单变量矢量值函数的积分

                     

贡献者: Giacomo

预备知识 矢量的导数,定积分

1. 单变量不定积分

   令 f(t) 为只有一个自变量的矢量函数,则与标量函数类似,定义其不定积分为求导的逆运算。也就是说,若能找到 F(t),使得 F(t)t 求导就是 f(t),那么 F(t)+CC 为任意常矢量)就是定积分的结果,都是 f(t) 的原函数。

   在直角坐标系中,我们已经知道对矢量函数 F(t) 求导就是对它的每个分量函数分别求导,即

(1)F(t)=f(t) .
(2)Fx(t)=fx(t) ,Fy(t)=fy(t) ,Fz(t)=fz(t) .
考虑到标量函数的不定积分是标量函数求导的逆运算,所以对 f(t) 不定积分,只需对它的各个分量分别进行不定积分即可。注意每个分量函数在不定积分后都会出现一个待定常数,三个分量中的待定常数相加就得到一个待定常矢量 C
(3)f(t)dt=x^fx(t)dt+y^fy(t)dt+z^fz(t)dt=[Fx(t)+Cx]x^+[Fy(t)+Cy]y^+[Fz(t)+Cz]z^=F(t)+C .
根据式 1 式 2 ,显然有 [F(t)+C]=f(t)

2. 单变量定积分

   类比一元标量函数定积分的定义,要计算一元矢量函数 f(t)t1t2 的定积分,就先把区间 [t1,t2] 分为 N 个小区间,长度分别为 Δti,且令 ti 为第 i 个区间内的任意一点。当我们取极限令所有区间长度 Δti 都趋近于 0(这时 N)时,如果以下极限存在,得到的矢量就是定积分的结果。

(4)t1t2f(t)dt=limΔti0i=0Nf(ti)Δti .
唯一与标量函数的定积分不同的是,这里的求和是矢量求和。但在直角坐标系中,我们可以把上式对矢量的求和表示成对各个分量分别求和,而每个分量的极限就是一个标量定积分。
(5)t1t2f(t)dt=x^limΔti0i=0Nfx(ti)Δti+y^limΔti0i=0Nfy(ti)Δti+y^limΔti0i=0Nfz(ti)Δti=x^t1t2fx(t)dt+y^t1t2fy(t)dt+z^t1t2fz(t)dt ,
所以 f(t) 的定积分就是把直角坐标的各个分量分别进行定积分。现在对三个定积分分别运用牛顿—莱布尼兹公式f(t) 的原函数为 F(t),各分量的原函数为 Fx(t),Fy(t),Fz(t),则上式等于
(6)t1t2f(t)dt=x^[Fx(t2)Fx(t1)]+y^[Fy(t2)Fy(t1)]+z^[Fz(t2)Fz(t1)]=F(t2)F(t1) ,
这就是矢量函数的牛顿—莱布尼兹公式。

例 1 加速度,速度和位移的积分关系

   由于质点的速度—时间函数 v(t) 是位移—时间函数 r(t) 的导函数,后者就是前者的原函数。所以根据牛顿—莱布尼兹公式式 6

(7)r(t)r(t0)=t1t2v(t)dt .
(8)r(t)=r(t0)+t1t2v(t)dt .
这是一维情况式 7 的拓展。

   同理,由于质点的加速度函数 a(t) 是速度函数 v(t) 的导函数,后者可以通过前者定积分得到

(9)v(t)=v(t0)+t1t2a(t)dt .

   \eentry{匀加速运动}


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