环和域

                     

贡献者： JierPeter; addis; Giacomo

  • 本文处于草稿阶段。
  • 与文章环重复，建议修改
  • 素域，除环（体）应当单独设计单独的文章，建议修改
预备知识　环

　　 在群的基础上，我们可以定义更复杂的对象，环和域。简单来说，环和域各自有两个运算，通常称为加法和乘法，其中加法必须构成一个阿贝尔群。由于多了一个运算，我们还需要考虑两个运算之间的复合关系，因此还额外引入了一个性质，即乘法对加法的分配性。

1. 比群多了一个运算：环和域

定义 1　环

　　 一个环（ring）是一个集合 $R$ 及其上两个运算，加法$+$ 和乘法$\times$，构成的三元组 $(R, +, \times)$，并且满足以下公理：

  1. $(R, +)$ 构成阿贝尔群：
    • 加法 $+$ 在集合 $R$ 上是封闭的。
    • 加法 $+$ 具有结合性。
    • 加法 $+$ 在集合 $R$ 上存在单位元，记为 $0$，常称为 “零元”。
    • 对于任意 $R$ 中元素 $a$，存在其加法逆元$-a$，使得 $a+(-a)=0$。
    • 加法 $+$ 是交换的。
  2. $(R, \times)$ 构成幺半群：
    • 乘法 $\times$ 是封闭的。
    • 乘法 $\times$ 具有结合性。
    • 乘法 $\times$ 存在单位元，记为 $1$，常称为 “幺元”1。
  3. 乘法对加法满足左右分配律：对于任意 $x, y, z\in R$，有 $x\times(y+z)=x\times y+x\times z$（左分配律），且 $(y+z)\times x=y\times x+z\times x$（右分配律）2。

　　 不至于混淆时，为方便计，可将 “环 $(R, +, \times)$” 简称为 “环 $R$”，并将乘法符号省略，即将 $a\times b$ 写为 $ab$。

　　 如果乘法 $\times$ 还具有交换性，则称 $(R, +, \times)$ 为一个交换环（commutative ring）。

　　 环配合其加法构成一个阿贝尔群，而乘法只能构成一个半群——乘法不是有幺元吗，为什么不能是幺半群？因为有 $0$ 这个元素在，任何元素乘以 $0$ 还是 $0$，就像小学就学过的实数乘法一样。这是由分配律导致的，我们把它写为以下定理：

定理 1　

　　 设 $R$ 是一个环，$0$ 是其加法单位元。则对于任意 $r\in R$，有 $r\times 0=0\times r=0$。

　　 证明：

　　 $r\times 0=r\times (r-r)=r\times r-r\times r=0$。

　　 证毕。

　　 域是一种特殊的环，定义如下：

定义 2　

　　 一个域（field）是一个集合 $\mathbb{F}$ 及其上两个二元运算，加法$+$ 和乘法$\times$，构成的三元组 $(\mathbb{F}, +, \times)$，满足以下公理：

  1. $(\mathbb{F}, +)$ 构成阿贝尔群：
    • 加法在 $\mathbb{F}$ 上 $+$ 是封闭的。
    • 加法 $+$ 具有结合性。
    • 加法 $+$ 在 $\mathbb{F}$ 上存在单位元，记为 $0$，常称为 “零元”。
    • 对于任意 $\mathbb{F}^*$ 中元素 $a$，存在其加法逆元$-a$，使得 $a+(-a)=0$。
    • 加法 $+$ 是交换的。
  2. $(\mathbb{F}^*, \times)$ 构成阿贝尔群，其中 $\mathbb{F}^*=\mathbb{F}-\{0\}$：
    • 乘法在 $\mathbb{F}^*$ 上 $\times$ 是封闭的。
    • 乘法 $\times$ 具有结合性。
    • 乘法在 $\mathbb{F}^*$ 上存在单位元，记为 $1$，常称为 “幺元”。
    • 对于任意 $\mathbb{F}^*$ 中元素 $a$，存在其乘法逆元$a^{-1}$，使得 $a\times a^{-1}=1$。
  3. 乘法对加法满足分配律：对于任意 $x, y, z\in R$，有 $x\times(y+z)=x\times y+x\times z$（左分配律），且 $(y+z)\times x=y\times x+z\times x$（右分配律）3。

　　 不至于混淆时，为方便计，可将 “域 $(\mathbb{F}, +, \times)$” 简称为 “域 $\mathbb{F}$”，并将乘法符号省略，即将 $a\times b$ 写为 $ab$。

　　 比较下来，域的定义只比环的定义多了第 10 和第 11 条，一个要求乘法可逆（即可以做除法），一个要求乘法交换；其它部分则完全相同。两个定义中，第 1 到第 5 条定义了加法的性质，使得环或域在加法下构成交换群；第 5 条定义了两个运算间的关系，即分配律；剩下的则定义了乘法的性质。可以看到，域比环更具体，环比域更抽象。当然了，群最抽象，环和域都是群的具体例子。

　　 一般来说，为了方便，我们通常会省去乘法符号，把 $r\times s$ 写为 $rs$。元素 $r$ 的加法逆元记为 $-r$，这样就可以把 $r+(-s)$ 记为 $r-s$。如果元素 $r$ 有乘法逆元，那么我们把它的乘法逆元记为 $r^{-1}$，于是就有 $rr^{-1}=r^{-1}r=1$，像我们在群论初步中看到 $xx^{-1}=x^{-1}x=e$ 一样。

　　 要注意的是，环的乘法只有在去掉加法单位元 $0$ 的时候才能构成幺半群或者群，这是因为任何元素乘以 $0$ 还是 $0$，就像小学就学过的实数乘法一样。这是由分配律导致的，我们把它写为以下定理：

定理 2　

　　 设 $R$ 是一个环，$0$ 是其加法单位元。则对于任意 $r\in R$，有 $r\times 0=0\times r=0$。

　　 证明：

　　 $r\times 0=r\times (r-r)=r\times r-r\times r=0$。

　　 证毕。

　　 我们可以简单地理解为，环是 “能进行加减乘运算的集合”，其中乘法还不一定交换；域则是能 “进行加减乘除运算的集合”，而且加法和乘法都可以交换。

　　 最常见的环是整数环。全体整数构成的集合，配备通常的加法、乘法运算后，构成一个环，并且还是交换环。实函数也可以用来构成环：如果 $f, g$ 都是从实数到实数的映射，那么对于任意实数 $x$，定义 $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ 以及 $(f\times g)(x)=f(x)g(x)$，这样，全体实函数的集合配备如此定义的 $+$ 和 $\times$ 运算，就构成一个交换环。

　　 非交换环的例子也可以用函数构造出来，方法是把以上定义的函数环中的乘法替换为复合运算：$(f\circ g)(x)=f(g(x))$。这样，由于映射的复合一般不交换4，于是 $(\{\text{全体实函数}\}, +, \circ)$ 就是一个非交换环。除此之外，我们将来会遇到的矩阵等对象也能构成非交换环，但是矩阵乘法的非交换性本质上相当于映射复合的非交换性，因为矩阵可以用来表示线性变换，此时矩阵的乘法对应的是线性变换的复合。不用担心，我们会在线性代数章节里再讨论这些。

　　 最常见的域就是有理数域和实数域。在有理数集合和实数集合上配备通常的加法、乘法运算后，都构成域，称作有理数域和实数域。

　　 从定义很容易看出域一定是环，但上面所举的环的例子中，都有乘法不可逆的元素，因此它们都只是环，不是域。比如说，整数环里 $2$ 这个元素，就不存在整数的乘法逆元；实函数环里 $f(x)=x$ 也不存在乘法逆元（此处取交换的环的那个例子的定义，用实数的乘法导出函数的乘法），因为它有零点 $f(0)=0$，导致不存在实函数 $g$ 使得 $(f\times g)(x)$ 恒为 $1$。

2. 体和素域的概念

定义 3　体

　　 给定一个集合 $H$，如果这个集合中定义了两个运算，加法 “+” 和乘法 “$\times$”，并且 $H$ 对于加法构成一个阿贝尔群，而 $H-\{0\}$ 构成群（$0$ 为 $H$ 加法群的单位元），并且乘法对加法满足分配律，即对于任何 $a, b, c\in H$，满足 $a\times(b+c)=a\times b+a\times c$，那么我们称 $(H, +, \times)$ 构成一个体（skew field），或称可除环（division ring）、除环。

　　 像在环论中省略乘法的符号一样，我们也常常把体中的 “$\times$” 符号省略，比如说，将分配律表示为 $a(b+c)=ab+ac$。

　　 简单来说，体就是能进行加减乘除的一个集合，其中加法是可交换的，乘法却不一定。由于乘法不一定交换，这就使得除法运算相对复杂，但我们在此不过多展开。

例 1　四元数体

　　 四元数文章中所定义的全体四元数构成的集合，配上所定义的加法和乘法，构成一个体，称为四元数体。

例 2　矩阵体

　　 某个域上的全体 $n$ 阶可逆矩阵，配上矩阵加法和乘法，构成一个体。

　　 类比子群和子环的定义，我们也可以定义子体。

定义 4　子体

　　 体 $H$ 的子集 $S$ 如果满足其对已有的加法和乘法仍然构成体，那么称 $S$ 是 $H$ 的一个子体。

　　 子体的概念引出了以下关键概念。

定义 5　素体与素域

　　 一个体的子体之交显然还是一个子体，因此每个体都存在唯一的非平凡不可约子体，称为这个体的素体（prime field）或素域。

　　 素体又被称作素域的原因是，素体必然是 $\mathbb{Z}_p$ 或 $\mathbb{Q}$，其中 $p$ 是素数。这两种体都是域。关于这一点，可参考下面一小节 “素域的附加讨论”。

　　 数学界主流将域视作乘法可交换的体，因此当谈到域时，总是认为乘法可交换。少数数学家会把我们以上定义的体称为域，而将我们定义的域称为交换域，但这并不是主流，也不是小时百科所使用的定义。

例 3　数域

　　 复数域的任何子域，被统称为数域。最重要的数域有三个，有理数域 $\mathbb{Q}$，实数域 $\mathbb{R}$ 和复数域 $\mathbb{C}$，其中 $\mathbb{Q}$ 是最小的数域，也就是说任何数域都包含它；实数域是有理数域的完备化，意味着有理数域中的收敛数列都收敛于某个实数；复数域是最大的数域，也就是说任何数域都是复数域的子域。

　　 注意，$\mathbb{Z}_p$ 并不是 $\mathbb{Z}$ 的子域，因为在 $\mathbb{Z}_p$ 中，$(p-1)+1=0$，而这在 $\mathbb{Z}$ 中是不可能的。

　　 素域的概念对于描述任意的域是关键，以至于我们用素域定义了一个概念，称作域的特征：

定义 6　域的特征

　　 给定域 $\mathbb{F}$，如果它所包含的素域是 $\mathbb{Z}_p$，那么称 $\mathbb{F}$ 的特征（character）是 $p$；如果它的素域是 $\mathbb{Q}$，那么称它的特征是 $0$。

　　 域 $\mathbb{F}$ 的特征记为 $ \operatorname {ch}\mathbb{F}$ 或者 $ \operatorname {char}\mathbb{F}$。

　　 由定义可见，特征的值取素数或者 $0$，这个值在很大程度上决定了域的代数性质。

3. 素域的附加讨论

　　5素域的可能形式极为简单。回忆第 3.2 节6中的讨论，任何幺环必然包括一个子环 $\mathbb{Z}_n$，其中 $\mathbb{Z}_0=\mathbb{Z}$。域和体当然都是幺环，所以也有相同的性质。由于体比域更抽象，我们接下来就设 $\mathbb{F}$ 为一个体来进行讨论。

　　 如果 $\mathbb{F}$ 中包含的 $\mathbb{Z}_n$ 是 $\mathbb{Z}$，那么由于 $\mathbb{F}$ 的每个元素都有乘法逆元，我们就可以把在其中把 $\mathbb{Z}$ 的分式域构造出来，即 $\mathbb{Q}$。而有理数域 $\mathbb{Q}$ 就是一个素域。

　　 为什么呢？假设 $\mathbb{K}$ 是 $\mathbb{Q}$ 的一个子域，那么它必须包含 $1$ 这个元素。用 $1$ 不断地和自身相加，我们又必须得到 $\mathbb{Z}$ 本身——不可能得到其它的 $\mathbb{Z}_n$，因为那样就违反了 $\mathbb{Q}$ 的运算规律了。接下来，由于 $\mathbb{K}$ 是一个域，因此由乘法和加法的逆运算可知，它必须包含 $\mathbb{Z}$ 和其分式域，结果就是 $\mathbb{K}\supseteq\mathbb{Q}$。但又因为按设定，$\mathbb{K}\subseteq\mathbb{Q}$，所以最终就有 $\mathbb{K}=\mathbb{Q}$。因此 $\mathbb{Q}$ 的子域只能是它自己，故知 $\mathbb{Q}$ 是一个素域。

　　 如果 $\mathbb{F}$ 中包含的 $\mathbb{Z}_n$ 中 $n\neq 0$，那么 $n$ 必然是一个素数。为什么呢？假设存在正整数 $a, b$ 使得 $ab=n$，那么在 $\mathbb{Z}_n$ 中就有 $ab=0$，这违反了域的乘法规则。

　　 现在，假设 $\mathbb{F}$ 包含一个 $\mathbb{Z}_p$，其中 $p$ 为素数。而这个 $\mathbb{Z}_p$ 本身就是一个域。由于域同时也是加法群，而子群的元素数量必须整除原来的群的元素数量，因此含有 $p$ 个元素的 $\mathbb{Z}_p$ 不可能有非平凡7子群，进而不可能有子域。因此 $\mathbb{Z}_p$ 就是一个素域。

　　 结合以上讨论，我们知道了 $\mathbb{Q}$ 和 $\mathbb{Z}_p$ 都是素域，其中 $p$ 是素数。而任何体中，由于加法和乘法的封闭性，必然包含 $\mathbb{Q}$ 或 $\mathbb{Z}_p$ 中的一个。由此还可顺便得出，素体都是素域，这是因为我们上述讨论中都没用到乘法的交换性。

1. ^ 这是有争议的。有的数学家从形式上定义，不要求环有幺元，而把有幺元的特别称呼为 “幺环”；但是有的数学家认为，我们很少研究不含幺元的环，所以不如直接定义环必须有幺元，简化讨论。本书使用后一种传统，但是有时也会为了强调而使用 “幺环” 的术语，也就是说我们会将 “环” 和 “幺环” 视作等价的术语来使用。英语中将我们此处定义的环称为 ring，而去掉乘法单位元之后所得结构称为 rng。
2. ^ 分左右两种分配律，是因为环的乘法不一定交换。
3. ^ 分左右两种分配律，是因为环的乘法不一定交换。
4. ^ 比如说，对于函数 $f=x+1$ 和函数 $g=x^2$，我们有 $f\circ g=x^2+1$，但 $g\circ f=(x+1)^2=x^2+1+2x\not=f\circ g$。
5. ^ 本节选自小时百科系列教材《代数学》的 “初窥抽象代数-环和域-素域” 小节
6. ^ 原书 “整数环” 一节。
7. ^ “非平凡” 此处指除了 $\{0\}$ 和其本身之外的情况。


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