把上式对矢量的求和表示成对各个分量分别求和,而每个分量的极限就是一个标量定积分。
所以 的定积分就是把直角坐标的各个分量分别进行定积分。现在对三个定积分分别运用
牛顿—莱布尼兹公式, 的原函数为 ,各分量的原函数为 ,则上式等于
这就是矢量函数的牛顿—莱布尼兹公式。
例 1 加速度,速度和位移的积分关系
由于质点的速度—时间函数 是位移—时间函数 的导函数,后者就是前者的原函数。所以根据牛顿—莱布尼兹公式式 6 有
即
这是一维情况
式 7 的拓展。
同理,由于质点的加速度函数 是速度函数 的导函数,后者可以通过前者定积分得到
\eentry{匀加速运动}
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