预备知识 环

1. 体和域的概念

定义 1 体

   给定一个集合 $H$,如果这个集合中定义了两个运算,加法 “+” 和乘法 “$\times$”,并且 $H$ 对于加法构成一个阿贝尔群,而 $H-\{0\}$ 构成群($0$ 为 $H$ 加法群的单位元),并且乘法对加法满足分配律,即对于任何 $a, b, c\in H$,满足 $a\times(b+c)=a\times b+a\times c$,那么我们称 $(H, +, \times)$ 构成一个体(skew field),或称可除环(division ring)除环

   像在环论中省略乘法的符号一样,我们也常常把体中的 “$\times$” 符号省略,比如说,将分配律表示为 $a(b+c)=ab+ac$.

   简单来说,体就是能进行加减乘除的一个集合,其中加法是可交换的,乘法却不一定.由于乘法不一定交换,这就使得除法运算相对复杂,但我们在此不过多展开.

例 1 四元数体

   四元数词条中所定义的全体四元数构成的集合,配上所定义的加法和乘法,构成一个体,称为四元数体

例 2 矩阵体

   某个域上的全体 $n$ 阶可逆矩阵,配上矩阵加法和乘法,构成一个体.

   类比子群和子环的定义,我们也可以定义子体.

定义 2 子体

   体 $H$ 的子集 $S$ 如果满足其对已有的加法和乘法仍然构成体,那么称 $S$ 是 $H$ 的一个子体

   子体的概念引出了以下关键概念.

定义 3 素体与素域

   一个体的子体之交显然还是一个子体,因此每个体都存在唯一的非平凡不可约子体,称为这个体的素体(prime field)素域

   素体又被称作素域的原因是,素体必然是 $\mathbb{Z}_p$ 或 $\mathbb{Q}$,其中 $p$ 是素数.这两种体都是域.

   那么我们刚才讨论中的域是什么呢?

定义 4 域

   给定一个体 $\mathbb{F}$,如果 $\mathbb{F}$ 的乘法满足交换律,那么称其为一个域(field)

   一个域的子体总是乘法可交换的,因此也都称为域的子域(sub-field)

   数学界主流将域视作乘法可交换的体,因此当谈到域时,总是认为乘法可交换.少数数学家会把我们以上定义的体称为域,而将我们定义的域称为交换域,但这并不是主流,因此本书使用以上定义.

例 3 数域

   包含整数集的域,称为数域.最重要的数域有三个,有理数域 $\mathbb{Q}$,实数域 $\mathbb{R}$ 和复数域 $\mathbb{C}$,其中 $\mathbb{Q}$ 是最小的数域,也就是说任何数域都包含它;实数域是有理数域的完备化,意味着有理数域中的收敛数列都收敛于某个实数;复数域是最大的数域,也就是说任何数域都是复数域的子域.

   注意,$\mathbb{Z}_p$ 并不是 $\mathbb{Z}$ 的子域,因为在 $\mathbb{Z}_p$ 中,$(p-1)+1=0$,而这在 $\mathbb{Z}$ 中是不可能的.

   素域的概念对于描述任意的域是关键,以至于我们用素域定义了一个概念,称作域的特征:

定义 5 域的特征

   给定域 $\mathbb{F}$,如果它所包含的素域是 $\mathbb{Z}_p$,那么称 $\mathbb{F}$ 的特征(character)是 $p$;如果它的素域是 $\mathbb{Q}$,那么称它的特征是 $0$.

   由定义可见,特征的值取素数或者 $0$,这个值在很大程度上决定了域的代数性质.

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