内积 内积空间

             

预备知识 几何向量的内积,范数 赋范空间

  1在向量空间中,我们可以另外定义任意两个向量的内积(inner product)运算,运算的结果是一个实数或复数.内积运算不是向量空间所必须的,但物理中的向量空间几乎都定义了内积运算.我们把定义了内积运算的空间称为内积空间(inner product space),完备的内积空间也叫希尔伯特空间(Hilbert space).本词条中我们使用狄拉克符号

定义 1 

   对域 $\mathbb F$ 上的向量空间,定义内积为满足以下条件的二元运算 $ \left\langle \cdot \middle| \cdot \right\rangle : V\times V\to \mathbb F$.令向量 $u, v\in V$ 以及标量 $a, b \in \mathbb F$

  • 正定
    \begin{equation} \left\langle v \middle| v \right\rangle > 0 \quad (v \ne 0) \end{equation}
  • 线性
    \begin{equation} \left\langle w \middle| a u + b v \right\rangle = a \left\langle w \middle| u \right\rangle + b \left\langle w \middle| v \right\rangle \end{equation}
  • 交换律
    \begin{equation} \left\langle u \middle| v \right\rangle = \left\langle v \middle| u \right\rangle ^* \end{equation}

   说明:

   内积一个重要性质就是满足柯西不等式

\begin{equation} \left\lvert \left\langle u \middle| v \right\rangle \right\rvert ^2 \leqslant \left\langle u \middle| u \right\rangle \cdot \left\langle v \middle| v \right\rangle \end{equation}
即两个向量内积绝对值的平方小于它们分别和自身内积再相乘.由柯西不等式可以证明内积空间必然可以定义范数(证明见下文)
\begin{equation} \left\lVert v \right\rVert = \sqrt{ \left\langle v \middle| v \right\rangle } \end{equation}
所以内积空间属于赋范空间

1. 内积的坐标表示

   $N$ 维内积空间中,必存在 $N$ 个正交归一基底,任意向量 $v$ 可以在这组基底上找到对应的坐标 $(v_1, \dots, v_N)$,那么任意两个向量 $u, v$ 的内积可以用坐标表示为

\begin{equation} \left\langle u \middle| v \right\rangle = \sum_i u_i^* v_i \end{equation}
但若基底不是正交的,令基底为 $\beta_1, \dots, \beta_N$,那么根据内积的线性容易证明两个向量的内积为
\begin{equation} \left\langle u \middle| v \right\rangle = \boldsymbol{\mathbf{u}} ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{M}} \boldsymbol{\mathbf{v}} = \sum_{i,j} M_{i,j} u_i^* v_j \end{equation}
其中矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} $ 的矩阵元为 $M_{i,j} = \left\langle \beta_i \middle| \beta_j \right\rangle $.当 $ \left\langle \beta_i \middle| \beta_j \right\rangle = \delta_{i,j}$ 时,$ \boldsymbol{\mathbf{M}} $ 变为单位矩阵,就回到了式 6 .可见式 7 才是最一般坐标内积公式.

2. 勾股定理

   内积空间的勾股定理(Pythagorean theorem):对任意两个正交的向量,有

\begin{equation} \left\langle u + v \middle| u + v \right\rangle = \left\langle u \middle| u \right\rangle + \left\langle v \middle| v \right\rangle \end{equation}
证明:
\begin{equation} \left\langle u + v \middle| u + v \right\rangle = \left\langle u \middle| u \right\rangle + \left\langle v \middle| v \right\rangle + \left\langle u \middle| v \right\rangle + \left\langle v \middle| u \right\rangle \end{equation}
根据正交的定义,$ \left\langle u \middle| v \right\rangle = 0$.证毕.

3. 证明内积必定是范数

   要证 $ \left\langle x \middle| x \right\rangle $ 满足范数的要求,最关键是证明性质

\begin{equation} \left\lVert x+y \right\rVert ^2 \leqslant ( \left\lVert x \right\rVert + \left\lVert y \right\rVert )^2 = \left\lVert x \right\rVert ^2 + \left\lVert y \right\rVert ^2 + 2 \left\lVert x \right\rVert \left\lVert y \right\rVert \end{equation}
即证
\begin{equation} \left\langle x+y \middle| x+y \right\rangle - \left\langle x \middle| x \right\rangle - \left\langle y \middle| y \right\rangle \leqslant 2 \left\lVert x \right\rVert \left\lVert y \right\rVert \end{equation}
其中
\begin{equation} \left\langle x+y \middle| x+y \right\rangle = \left\langle x \middle| x \right\rangle + \left\langle y \middle| y \right\rangle + 2 \operatorname{Re} [{ \left\langle x \middle| y \right\rangle }] \end{equation}
代入,即证
\begin{equation} \operatorname{Re} [{ \left\langle x \middle| y \right\rangle }]^2 \leqslant \left\lVert x \right\rVert ^2 \left\lVert y \right\rVert ^2 = \left\langle x \middle| x \right\rangle \left\langle y \middle| y \right\rangle \end{equation}
由柯西不等式
\begin{equation} \operatorname{Re} [ \left\langle x \middle| y \right\rangle ]^2 + \operatorname{Im} [ \left\langle x \middle| y \right\rangle ]^2 = \left\lvert \left\langle x \middle| y \right\rangle \right\rvert ^2 \leqslant \left\langle x \middle| x \right\rangle \left\langle y \middle| y \right\rangle \end{equation}
而 $ \operatorname{Im} [ \left\langle x \middle| y \right\rangle ]^2 > 0$.证毕.


1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面

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