映射

贡献者： addis; JierPeter; Giacomo

预备知识　集合

定义 1　映射

　　给定集合 $A$ 和 $B$ ，我们可以假想从 $A$ 中每一个元素上拉一根有方向的线连接到 $B$ 中的一个元素，这些线的连接方式就被称为一个从 $A$ 到 $B$ 的映射（mapping），也叫算符(operator)。将这个映射记为 $f$ ， $A$ 叫做 $f$ 的定义域（domain）， $B$ 叫做到达域（codomain）¹。对于 $A$ 的子集 $C$ ， $B$ 中被线连接到的元素的集合叫做 $C$ （关于 $f$ ）的像（image），记做 $f (C)$ ； $f (A)$ 被称为 $f$ 的值域（range）²（有时也称为 $f$ 的像（image）），记为 $Im (f)$ 。

　　我们一般将 “ $f$ 是从 $A$ 到 $B$ 的映射” 记为

\begin{matrix} (1) & f : A \to B, \end{matrix}

也就是说从

A

的元素上拉线到

B

的元素上。有时候，为了表示映射的定义域

A

或到达域

B

是另一个集合的

S

的子集，我们也会将映射记为

\begin{matrix} (2) & f : A \subseteq S \to B 或 f : A \to B \subseteq S . \end{matrix}

注意映射是有方向区分的，

A

中每个元素都有且只有一根线拉出去，但是

B

中的元素可以同时被一根或多根线连接，也可以没有连接（即不在值域中）。换一种简单的说法，“一对一” 和 “多对一” 连线是允许的，但 “一对多” 是不允许的。

例 1　

　　映射的典型例子是一元实函数 $y = f (x)$ ，其中定义域和值域都是实数集 $R$ 的某个子集。

1. 映射的类型

定义 2　

　　如果映射 $f : A \to B$ 中每个 $B$ 中元素只被 1 根或者 0 根线连接，那么称 $f$ 是一个单射（injection）。如果 $f : A \to B$ 中每个 $B$ 中元素都被至少 1 根线连接，那么称 $f$ 是一个满射（surjection）。如果 $f$ 既是单射又是满射，那么称它为一个双射（bijection），或者叫一一对应（one-to-one correspondence）。

图 1：映射的分类

　　如果 $f : A \to B$ 是一个双射，那么 $A$ 中每一个元素都唯一地连接到 $B$ 中某一个元素，并且 $B$ 中每一个元素也都唯一被 $A$ 中某一个元素所连接，因此很明显可以将这个过程可以反过来，从 $B$ 中向 $A$ 中拉连接线，即我们有逆映射 $f^{- 1} : B \to A$ 。另外，如果 $A$ 和 $B$ 存在双射，意味着 $A$ 和 $B$ 的元素数量应该一致³。

　　实函数是一种常见的映射，例如 $f (x) = 2 x$ 可以看作映射 $f : R \to R$ 。但是映射可以从任意集合到任意集合。例如将整数映射到正多边形，将函数的映射到函数或实数（一般把这种映射称为算符）等。

　　注意当一个集合中有无限个元素时，我们有可能在它的子集和它本身之间建立一一映射，例如函数 $\tan (x)$ 可以从实轴的开区间 $(- π / 2, π / 2)$ 一一映射到整个实轴 $R$ ，又例如我们可以将全体整数 $Z$ 乘以二后一一映射到全体偶数 $2 Z$ 上。这时我们仍然认为这两个集合的元素一样多，虽然直觉上可能不容易接受。

　　 Cantor-Bernstein 定理显示，如果集合 $A$ 到集合 $B$ 上存在一个单射 $f$ 和一个满射 $g$ ，那么总可以利用 $f$ 和 $g$ 来构造出一个双射。

2. 多元运算

　　有时候我们需要将两个集合 $A, B$ 中任意各取一个元素，然后映射另一个集合 $C$ 中的元素，称为二元运算（binary operation）。我们可以使用笛卡尔积（式 2 ）将这个映射表示为

\begin{matrix} (3) & A \times B \to C . \end{matrix}

一个简单的例子就是两个实数的的加法减法或乘法可以表示为

R \times R \to R

（或简记为

R^{2} \to R

），但除法不可以，因为除数的集合不是

R

而是

R

去掉

0

。

未完成：定义笛卡尔积

　　同理，多元运算可以用多个卡氏积（笛卡尔积）表示为

\begin{matrix} (4) & A_{1} \times \dots \times A_{N} \to C, \end{matrix}

例如含有

N

个自变量的函数就是一个

N

元运算。特殊地，

N

个相同集合

A

做卡氏积可以简单表示为

A^{N}

，例如

N

个有序复数的集合为

C^{N}

。

3. 映射间的关系

定义 3　相等

　　当映射（算符） $f : A \to B$ 和 $g : A \to B$ （定义域和到达域都相同），对任意 $x \in A$ 都有 $f (x) = g (x)$ ，那么我们就说两个映射（算符）相等，记为 $f = g$ ，否则它们就不相等。

定义 4　限制与拓展

　　对于映射 $f : A \to B$ ，考虑子集 $C \subseteq A$ ， $D \subseteq B$ ，满足 $f (C) \subseteq D$ ，我们可以定义一个新的映射 $g : C \to D$ ，满足对任意 $x \in C$ ， $g (x) := f (x)$ ， $g$ 被称为 $f$ 的限制（restriction），反过来 $f$ 被称为 $g$ 的拓展（extension）；当 $B = D$ 时，我们记 $g$ 为 $f |_{C}$ ，称为 $f$ 在 $C$ 上的限制。

　　若 $A$ 是 $C$ 的子集（ $A \subseteq C$ ），我们就说 $g$ 是 $f$ 的，记为 $f \subseteq g$ 。特殊地，当 $A$ 是 $C$ 的真子集（ $A \subset C$ ），就记为 $f \subset g$ 。

4. 恒等映射

定义 5　恒等映射

　　若一个集合到它自身的映射 $f : X \to X$ 把任意 $x \in X$ 映射到 $x$ 本身，我们就叫它恒等映射（identity map）或者单位算符（unit operator），通常用 $I_{X}$ （ $I$ ）， $E_{X}$ （ $E$ ）或者 ${id}_{X}$ （ $id$ ）表示。

　　注意对不同集合 $X$ ，它们的单位算符定义域并不相等，所以它们的单位算符也不相等。

5. 复合映射

定义 6　

　　给定两个映射 $f : A \to B$ 和 $g : C \to D$ ，如果 $f$ 的到达域 $B$ 是 $g$ 的定义域 $C$ 的一个子集（ $B \subseteq C$ ），则可以定义复合映射（composition of maps） $g \circ f : A \to D$ ，即先将 $A$ 中的元素通过 $f$ 映射到 $B \subseteq C$ ，再通过 $g$ 映射到 $D$ 的元素，即对任意的 $x \in A$ ， $(g \circ f) (x) := g (f (x))$ 。

　　注意 “先 $f$ 后 $g$ ” 记做 $g \circ f$ ，顺序与自然语言是相反的。

　　在没有歧义的情况下也可以将 “ $\circ$ ” 省略，尤其是将映射称为算符时。

　　复合映射常见的例子是复合函数，令 $R$ 上的函数 $f (x) = \sin x$ ， $g (x) = x^{2}$ ，则复合函数 $g \circ f : R \to [0, 1]$ 为 $(g \circ f) (x) = g (f (x)) = \sin^{2} x$ 。

　　根据定义，复合映射满足结合律，令 $f, g, h$ 为映射，则

\begin{matrix} (5) & h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f . \end{matrix}

6. 映射的乘积

定义 7　

　　给定两个映射 $f : A \to B$ 和 $g : C \to D$ ，则可以定义两个映射的乘积（product）为 $f \times g : A \times C \to B \times D$ ，其中对于任意 $a \in A, b \in B$ 有 $f \times g (a, b) = (f (a), g (b))$ 。

　　当两个函数的定义域相等时，我们也可以只考虑到达域的乘积，

定义 8　

　　给定两个映射 $f : A \to B$ 和 $g : A \to D$ ，则可以定义另一种乘积（product）为 $(f, g) : A \to B \times D$ ，其中对于任意 $a \in A, b \in B$ 有 $(f, g) (a) = (f (a), g (a))$ ；实际上考虑 $A$ 的对角线映射 $Δ : A \to A \times A, a \mapsto (a, a)$ ，我们有

\begin{matrix} (6) & (f, g) = (f \times g) \circ Δ . \end{matrix}

7. 逆映射

　　若已知一个映射 $f : A \to B$ ，如何构造一个逆映射？注意我们要求逆映射必须是一个映射。我们可以先试着把所有定义域和到达域互换，然后把所有 “连线” 的方向逆转。但一般情况下，我们不能保证这样得到的关系符合映射的定义：例如若 $f$ 是多对一映射，那么方向逆转后，就会出现 “一对多” 的情况，而这是不允许的。又例如 $B$ 中有些元素没被 $f$ 射到，那么 $B$ 就不能作为逆映射的定义域，因为定义域要求每个元素都要射出一条线。加上最少的限制以后，可以定义逆映射如下：

定义 9　逆映射

　　如果 $f : A \subseteq A^{'} \to B$ 是单射， $A^{'}$ 是 $A$ 的任意父集，令 $R \subseteq B$ 为映射的值域，那么可以把它的逆映射记为 $f^{- 1} : R \to A^{'}$ ，把任意 $y \in R$ ，映射到 $x \in A$ ，并满足 $f (x) = y$ 。

　　也就是说，只有单射存在逆映射。对于非单射，我们可以先通过限制它的定义域找到一个单射，再寻找逆映射。

例 2　

　　如果取正弦函数 $y = \sin x$ 的值域为 $R = [- 1, 1]$ 如果取定义域为 $R$ ，那么它不是一个单射，因为每一个 $y \in R$ 都对应无穷个 $x$ ，所以不存在反函数。但如果取定义域为 $[- π / 2, π / 2]$ ，那么它是一个单射，存在反三角函数 $\sin^{- 1} : [- 1, 1] \to [- π / 2, π / 2]$ 。

　　根据以上定义， $\sin^{- 1} (\sin (x))$ 是定义在 $[- π / 2, π / 2]$ 上的恒等函数，而 $\sin (\sin^{- 1} (x))$ 是定义在 $[- 1, 1]$ 上的恒等函数，所以有 $\sin \circ \sin^{- 1} \subseteq \sin^{- 1} \circ \sin$ 。

推论 1　

　　若映射 $f : A \to R \subseteq B$ 存在逆映射 $f^{- 1} : R \to A$ ，那么复合映射 $f^{- 1} \circ f : A \to A$ 是恒等映射。

　　根据定义可证。

　　给定集合 $A, B$ ，定义 $B^{A}$ 为 “从 $A$ 到 $B$ 的所有可能的映射所构成的集合”。如果 $B$ 是一个二元集合，即它只有两个元素，不妨记为 $B = {0, 1}$ ，那么 $B^{A}$ 可以用来表示 $A$ 的幂集（定义 1 ），即由 $A$ 的所有子集所构成的集合。这是因为对于任意的 $f \in B^{A}$ ，我们可以把这个 $f$ 对应到 $A$ 的子集 $S$ ，其中 $S$ 的元素全都被 $f$ 映射到 1 上， $A - S$ 的元素全都被 $f$ 映射到 0 上。当然，0 和 1 的地位反过来也可以， ${0, 1}$ 也可以被替换成任何一个二元集合。由于这个特点，我们简单地把 $A$ 的幂集记为⁴ $2^{A}$ .

　　利用映射 $f : A \to B$ ，可以导出一个映射 $f^{- 1} : 2^{B} \to 2^{A}$ ，称为映射 $f$ 的逆像映射。对于 $B$ 的任意子集 $C$ ，有

\begin{matrix} (7) & f^{- 1} (C) = {x | x \in A, f (x) \in C} . \end{matrix}

此时，

f^{- 1} (C)

称为

C

在

f

下的逆像（inverse image）或原像（preimage）。

　　特别地，和 $f$ 的值域中不相交的 $C$ 被 $f^{- 1}$ 映射到空集上，而空集也是 $A$ 的一个子集。如果 $f$ 是一个双射，那么对于任意 $y \in B$ ，单元素子集 ${y}$ 都被 $f^{- 1}$ 映射在 $A$ 的某个单元素子集上，那么我们也可以认为此时 $f^{- 1}$ 实际上是单个元素映射在单个元素上，也就是从 $B$ 到 $A$ 的映射。

　　如果 $f : A \to B$ 是双射，那么 $f^{- 1}$ 总是把单点集映射到单点集上，而且 $B$ 任何点都有被映射到，因此这时我们可以定义 $f^{- 1} : B \to A$ ，使得 $\forall x \in A$ 都有 $f^{- 1} (f (x)) = x$ ， $\forall y \in A$ ， $f (f^{- 1} (y)) = y$ 。特别地，此时我们将 $f^{- 1}$ 称为 $f$ 的逆映射（inverse map）⁵，双射的逆映射是唯一确定的。

未完成：证明逆映射是唯一的

　　从另一个方面来说， $f \circ f^{- 1}$ 和 $f^{- 1} \circ f$ 都是单位算符（恒等映射）。注意两者的定义域分别为 $A$ 和 $B$ ，当 $A \neq B$ 时不能写成 $f \circ f^{- 1} = f^{- 1} \circ f$ 。如果把 $A$ ， $B$ 到自身的恒等映射分别记为 $I_{A}$ 和 $I_{B}$ ，那么 $f \circ f^{- 1} = I_{B}$ ， $f^{- 1} \circ f = I_{A}$ 。

　　对于一般的映射，我们不一定能定义逆映射，实际上

定理 1　双射的等价定义

　　映射 $f : A \to B$ ，是一个双射等价于存在逆映射。

未完成：证明

　　对于单射/满射，虽然不能定义逆映射，但我们可以定义更弱一点的 “逆” 映射。

定义 10　左逆/右逆映射

　　映射 $f : A \to B$ ，另一个映射 $g : B \to A$ 被称为 $f$ 的

左逆映射，如果 $g \circ f = I_{A}$ ;
右逆映射，如果 $f \circ g = I_{B}$ ;

定理 2　单射/满射的等价定义

　　映射 $f : A \to B$ ，

是一个单射等价于存在左逆映射;
是一个满射等价于存在右逆映射。

未完成：证明

　　左/右逆映射可以理解成 “相对的”，考虑 $g \circ f = I_{A}$ ，我们发现 $g : B \to A$ 是 $f : A \to B$ 的左逆映射，而同时 $f$ 又是 $g$ 的右逆映射，因此我们有推论：

推论 2　

　　单射的左逆映射是满射，满射的左逆映射是单射。

例 3　左逆是不唯一的

　　考虑单射, $\begin{aligned} f : {0, 1} & \to {a, b, c}, \\ 0 & \mapsto a, \\ 1 & \mapsto b, \end{aligned}$ 我们有 $g_{0}, g_{1} : {a, b, c} \to {0, 1}$ ，两个左逆映射，它们都把 $a \mapsto 0$ ， $b \mapsto 1$ ，但是 $\begin{array}{r} g_{0} : c \mapsto 0, \\ g_{1} : c \mapsto 1 . \end{array}$

未完成：画图

1. ^ 也叫陪域、上域、目标集（target set）
2. ^ 值域在一些文献中指的是到达域。
3. ^ 小时百科中统一使用这种定义。一些其他教材中也把我们的 “单射” 称为 “一一映射”，把 “满射” 称为 “到上”，把 “双射” 称为 “一一到上”，需要特别小心。
4. ^ 当 $A$ ， $B$ 都是有限集的时候， $| B^{A} | = | B |^{| A |}$ 。特别地， $| 2^{A} | = 2^{| A |}$ 。
5. ^ 注意 “逆像映射” 和 “逆映射” 的区别。逆像映射是子集到子集的映射，而逆映射是点到点的映射。任何映射都有逆像映射，但是只有双射才有逆映射。

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映射

定义 1 映射

例 1

1. 映射的类型

定义 2

2. 多元运算

3. 映射间的关系

定义 3 相等

定义 4 限制与拓展

4. 恒等映射

定义 5 恒等映射

5. 复合映射

定义 6

6. 映射的乘积

定义 7

定义 8

7. 逆映射

定义 9 逆映射

例 2

推论 1

定理 1 双射的等价定义

定义 10 左逆/右逆映射

定理 2 单射/满射的等价定义

推论 2

例 3 左逆是不唯一的

定义 1　映射

例 1　

定义 2　

定义 3　相等

定义 4　限制与拓展

定义 5　恒等映射

定义 6　

定义 7　

定义 8　

定义 9　逆映射

例 2　

推论 1　

定理 1　双射的等价定义

定义 10　左逆/右逆映射

定理 2　单射/满射的等价定义

推论 2　

例 3　左逆是不唯一的