几何向量的线性相关性
贡献者： addis; Giacomo
未完成：改写定义
如果存在至少一组不全为零系数 $c_i$ 使几个向量的线性组合等于零，即
\begin{equation}
\sum_i^N c_i \boldsymbol{\mathbf{v}} _i = \boldsymbol{\mathbf{0}} ~,
\end{equation}
那这些向量就被称为
线性相关（linearly dependent）的。这是因为对于任何一个 $c_j$ 不为零的项，向量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _j$ 都可以表示为其他向量的线性组合。只需把上式除以 $c_j$ 即可
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{v}} _j = -\sum_{i \ne j} c_i' \boldsymbol{\mathbf{v}} _i~,
\end{equation}
其中 $c_i' = \frac{c_i}{c_j}$。如果不存在满足
式 1 的系数 $c_i$，这些向量就是
线性无关（linearly independent）的，即任何向量都不可能被其他向量的线性组合表示。
例 1
我们来看在三维几何向量空间中，线性无关有什么几何意义。若两个向量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _2$ 线性相关，意味着存在不全为零实数 $c_1, c_2$ 使
\begin{equation}
c_1 \boldsymbol{\mathbf{v}} _1 + c_2 \boldsymbol{\mathbf{v}} _2 = \boldsymbol{\mathbf{0}} ~.
\end{equation}
假设 $c_1$ 不为零，则 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1 = (c_2 / c_1) \boldsymbol{\mathbf{v}} _2$。这个推导可逆，所以
两个几何向量线性相关当且仅当它们共线，或者说两个几何向量线性无关当且仅当它们不共线。
再来看三个向量的情况。类比两个向量的情况，则线性相关意味着
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{v}} _3 = \frac{c_1}{c_3} \boldsymbol{\mathbf{v}} _1 + \frac{c_2}{c_3} \boldsymbol{\mathbf{v}} _2~.
\end{equation}
由几何向量加法的（几何）定义，要么这三个向量都共线，要么 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _3$ 落在 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _2$ 所在的平面上。该过程的逆过程也成立，所以
三个几何向量线性相关当且仅当它们都共线或者共面，或者说三个几何向量线性无关当且仅当它们不共面且两两不共线。
如果一个向量集合中的向量是线性相关的，那么这个集合被称为一个线性相关组；反之，若线性无关，则称为一个线性无关组。
如果一组向量之间线性相关，那么至少有一个向量是 “冗余” 的，也就是说，它可以被其它向量的线性组合表示出来。这样一来，对于线性相关的向量组，如果用它们的线性组合来表示其它向量，那么表示方式都不是唯一的。线性无关的向量组，最重要的性质就是它们的线性组合表达式是唯一的，由此引入了基底和坐标等概念。
显然，给定一个非零的线性相关组，通过逐个移除这些 “冗余” 的向量，我们总可以得到一个线性无关组。
以后我们会看到，若将 $M$ 个 $N$ 维空间的几何向量的坐标表示为 $N\times M$ 的矩阵，可以用这个矩阵的秩 $R$ 来判断其中线性无关向量的个数。当且仅当 $R = M \leqslant N$ 时，这 $M$ 个向量才是线性无关的。
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