集合

贡献者： addis; JierPeter; Giacomo

1. 集合

　　 对于非数学专业学习而言，集合论没必要从公理角度来严格理解，所以在此不会给出用于划定集合论讨论范围的公理系统，而是朴素集合论（naive set theory）的解释，即比较接近自然语言的表达方式。

　　 集合（set）是由元素（element）组成的。任何事物和概念都可以成为元素，任何不同的元素都可以放在一起，构成一个集合。可以说，如果我们划定一个讨论的范围，那么这个范围就是一个集合，范围涉及到的事物和概念就是这个集合当中的元素。公理系统的作用，也就是在所有可能讨论的话题所构成的集合中，限定一个子集作为讨论范围。对于集合 $A$，定义 $|A|$ 为 $A$ 中元素的数量，称为集合 $A$ 的基数（cardinal number）或势（cardinality）。

　　 表达一个集合的方式有多种。最简单的方式是列出所有集合中的元素，在数学中规定的语法规范是用大括号 “$\{\}$” 来列举集合中的一切元素，以逗号隔开彼此。比如，$\{\text{猪}, \text{牛}, \text{狗}, \text{羊}, \text{猫}\}$ 是了一个具有五个元素的集合，$\{1,2,3,4,\dots\}$ 则是全体正整数的集合。第二个例子并没有显然地列举出所有正整数，只是用省略号表达了这个意思；也就是说，表达一个集合的方式并没有死板的规定，只要能让读者理解就可以了。

　　 另一种常见的表达集合的方式是确定一个规则，语法规范是 “$\{x|x \text{需要满足的条件}\}$”。比如全体正整数的集合，也可以写为 $\{x|\text{$x$ 是一个正整数}\}$。如果有多个条件，也可以列在一起，比如全体正整数的集合：$\{x|x \text{是一个正数，且 $x$ 是一个整数}\}$。特别地，如果某条规则是 “$x$ 属于某集合”，我们通常会将这个条件写到单竖线的前面，如全体正整数的集合：$\{x\in\mathbb{Z}|\text{$x$ 是一个正数}\}$。这里，$\in$ 是一个简写的符号，$A\in B$ 等于说 “$A$ 是 $B$ 的元素”。

　　 有一个特殊的集合，它不含有任何元素，被称为空集（empty set），记作 $\varnothing$，有时也写作 $\phi$，$\emptyset$。$\varnothing$ 是一切集合的子集。

元素和子集

　　 若 $a$ 是集合 $A$ 的元素，我们就说 $a$ 属于（belong to） $A$，记为 $a \in A$ 或者 $A \ni a$。

　　 如果集合 $A$ 的元素都是集合 $B$ 的元素，那么称 $A$ 是 $B$ 的子集（subset），小时百科中记为 $A\subset B$ 或者 $A\subseteq B$，也可以反过来写为 $B\supset A$ 和 $B\supseteq A$。一切集合都是自身的子集。如果 $A$ 是 $B$ 的子集但又和 $B$ 不同，也就是说 $A$ 没有包含 $B$ 的所有元素，那么称 $A$ 是 $B$ 的真子集（proper subset），小时百科中记为 $A\subsetneq B$，$A\subsetneqq B$，$B\supsetneqq A$ 或 $B\supsetneq A$¹。$B$ 的真子集一定是 $B$ 的子集，但是 $B$ 本身是 $B$ 的子集而非真子集。

　　 注意区分这两个情况，$A \in B$ 表示 $A$ 是 $B$ 的元素，$A \subseteq B$ 表示 $A$ 是 $B$ 的子集。另外，集合本身也可以是别的集合的元素，任何事物和概念都可以成为元素，包括集合，但是一个集合不可能是它自己的元素，即 $A \not\in A$（这个话题引导出了罗素悖论，直接催生了公理化集合论（ZFC）的诞生）。集合的集合我们一般称作集族（family of sets）或者简单地族（family）。

2. 集合运算

　　 集合间可以互相操作，生成新的集合，这种操作被称为集合间的运算（operation）。²

　　 $\cap$ 表示两个集合的交，意思是将两个集合中共有的元素提取出来，组成一个新的集合。比如说，$\mathbb{N^+}$ 表示全体正自然数的集合，$\mathbb{R^+}$ 表示全体正实数的集合，$\mathbb{Z}$ 表示全体整数的集合，那么显然我们可以有 $\mathbb{N^+}=\mathbb{R^+}\cap\mathbb{Z}$. 多个集合 $A_i$ 的交集，可以写为 $A_0\cap A_1\cap A_2\cap A_3\dots$，也可以用一个大号的交集符号简记为 $\bigcap A_i$，表示 “所有形式为 $A_i$ 的集合的交集”。

　　 类似地，将两个集合中都有的元素提取出来，组成一个新的集合的操作，被称为集合的并，用符号 $\cup$ 和 $\bigcup$ 表示。注意，如果两个元素中有相同元素，那么在并集中这个元素只出现一次。这是因为我们关心的是每个元素是否出现在集合中，计算集合元素数量时也不会重复计算同一个元素。这是一个并集的例子：

　　 对于集合 $A$ 和 $B$，$A\backslash B$ 或者 $A-B$ 表示他们的差集。差集所包含的元素是 $A$ 中全体元素中减去 $B$ 中元素，如果 $B$ 还含有 $A$ 中所没有的元素，那么这部分元素可以忽略掉。例如，如果令 $A=\{0,1,2,3\}$，$B=\{2,3,4\}$，那么 $A-B=\{0,1\}$。

　　 如果我们划定了一个讨论范围，被讨论的元素构成的集合称为 $U$，那么 $U$ 中的任意一个子集 $A$ 都可以进行取补集运算，得到 $A^C=U-A$，称为 $A$ 的补集（complement）。

笛卡尔积

　　 另见笛卡尔积。

　　 对于集合 $A$ 和 $B$，$A\times B$ 表示集合间的笛卡尔积（Cartesian product），得到一个新的集合。$A\times B$ 中的元素表示为 $(a,b)$，其中 $a\in A$, $b\in B$。用集合论的术语表达就是

3. 集合运算的规律

　　 de Morgan 公式（de Morgan's laws）：$(\bigcup A_i)^C=\bigcap A_i^C$，$(\bigcap A_i)^C=\bigcup A_i^C$。用自然语言表达，就是：并集的补等于补集的交，交集的补等于补集的并。

　　 分配律（distribution laws）： $A\cup(\bigcap B_i)=\bigcap (A\cup B_i)$，$A\cap(\bigcup B_i)=\bigcup (A\cap B_i)$。用自然语言表达，就是：并集运算对交集运算满足分配律，交集运算也对并集运算满足分配律，就像小学所学的乘法对加法满足分配律一样。

4. 集族和幂集

　　 族，或者叫集族，是指集合的集合。也就是说，族也是一种集合，只不过其元素都是集合。

　　 由于族的元素都是集合，我们可以对一个族取并和取交得到一个集合，记做，$\bigcup(F)$ 和 $\bigcap(F)$，方式是求这个族里所有集合的并和交，即 $$ \begin{aligned} \bigcup(F) &= \bigcup_{A \in F} A, \\ \bigcap(F) &= \bigcap_{A \in F} A, \end{aligned}~ $$

　　 注意，对族取并和取交的结果不是一个族，而只是一个集合³。

　　 换言之，每个集族都是某一个幂集合的子集。

5. 拓展

　　 目前为止我们只介绍了集合之间的运算以及集合中元素的数目，但没有对集合本身建立一个结构。从基数的角度来看，只要两个集合之间存在一一对应，那么就可以把它们看作同一个集合，因为在我们的讨论范围里它们都是完全一致的（只讨论了基数）。但是这样很无聊，没有太多研究的意义，因此数学家们开始给集合赋予各种各样的结构，进一步细分集合的分类，由此诞生了拓扑学、代数学等分支。现代数学的绝大部分分支都是通过给集合赋予结构来描述的，可以说集合论是现代数学的基石，几乎每一条数学定理都是集合论的定理。

1. ^ 有的地方会用 $\subset$ 来表示 “真子集”，和我们这里的定义矛盾；小时百科中 $\subset$ 就表示子集，但是尽量避免使用这个符号，以尽力避免读者的混淆。
2. ^ 严格来说在考虑集合的运算（交并补）之前，我们需要先限定一个讨论范围，即以下所有集合都是全集 $U$ 的子集，所有元素都是 $U$ 的元素。
3. ^ 这么说是方便理解，但是并不严谨：如果集族里的每个元素也是集族，那么取并和取交的结果当然还是族，只不过 “降阶” 了。而如果集族里每个元素都只是集合而非族，那么取并取交的结果就不再是族。