位移与路程

贡献者： ACertainUser

预备知识　曲线的长度，速度、加速度

　　我们已经处理了质点位矢与位移 , 的问题。接下来我们要问的是，质点从 $t_{0}$ 至 $t_{1}$ 这段时间之内运动的距离（或者说，路程）是多少？

图 1：路程等于位移吗？

　　如图 1 ，首先可以排除 $s = | r (t_{1}) - r (t_{0}) |$ 。这段时间内位移的模长显然不等于质点通过的路程长度。

图 2：划分曲线

　　这就需要我们复习一下我们计算曲线长度时所用的套路 “化曲为直”。将这段时间分成一段段很小的时间间隔，在每一段小时间内，位移的模长 $| Δ r |$ 就近似等于路程 $Δ s$ 。

　　如图 2 所示，应该有 $s = \sum | Δ r |,$ 亦即 $\begin{aligned} s & = \sum | v Δ t | \\ = \sum | v | Δ t \\ = \int_{t_{0}}^{t_{1}} | v | d t \\ . \end{aligned}$ 展开为分量形式(假定 $v = (x^{'}, y^{'}, z^{'})^{T}$ ，其中 $x^{'}, y^{'}, z^{'}$ 都是关于 $t$ 的函数)： $s = \int_{t_{0}}^{t_{1}} \sqrt{x^{' 2} + y^{' 2} + z^{' 2}} d t .$

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