映射

             

预备知识 集合

   给定集合 $A$ 和 $B$,我们可以假想从 $A$ 中每一个元素上拉一根有方向的线连接到 $B$ 中的一个元素,这些线的连接方式就被称为一个从 $A$ 到 $B$ 的映射(mapping),也叫算符(operator).将这个映射记为 $f$,$A$ 叫做 $f$ 的定义域(domain),$B$ 叫做到达域(codomain)1,$B$ 中被线连接到的元素的集合叫做 $f$ 的值域(range)2像(image),记为 $f(A)$.

   我们一般将 “$f$ 是从 $A$ 到 $B$ 的映射” 记为

\begin{equation} f:A\to B \end{equation}
也就是说从 $A$ 的元素上拉线到 $B$ 的元素上.有时候,为了表示映射的定义域 $A$ 或到达域 $B$ 是另一个集合的 $S$ 的子集,我们也会将映射记为
\begin{equation} f: A\subseteq S \to B \quad\text{或}\quad f: A \to B \subseteq S \end{equation}
注意映射是有方向区分的,$A$ 中每个元素都有且只有一根线拉出去,但是 $B$ 中的元素可以同时被一根或多根线连接,也可以没有连接(即不在值域中).

1. 映射的类型

定义 1 

   如果映射 $f:A \to B$ 中每个 $B$ 中元素只被 1 根或者 0 根线连接,那么称 $f$ 是一个单射(injection).如果 $f:A\to B$ 中每个 $B$ 中元素都被至少 1 根线连接,那么称 $f$ 是一个满射(surjection).如果 $f$ 既是单射又是满射,那么称它为一个双射(bijection),或者叫一一对应(one-to-one correspondence)

图
图 1:映射的分类

   如果 $f:A\to B$ 是一个双射,那么 $A$ 中每一个元素都唯一地连接到 $B$ 中某一个元素,并且 $B$ 中每一个元素也都唯一被 $A$ 中某一个元素所连接,因此很明显可以将这个过程反过来,从 $B$ 中向 $A$ 中拉连接线.另外,如果 $A$ 和 $B$ 存在双射,意味着 $A$ 和 $B$ 的元素数量应该一致3

   函数是一种常见的映射,例如 $f(x) = 2x$ 可以看作映射 $f: \mathbb R \to \mathbb R$.但是映射可以从任意集合到任意集合.例如将整数映射到正多边形,将函数的映射到函数或实数(一般把这种映射称为算符)等.

   注意当一个集合中有无限个元素时,我们有可能在它的子集和它本身之间建立一一映射,例如函数 $ \tan\left(x\right) $ 可以从实轴的开区间 $(-\pi/2, \pi/2)$ 一一映射到整个实轴 $\mathbb R$,又例如我们可以将全体整数 $\mathbb Z$ 乘以二后一一映射到全体偶数 $2\mathbb Z$ 上.这时我们仍然认为这两个集合的元素一样多,虽然直觉上可能不容易接受.

   Cantor-Bernstein 定理显示,如果集合 $A$ 到集合 $B$ 上存在一个单射 $f$ 和一个满射 $g$,那么总可以利用 $f$ 和 $g$ 来构造出一个双射.

2. 多元运算

   有时候我们需要将两个集合 $A, B$ 中任意各取一个元素,然后映射另一个集合 $C$ 中的元素,称为二元运算(binary operation).我们可以使用笛卡尔积(式 2 )将这个映射表示为

\begin{equation} A \times B \to C \end{equation}
一个简单的例子就是两个实数的的加法减法或乘法可以表示为 $\mathbb R \times \mathbb R \to \mathbb R$(或简记为 $\mathbb R^2 \to \mathbb R$),但除法不可以,因为除数的集合不是 $\mathbb R$ 而是 $\mathbb R$ 去掉 $0$.

   同理,多元运算可以用多个卡氏积表示为

\begin{equation} A_1 \times \dots \times A_N \to C \end{equation}
例如含有 $N$ 个自变量的函数就是一个 $N$ 元运算.特殊地,$N$ 个相同集合 $A$ 做卡氏积可以简单表示为 $A^N$,例如 $N$ 个有序复数的集合为 $\mathbb C^N$.

3. 相等和拓展

定义 2 

   当映射(算符)$f:A\to B$ 和 $g:C\to D$ 的定义域相等($A = C$)且对任意 $x\in A$ 都有 $fx = gx$,那么我们就说两个映射(算符)相等,记为 $f = g$,否则它们就不相等

   注意定义中的 $B, D$ 不需要相等.

定义 3 

   若 $A$ 是 $C$ 的子集($A\subseteq C$),我们就说 $g$ 是 $f$ 的拓展(extension),记为 $f \subseteq g$.特殊地,当 $A$ 是 $C$ 的真子集($A\subset C$),就记为 $f \subset g$.

4. 恒等映射

定义 4 

   若一个集合到它子集的映射 $f:X\to X$ 把任意 $x\in X$ 映射到 $x$ 本身,我们就叫它恒等映射(identity map)或者单位算符(unit operator),通常用 $I$ 或 $E$ 表示.

   注意对不同集合 $X$,它们的单位算符定义域并不相等,所以它们的单位算符也不相等.

5. 复合映射

定义 5 

   给定两个映射 $f:A\to B$ 和 $g:C\to D$,如果 $f$ 的值域 $R$ 是 $g$ 的定义域 $C$ 的一个子集,则可以定义复合映射(composition of maps) $g\circ f: A\to D$,即先将 $A$ 中的元素通过 $f$ 映射到 $R \subseteq C$,再通过 $g$ 映射到 $D$ 的元素.

   在没有歧义的情况下也可以将 “$\circ$” 省略,尤其是将映射称为算符时.

   复合映射常见的例子是复合函数,令 $\mathbb R$ 上的函数 $f(x) = \sin x$,$g(x) = x^2$,则复合函数 $g\circ f: \mathbb R \to [0, 1]$ 为 $(g\circ f)(x) = g(f(x)) = \sin^2 x$.

   根据定义,复合映射满足分配律,令 $f, g, h$ 为映射,则

\begin{equation} h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f \end{equation}

6. 映射的乘积

定义 6 

   给定两个映射 $f:A\to B$ 和 $g:C\to D$,则可以定义两个映射的乘积(product)为 $f\times g:A\times C\to B\times D$,其中对于任意 $a\in A, b\in B$ 有 $f\times g(a, b)=(f(a), g(b))$.

7. 映射的逆与逆映射

   先来看简单的情况,如果 $f: A\to B$ 是单射,那么可以把它的逆映射记为 $f^{-1}: B' \to A'$,其中 $B' \subseteq B$ 是 $f$ 的值域,$A'$ 可以是 $A$ 的任意父集.就必须要求 $f$ 为单射,否则若从 $f^{-1}$

  

未完成:幂集最好另开词条,这里只介绍单射的情况,以及简单介绍一下逆像的概念

   给定集合 $A, B$,定义 $B^A$ 为 “从 $A$ 到 $B$ 的所有可能的映射所构成的集合”.如果 $B$ 是一个二元集合,即它只有两个元素,不妨记为 $B=\{0,1\}$,那么 $B^A$ 可以用来表示 $A$ 的幂集,即由 $A$ 的所有子集所构成的集合.这是因为对于任意的 $f\in B^A$,我们可以把这个 $f$ 对应到 $A$ 的子集 $S$,其中 $S$ 的元素全都被 $f$ 映射到 1 上,$A-S$ 的元素全都被 $f$ 映射到 0 上.当然,0 和 1 的地位反过来也可以.由于这个特点,我们简单地把 $A$ 的幂集记为4 $2^A$.

   利用映射 $f:A\to B$,可以导出一个映射 $f^{-1}:2^B \to 2^A$,称为映射 $f$ 的逆(inverse).对于 $B$ 的任意子集 $C$,有

\begin{equation} f^{-1}(C) = \left\{x | x \in A, f(x) \in C \right\} \end{equation}
此时,$f^{-1}(C)$ 称为 $C$ 在 $f$ 下的逆像(inverse image)原像(preimage)

   特别地,和 $f$ 的值域中不相交的 $C$ 被 $f^{-1}$ 映射到空集上,而空集也是 $A$ 的一个子集.如果 $f$ 是一个双射,那么对于任意 $y\in B$,单元素子集 $\{y\}$ 都被 $f^{-1}$ 映射在 $A$ 的某个单元素子集上,那么我们也可以认为此时 $f^{-1}$ 实际上是单个元素映射在单个元素上,也就是从 $B$ 到 $A$ 的映射.

   如果 $f:A\to B$ 是单射,那么 $f^{-1}$ 总是把单点集映射到单点集上,因此这时我们可以定义 $f^{-1}:B\to A$,使得 $\forall x\in A$ 都有 $f^{-1}(f(x))=x$.特别地,此时我们将 $f^{-1}$ 称为 $f$ 的逆映射(inverse map)5

   对于双射 $f:A\to B$,显然 $f\circ f^{-1}$ 和 $f^{-1}\circ f$ 都是单位算符(恒等映射).注意两者的定义域分别为 $A$ 和 $B$,当 $A \ne B$ 时不能写成 $f\circ f^{-1} = f^{-1}\circ f$.如果把 $A$,$B$ 到自身的恒等映射分别记为 $I_A$ 和 $I_B$,那么 $f\circ f^{-1}=I_B$,$f^{-1}\circ f=I_A$.

例 1 

   如果取正弦函数 $y = \sin x$ 的值域为 $R = [-1, 1]$ 如果取定义域为 $\mathbb R$, 那么它不是一个单射,因为每一个 $y \in R$ 都对应无穷个 $x$,所以不存在反函数.但如果取定义域为 $[-\pi/2, \pi/2]$,那么它是一个单射,存在反三角函数 $\sin^{-1}: [-1, 1] \to [-\pi/2, \pi]$.

   根据以上定义,$\sin^{-1} ( \sin\left(x\right) )$ 是定义在 $[-\pi/2, \pi/2]$ 上的恒等函数,而 $ \sin\left(\sin^{-1}(x)\right) $ 是定义在 $[-1, 1]$ 上的恒等函数,所以有 $\sin \circ \sin^{-1} \subseteq \sin^{-1} \circ \sin$.


1. ^ 也叫陪域、上域、目标集(target set)
2. ^ 值域在一些文献中指的是到达域.
3. ^ 本书中统一使用这种定义.一些其他教材中也把我们的 “单射” 称为 “一一映射”,把 “满射” 称为 “到上”,把 “双射” 称为 “一一到上”,需要特别小心.
4. ^ 当 $A$,$B$ 都是有限集的时候,$|B^A|=|B|^{|A|}$.特别地,$|2^A|=2^{|A|}$.
5. ^ 注意 “映射的逆” 和 “逆映射” 的区别.映射的是子集到子集的映射,而逆映射是点到点的映射.任何映射都有,但是只有单射才有逆映射

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