牛顿第二定律的矢量形式

             

贡献者: addis

预备知识 高中牛顿第二定律

   我们高中最熟悉的是一维直线运动的牛顿第二定律,也就是常见的标量形式 $F = ma$.高中物理已经明确过力和加速度都是矢量,本书中矢量用黑体和正体表示,即 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} $.我们知道,矢量既有长度也有方向,但是在一维情况下,矢量只有两个方向,我们把其中一个定义为正方向,那么另一个就是反方向

   物理中有一个简单的约定就是,一维的矢量可以用标量也就是一个实数表示,对于正方向的矢量,就使用正数表示,反方向的矢量就使用负数.所以在一维情况下,矢量与标量可以一一对应

   在更高维空间的运动中,也就是二维平面和三维空间中,牛顿第二定律适用于质点的任意曲线运动,质点速度矢量的方向和大小都可以随时间任意变化.牛顿第二定律的矢量形式是

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} = m \boldsymbol{\mathbf{a}} \end{equation}
它比标量形式所包含的意义要丰富得多.由该式可知 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} $ 的方向时刻相同,长度相差一个比例系数 $m$.

   一个典型的曲线运动例子就是在匀速圆周运动中,质点和圆心之间的距离却没有改变,但却存在向心加速度.根据牛顿第二定律,做该运动的质点必须要受一个向心力才能保持匀速圆周运动.相信在高中一些课堂中老师会用所谓的 “微元法” 推导一次向心加速度,但大部分学生过一段时间以后仅仅只是记得向心加速度的公式 $a = v^2/r = \omega r^2$,却已经忘记这个加速度从何而来,为什么会出现.

   乍看之下,圆周运动半径不变,连向心速度都恒为零,何来加速度?问题的关键就在于如何定义一般的矢量加速度 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} $.我们先来看直线运动中 “标量版加速度” 的定义

\begin{equation} a(t) = \lim_{\Delta t\to 0}\frac{v(t+\Delta t) - v(t)}{\Delta t} \end{equation}
这里的 $\lim_{\Delta t\to 0}$ 表示 $\Delta t$ 需趋近于 0 使后面的表达式取得极限.该式的意义是在一段微小时间内,速度随时间变化的快慢.注意该式仅限于直线运动,所以一旦速度方向发生改变,那么这个定义将立即不适用.千万不要误以为在曲线运动时,该式中 $a$ 代表 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} $ 的大小,$v$ 代表 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 的大小——这是非常严重的错误.例如在匀速圆周运动中,若这么认为,那么由于速度大小不变,将得到加速度为零的结论.矢量加速度不是速度大小的变化率,而是速度矢量的变化率.后者的定义是:
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{a}} (t) = \lim_{\Delta t\to 0}\frac{ \boldsymbol{\mathbf{v}} (t+\Delta t) - \boldsymbol{\mathbf{v}} (t)}{\Delta t} \end{equation}
该式和式 2 中最关键的不同就是,当两个速度相减时,使用的是矢量相减而不是模长相减.矢量的减法需要用三角形法则,这在高中物理中经常出现,简单来说就是先把两矢量起点放在一起,再从第二个矢量的尖端指向第一个矢量的尖端,详见 “几何矢量的运算”.
未完成:动图:画一个运动的点在曲线上运动,经过曲线两个相近的点时各有一个速度矢量,然后把两个矢量起点移动到一起,用矢量相减的三角形法则计算速度之差.最好可以做成动图.

   如果你还是不理解加速度矢量和速度矢量的关系,不妨看看速度矢量和位置矢量的关系——二者在数学上是一模一样的!

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} (t) = \lim_{\Delta t\to 0}\frac{ \boldsymbol{\mathbf{r}} (t+\Delta t) - \boldsymbol{\mathbf{r}} (t)}{\Delta t} \end{equation}
未完成:图:轨迹上两点的位矢,相减后变为位移
如图?,轨迹上两点的位置矢量,进行矢量相减后变为位置矢量的变化,除以这个过程的时间就是速度矢量.

   速度矢量的定义比加速度矢量容易理解是因为位置矢量的起点本身就都在一起,所以我们不需要 “矢量平移” 这一个步骤就可以直接把它们相减.

   为了进一步进行类比,我们可以在质点运动的过程中不但画出它位置矢量末端划出的轨迹,也同时画出它速度矢量末端划出的轨迹,前者的速度就是速度矢量,而后者的 “速度” 就是加速度矢量.

未完成:如果这个也能做成动画就好了

   这个过程还能一直继续下去,例如画出加速度端点的轨迹,它的 “速度” 就是加加速度.所有的这些在数学上看就是一个矢量函数的 $n$ 阶导数:一阶导数是速度,二阶导数是加速度,三阶导数是加加速度……但为什么我们一般不需要比加速度更高的高阶导数呢?因为牛顿第二定律中只出现了加速度.

例 1 匀速圆周运动

  

未完成:动画:左右两幅图,左边画位置空间,右边画速度空间

例 2 匀加速圆周运动

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   只有在直线运动的特殊情况下,矢量相减才简化为标量相减,才能使用式 2 的定义.

   为什么式 3 定义的加速度才能用于一般的牛顿第二定律?因为牛顿第二定律就是这么规定的,牛顿第二定律可以看作牛顿力学框架的基本假设,它的成立不需要原因.

   明确了矢量加速度的定义后,我们重新来看圆周运动的向心加速度

  

未完成:推导,直接搬运 “圆周运动的加速度”:在一个时刻,速度矢量是这样,过了 $\Delta t$ 以后,是这样.注意数学上几何矢量的两个要素只有长度和方向而没有起点,所以把它们任意平移都还是同一矢量.把速度的起点画在质点上只是为了形象而不是为了强调起点不同.在相减时,按照三角形法则我们必须要先把它们移动到同一起点再连接两个终点,而不是在移动前直接连接.


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