线性相关性

             

预备知识 几何矢量的运算

   如果存在至少一组不全为零系数 $c_i$ 使几个矢量的线性组合等于零,这些矢量就被称为线性相关(linearly dependent)

\begin{equation} \sum_i^N c_i \boldsymbol{\mathbf{v}} _i = \boldsymbol{\mathbf{0}} \end{equation}
这是因为对于任何一个 $c_j$ 不为零的项,矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _j$ 都可以表示为其他矢量的线性组合.只需把上式除以 $c_j$ 即可
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} _j = -\sum_{i \ne j}\frac{c_i}{c_j} \boldsymbol{\mathbf{v}} _i \end{equation}
如果不存在满足式 1 的非零系数 $c_i$,这些矢量就是线性无关(linearly independent)的,即任何矢量都不可能被其他矢量的线性组合表示.

例 1 

   我们来看在三维几何矢量空间中,线性无关有什么几何意义.若两个矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _2$ 线性相关,意味着存在不全为零实数 $c_1, c_2$ 使

\begin{equation} c_1 \boldsymbol{\mathbf{v}} _1 + c_2 \boldsymbol{\mathbf{v}} _2 = \boldsymbol{\mathbf{0}} \end{equation}
假设 $c_1$ 不为零,则 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1 = c_2 \boldsymbol{\mathbf{v}} _2 / c_1$.这个推导可逆,所以两个几何矢量线性相关当且仅当它们共线,或者说两个几何矢量线性无关当且仅当它们不共线.

   再来看三个矢量的情况.类比两个矢量的情况,则线性相关意味着

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} _3 = \frac{c_1}{c_3} \boldsymbol{\mathbf{v}} _1 + \frac{c_2}{c_3} \boldsymbol{\mathbf{v}} _2 \end{equation}
由几何矢量加法的(几何)定义,要么这三个矢量都共线,要么 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _3$ 落在 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _2$ 所在的平面上.该过程的逆过程也成立,所以三个几何矢量线性相关当且仅当它们都共线或者共面,或者说三个几何矢量线性无关当且仅当它们不共面且两两不共线.

   如果一个矢量集合中的矢量是线性相关的,那么这个集合被称为一个线性相关组;反之,若线性无关,则称为一个线性无关组

   如果一组矢量之间线性相关,那么至少有一个矢量是 “冗余” 的,也就是说,它可以被其它矢量的线性组合表示出来.这样一来,对于线性相关的矢量组,如果用它们的线性组合来表示其它矢量,那么表示方式都不是唯一的.线性无关的矢量组,最重要的性质就是它们的线性组合表达式是唯一的,由此引入了基底和坐标等概念.

   显然,给定一个非零的线性相关组,通过逐个移除这些 “冗余” 的矢量,我们总可以得到一个线性无关组.

   以后我们会看到,若将 $M$ 个 $N$ 维空间的几何矢量的坐标表示为 $N\times M$ 的矩阵,可以用这个矩阵的秩 $R$ 来判断其中线性无关矢量的个数.当且仅当 $R = M \leqslant N$ 时,这 $N$ 个矢量才是线性无关的.

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