映射

                     

贡献者: addis; JierPeter; Giacomo

预备知识 集合

定义 1 映射

   给定集合 $A$ 和 $B$,我们可以假想从 $A$ 中每一个元素上拉一根有方向的线连接到 $B$ 中的一个元素,这些线的连接方式就被称为一个从 $A$ 到 $B$ 的映射(mapping),也叫算符(operator)。将这个映射记为 $f$,$A$ 叫做 $f$ 的定义域(domain),$B$ 叫做到达域(codomain)1。对于 $A$ 的子集 $C$,$B$ 中被线连接到的元素的集合叫做 $C$(关于 $f$)的像(image),记做 $f(C)$;$f(A)$ 被称为 $f$ 的值域(range)2(有时也称为 $f$ 的像(image)),记为 $ \operatorname{Im} (f)$。

   我们一般将 “$f$ 是从 $A$ 到 $B$ 的映射” 记为

\begin{equation} f: A \to B~, \end{equation}
也就是说从 $A$ 的元素上拉线到 $B$ 的元素上。有时候,为了表示映射的定义域 $A$ 或到达域 $B$ 是另一个集合的 $S$ 的子集,我们也会将映射记为
\begin{equation} f: A\subseteq S \to B \quad\text{或}\quad f: A \to B \subseteq S~. \end{equation}
注意映射是有方向区分的,$A$ 中每个元素都有且只有一根线拉出去,但是 $B$ 中的元素可以同时被一根或多根线连接,也可以没有连接(即不在值域中)。换一种简单的说法,“一对一” 和 “多对一” 连线是允许的,但 “一对多” 是不允许的。

例 1 

   映射的典型例子是一元实函数 $y = f(x)$,其中定义域和值域都是实数集 $R$ 的某个子集。

1. 映射的类型

定义 2 

   如果映射 $f: A \to B$ 中每个 $B$ 中元素只被 1 根或者 0 根线连接,那么称 $f$ 是一个单射(injection)。如果 $f: A \to B$ 中每个 $B$ 中元素都被至少 1 根线连接,那么称 $f$ 是一个满射(surjection)。如果 $f$ 既是单射又是满射,那么称它为一个双射(bijection),或者叫一一对应(one-to-one correspondence)

图
图 1:映射的分类

   如果 $f: A \to B$ 是一个双射,那么 $A$ 中每一个元素都唯一地连接到 $B$ 中某一个元素,并且 $B$ 中每一个元素也都唯一被 $A$ 中某一个元素所连接,因此很明显可以将这个过程可以反过来,从 $B$ 中向 $A$ 中拉连接线,即我们有逆映射 $f^{-1}: B \to A$。另外,如果 $A$ 和 $B$ 存在双射,意味着 $A$ 和 $B$ 的元素数量应该一致3

   实函数是一种常见的映射,例如 $f(x) = 2x$ 可以看作映射 $f: \mathbb R \to \mathbb R$。但是映射可以从任意集合到任意集合。例如将整数映射到正多边形,将函数的映射到函数或实数(一般把这种映射称为算符)等。

   注意当一个集合中有无限个元素时,我们有可能在它的子集和它本身之间建立一一映射,例如函数 $ \tan\left(x\right) $ 可以从实轴的开区间 $(-\pi/2, \pi/2)$ 一一映射到整个实轴 $\mathbb R$,又例如我们可以将全体整数 $\mathbb Z$ 乘以二后一一映射到全体偶数 $2\mathbb Z$ 上。这时我们仍然认为这两个集合的元素一样多,虽然直觉上可能不容易接受。

   Cantor-Bernstein 定理显示,如果集合 $A$ 到集合 $B$ 上存在一个单射 $f$ 和一个满射 $g$,那么总可以利用 $f$ 和 $g$ 来构造出一个双射。

2. 多元运算

   有时候我们需要将两个集合 $A, B$ 中任意各取一个元素,然后映射另一个集合 $C$ 中的元素,称为二元运算(binary operation)。我们可以使用笛卡尔积(式 2 )将这个映射表示为

\begin{equation} A \times B \to C~. \end{equation}
一个简单的例子就是两个实数的的加法减法或乘法可以表示为 $\mathbb R \times \mathbb R \to \mathbb R$(或简记为 $\mathbb R^2 \to \mathbb R$),但除法不可以,因为除数的集合不是 $\mathbb R$ 而是 $\mathbb R$ 去掉 $0$。

  

未完成:定义笛卡尔积

   同理,多元运算可以用多个卡氏积(笛卡尔积)表示为

\begin{equation} A_1 \times \dots \times A_N \to C~, \end{equation}
例如含有 $N$ 个自变量的函数就是一个 $N$ 元运算。特殊地,$N$ 个相同集合 $A$ 做卡氏积可以简单表示为 $A^N$,例如 $N$ 个有序复数的集合为 $\mathbb C^N$。

3. 映射间的关系

定义 3 相等

   当映射(算符)$f: A\to B$ 和 $g: A \to B$(定义域和到达域都相同),对任意 $x \in A$ 都有 $f(x) = g(x)$,那么我们就说两个映射(算符)相等,记为 $f = g$,否则它们就不相等

定义 4 限制与拓展

   对于映射 $f: A \to B$,考虑子集 $C \subseteq A$,$D \subseteq B$,满足 $f(C) \subseteq D$,我们可以定义一个新的映射 $g: C \to D$,满足对任意 $x \in C$,$g(x): = f(x)$,$g$ 被称为 $f$ 的限制(restriction),反过来 $f$ 被称为 $g$ 的拓展(extension);当 $B = D$ 时,我们记 $g$ 为 $f|_C$,称为 $f$ 在 $C$ 上的限制。

   若 $A$ 是 $C$ 的子集($A\subseteq C$),我们就说 $g$ 是 $f$ 的,记为 $f \subseteq g$。特殊地,当 $A$ 是 $C$ 的真子集($A\subset C$),就记为 $f \subset g$。

4. 恒等映射

定义 5 恒等映射

   若一个集合到它自身的映射 $f: X\to X$ 把任意 $x\in X$ 映射到 $x$ 本身,我们就叫它恒等映射(identity map)或者单位算符(unit operator),通常用 $I_X$($I$),$E_X$($E$)或者 $\text{id}_X$($\text{id}$)表示。

   注意对不同集合 $X$,它们的单位算符定义域并不相等,所以它们的单位算符也不相等。

5. 复合映射

定义 6 

   给定两个映射 $f: A \to B$ 和 $g: C \to D$,如果 $f$ 的到达域 $B$ 是 $g$ 的定义域 $C$ 的一个子集($B \subseteq C$),则可以定义复合映射(composition of maps) $g\circ f: A\to D$,即先将 $A$ 中的元素通过 $f$ 映射到 $B \subseteq C$,再通过 $g$ 映射到 $D$ 的元素,即对任意的 $x \in A$,$(g \circ f)(x): = g(f(x))$。

   注意 “先 $f$ 后 $g$” 记做 $g \circ f$,顺序与自然语言是相反的。

   在没有歧义的情况下也可以将 “$\circ$” 省略,尤其是将映射称为算符时。

   复合映射常见的例子是复合函数,令 $\mathbb R$ 上的函数 $f(x) = \sin x$,$g(x) = x^2$,则复合函数 $g\circ f: \mathbb R \to [0, 1]$ 为 $(g\circ f)(x) = g(f(x)) = \sin^2 x$。

   根据定义,复合映射满足结合律,令 $f, g, h$ 为映射,则

\begin{equation} h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f~. \end{equation}

6. 映射的乘积

定义 7 

   给定两个映射 $f: A \to B$ 和 $g: C \to D$,则可以定义两个映射的乘积(product)为 $f\times g: A \times C \to B\times D$,其中对于任意 $a\in A, b\in B$ 有 $f\times g(a, b)=(f(a), g(b))$。

   当两个函数的定义域相等时,我们也可以只考虑到达域的乘积,

定义 8 

   给定两个映射 $f: A \to B$ 和 $g: A \to D$,则可以定义另一种乘积(product)为 $(f, g): A \to B\times D$,其中对于任意 $a\in A, b\in B$ 有 $(f, g)(a)=(f(a), g(a))$;实际上考虑 $A$ 的对角线映射 $\Delta: A \to A \times A, a \mapsto (a, a)$,我们有

\begin{equation} (f, g) = (f \times g) \circ \Delta~. \end{equation}

7. 逆映射

   若已知一个映射 $f: A\to B$,如何构造一个逆映射?注意我们要求逆映射必须是一个映射。我们可以先试着把所有定义域和到达域互换,然后把所有 “连线” 的方向逆转。但一般情况下,我们不能保证这样得到的关系符合映射的定义:例如若 $f$ 是多对一映射,那么方向逆转后,就会出现 “一对多” 的情况,而这是不允许的。又例如 $B$ 中有些元素没被 $f$ 射到,那么 $B$ 就不能作为逆映射的定义域,因为定义域要求每个元素都要射出一条线。加上最少的限制以后,可以定义逆映射如下:

定义 9 逆映射

   如果 $f: A\subseteq A' \to B$ 是单射,$A'$ 是 $A$ 的任意父集,令 $R \subseteq B$ 为映射的值域,那么可以把它的逆映射记为 $f^{-1}: R \to A'$,把任意 $y \in R$,映射到 $x \in A$,并满足 $f(x) = y$。

   也就是说,只有单射存在逆映射。对于非单射,我们可以先通过限制它的定义域找到一个单射,再寻找逆映射。

例 2 

   如果取正弦函数 $y = \sin x$ 的值域为 $R = [-1, 1]$ 如果取定义域为 $\mathbb R$, 那么它不是一个单射,因为每一个 $y \in R$ 都对应无穷个 $x$,所以不存在反函数。但如果取定义域为 $[-\pi/2, \pi/2]$,那么它是一个单射,存在反三角函数 $\sin^{-1}: [-1, 1] \to [-\pi/2, \pi/2]$。

   根据以上定义,$\sin^{-1} ( \sin\left(x\right) )$ 是定义在 $[-\pi/2, \pi/2]$ 上的恒等函数,而 $ \sin\left(\sin^{-1}(x)\right) $ 是定义在 $[-1, 1]$ 上的恒等函数,所以有 $\sin \circ \sin^{-1} \subseteq \sin^{-1} \circ \sin$。

推论 1 

   若映射 $f: A \to R \subseteq B$ 存在逆映射 $f^{-1}: R \to A$,那么复合映射 $f^{-1} \circ f: A \to A$ 是恒等映射。

   根据定义可证。

   给定集合 $A, B$,定义 $B^A$ 为 “从 $A$ 到 $B$ 的所有可能的映射所构成的集合”。如果 $B$ 是一个二元集合,即它只有两个元素,不妨记为 $B=\{0,1\}$,那么 $B^A$ 可以用来表示 $A$ 的幂集(定义 1 ),即由 $A$ 的所有子集所构成的集合。这是因为对于任意的 $f\in B^A$,我们可以把这个 $f$ 对应到 $A$ 的子集 $S$,其中 $S$ 的元素全都被 $f$ 映射到 1 上,$A-S$ 的元素全都被 $f$ 映射到 0 上。当然,0 和 1 的地位反过来也可以,$\{0, 1\}$ 也可以被替换成任何一个二元集合。由于这个特点,我们简单地把 $A$ 的幂集记为4 $2^A$.

   利用映射 $f: A \to B$,可以导出一个映射 $f^{-1}:2^B \to 2^A$,称为映射 $f$ 的逆像映射。对于 $B$ 的任意子集 $C$,有

\begin{equation} f^{-1}(C) = \left\{x | x \in A, f(x) \in C \right\} ~. \end{equation}
此时,$f^{-1}(C)$ 称为 $C$ 在 $f$ 下的逆像(inverse image)原像(preimage)

   特别地,和 $f$ 的值域中不相交的 $C$ 被 $f^{-1}$ 映射到空集上,而空集也是 $A$ 的一个子集。如果 $f$ 是一个双射,那么对于任意 $y\in B$,单元素子集 $\{y\}$ 都被 $f^{-1}$ 映射在 $A$ 的某个单元素子集上,那么我们也可以认为此时 $f^{-1}$ 实际上是单个元素映射在单个元素上,也就是从 $B$ 到 $A$ 的映射。

   如果 $f: A \to B$ 是双射,那么 $f^{-1}$ 总是把单点集映射到单点集上,而且 $B$ 任何点都有被映射到,因此这时我们可以定义 $f^{-1}:B \to A$,使得 $\forall x \in A$ 都有 $f^{-1}(f(x)) = x$,$\forall y \in A$,$f(f^{-1}(y)) = y$。特别地,此时我们将 $f^{-1}$ 称为 $f$ 的逆映射(inverse map)5,双射的逆映射是唯一确定的。

未完成:证明逆映射是唯一的

   从另一个方面来说,$f\circ f^{-1}$ 和 $f^{-1}\circ f$ 都是单位算符(恒等映射)。注意两者的定义域分别为 $A$ 和 $B$,当 $A \ne B$ 时不能写成 $f\circ f^{-1} = f^{-1}\circ f$。如果把 $A$,$B$ 到自身的恒等映射分别记为 $I_A$ 和 $I_B$,那么 $f\circ f^{-1}=I_B$,$f^{-1}\circ f=I_A$。

   对于一般的映射,我们不一定能定义逆映射,实际上

定理 1 双射的等价定义

   映射 $f: A \to B$,是一个双射等价于存在逆映射。

  

未完成:证明

   对于单射/满射,虽然不能定义逆映射,但我们可以定义更弱一点的 “逆” 映射。

定义 10 左逆/右逆映射

   映射 $f: A \to B$,另一个映射 $g: B \to A$ 被称为 $f$ 的

  • 左逆映射,如果 $g \circ f = I_A$;
  • 右逆映射,如果 $f \circ g = I_B$;

定理 2 单射/满射的等价定义

   映射 $f: A \to B$,

  • 是一个单射等价于存在左逆映射;
  • 是一个满射等价于存在右逆映射。

  

未完成:证明

   左/右逆映射可以理解成 “相对的”,考虑 $g \circ f = I_A$,我们发现 $g: B \to A$ 是 $f: A \to B$ 的左逆映射,而同时 $f$ 又是 $g$ 的右逆映射,因此我们有推论:

推论 2 

   单射的左逆映射是满射,满射的左逆映射是单射。

例 3 左逆是不唯一的

   考虑单射, $$ \begin{aligned} f: \{0, 1\} &\to \{a, b, c\} , \\ 0 &\mapsto a , \\ 1 &\mapsto b , \end{aligned}~ $$ 我们有 $g_0, g_1: \{a, b, c\} \to \{0, 1\}$,两个左逆映射,它们都把 $a \mapsto 0$,$b \mapsto 1$,但是 $$ \begin{aligned} g_0: c \mapsto 0 , \\ g_1: c \mapsto 1 . \end{aligned}~ $$

未完成:画图


1. ^ 也叫陪域、上域、目标集(target set)
2. ^ 值域在一些文献中指的是到达域。
3. ^ 小时百科中统一使用这种定义。一些其他教材中也把我们的 “单射” 称为 “一一映射”,把 “满射” 称为 “到上”,把 “双射” 称为 “一一到上”,需要特别小心。
4. ^ 当 $A$,$B$ 都是有限集的时候,$|B^A|=|B|^{|A|}$。特别地,$|2^A|=2^{|A|}$。
5. ^ 注意 “逆像映射” 和 “逆映射” 的区别。逆像映射是子集到子集的映射,而逆映射是点到点的映射。任何映射都有逆像映射,但是只有双射才有逆映射


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