一元矢量函数的积分

             

预备知识 矢量的导数

1. 单变量不定积分

   令 $ \boldsymbol{\mathbf{f}} (t)$ 为只有一个自变量的矢量函数,则与标量函数类似,定义其不定积分为求导的逆运算.也就是说,若能找到 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} (t)$,使得 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} (t)$ 对 $t$ 求导就是 $ \boldsymbol{\mathbf{f}} (t)$,那么 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} (t) + \boldsymbol{\mathbf{C}} $($ \boldsymbol{\mathbf{C}} $ 为任意常矢量)就是定积分的结果,都是 $ \boldsymbol{\mathbf{f}} (t)$ 的原函数.

   在直角坐标系中,我们已经知道对矢量函数 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} (t)$ 求导就是对它的每个分量函数分别求导,即

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} '(t) = \boldsymbol{\mathbf{f}} (t) \end{equation}
\begin{equation} F'_x(t) = f_x(t) \qquad F'_y(t) = f_y(t) \qquad F'_z(t) = f_z(t) \end{equation}
考虑到标量函数的不定积分是标量函数求导的逆运算,所以对 $ \boldsymbol{\mathbf{f}} (t)$ 不定积分,只需对它的各个分量分别进行不定积分即可.注意每个分量函数在不定积分后都会出现一个待定常数,三个分量中的待定常数相加就得到一个待定常矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{C}} $.
\begin{equation} \begin{aligned} \int \boldsymbol{\mathbf{f}} (t) \,\mathrm{d}{t} &= \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \int f_x(t) \,\mathrm{d}{t} + \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \int f_y(t) \,\mathrm{d}{t} + \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \int f_z(t) \,\mathrm{d}{t} \\ &= [F_x(t)+C_x] \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + [F_y(t)+C_y] \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + [F_z(t)+C_z] \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \\ &= \boldsymbol{\mathbf{F}} (t) + \boldsymbol{\mathbf{C}} \end{aligned} \end{equation}
根据式 1 式 2 ,显然有 $[ \boldsymbol{\mathbf{F}} (t) + \boldsymbol{\mathbf{C}} ]' = \boldsymbol{\mathbf{f}} (t)$.

2. 单变量定积分

   类比一元标量函数定积分的定义,要计算一元矢量函数 $ \boldsymbol{\mathbf{f}} (t)$ 从 $t_1$ 到 $t_2$ 的定积分,就先把区间 $[t_1, t_2]$ 分为 $N$ 个小区间,长度分别为 $\Delta t_i$,且令 $t_i$ 为第 $i$ 个区间内的任意一点.当我们取极限令所有区间长度 $\Delta t_i$ 都趋近于 $0$(这时 $N\to\infty$)时,如果以下极限存在,得到的矢量就是定积分的结果.

\begin{equation} \int_{t_1}^{t_2} \boldsymbol{\mathbf{f}} (t) \,\mathrm{d}{t} = \lim_{\Delta t_i \to 0} \sum_{i = 0}^N \boldsymbol{\mathbf{f}} (t_i) \Delta t_i \end{equation}
唯一与标量函数的定积分不同的是,这里的求和是矢量求和.但在直角坐标系中,我们可以把上式对矢量的求和表示成对各个分量分别求和,而每个分量的极限就是一个标量定积分.
\begin{equation} \begin{aligned} \int_{t_1}^{t_2} \boldsymbol{\mathbf{f}} (t) \,\mathrm{d}{t} &= \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \lim_{\Delta t_i \to 0} \sum_{i = 0}^N f_x(t_i) \Delta t_i + \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \lim_{\Delta t_i \to 0} \sum_{i = 0}^N f_y(t_i) \Delta t_i + \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \lim_{\Delta t_i \to 0} \sum_{i = 0}^N f_z(t_i) \Delta t_i\\ &= \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \int_{t_1}^{t_2} f_x(t) \,\mathrm{d}{t} + \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \int_{t_1}^{t_2} f_y(t) \,\mathrm{d}{t} + \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \int_{t_1}^{t_2} f_z(t) \,\mathrm{d}{t} \end{aligned} \end{equation}
所以 $ \boldsymbol{\mathbf{f}} (t)$ 的定积分就是把直角坐标的各个分量分别进行定积分.现在对三个定积分分别运用牛顿—莱布尼兹公式,$ \boldsymbol{\mathbf{f}} (t)$ 的原函数为 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} (t)$,各分量的原函数为 $F_x(t), F_y(t), F_z(t)$,则上式等于
\begin{equation} \begin{aligned} \int_{t_1}^{t_2} \boldsymbol{\mathbf{f}} (t) \,\mathrm{d}{t} &= \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} [F_x(t_2) - F_x(t_1)] + \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} [F_y(t_2) - F_y(t_1)] + \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} [F_z(t_2) - F_z(t_1)]\\ &= \boldsymbol{\mathbf{F}} (t_2) - \boldsymbol{\mathbf{F}} (t_1) \end{aligned} \end{equation}
这就是矢量函数的牛顿—莱布尼兹公式.

例 1 加速度,速度和位移的积分关系

   由于质点的速度—时间函数 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} (t)$ 是位移—时间函数 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} (t)$ 的导函数,后者就是前者的原函数.所以根据牛顿—莱布尼兹公式式 6

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{r}} (t) - \boldsymbol{\mathbf{r}} (t_0) = \int_{t_1}^{t_2} \boldsymbol{\mathbf{v}} (t) \,\mathrm{d}{t} \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{r}} (t) = \boldsymbol{\mathbf{r}} (t_0) + \int_{t_1}^{t_2} \boldsymbol{\mathbf{v}} (t) \,\mathrm{d}{t} \end{equation}
这是一维情况式 7 的拓展.

   同理,由于质点的加速度函数 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} (t)$ 是速度函数 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} (t)$ 的导函数,后者可以通过前者定积分得到

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} (t) = \boldsymbol{\mathbf{v}} (t_0) + \int_{t_1}^{t_2} \boldsymbol{\mathbf{a}} (t) \,\mathrm{d}{t} \end{equation}

   \eentry{匀加速运动}

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