拉普拉斯—龙格—楞次矢量

                     

贡献者: int256; addis

预备知识 1 开普勒问题柱坐标系

   在开普勒问题中,我们定义拉普拉斯—龙格—楞次矢量(Laplace-Runge-Lenz Vector)(缩写为 LRL 矢量)为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} = \boldsymbol{\mathbf{p}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{L}} - mk \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ~. \end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{p}} $ 为质点动量,$ \boldsymbol{\mathbf{L}} $ 为轨道角动量,$ \boldsymbol\times $ 表示矢量叉乘,$k$ 是一个常数(对万有引力 $k = GMm$,对库仑力 $k = -Qq/(4\pi\epsilon_0)$。$ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $ 为质点位矢 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 的单位矢量。在开普勒问题中,可以证明 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 是一个守恒量。

1. 守恒证明

   我们下面证明 $\dot{ \boldsymbol{\mathbf{A}} } = \boldsymbol{\mathbf{0}} $。对式 1 求时间导数,考虑到中心力场中质点角动量 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} $ 守恒,有

\begin{equation} \dot{ \boldsymbol{\mathbf{A}} } = \dot{ \boldsymbol{\mathbf{p}} } \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{L}} - mk\dot{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} }~. \end{equation}
其中由牛顿第二定律和万有引力定律/库仑力,有
\begin{equation} \dot{ \boldsymbol{\mathbf{p}} } = \boldsymbol{\mathbf{F}} = - \frac{k}{r^2} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ~, \end{equation}
又由 “极坐标中单位矢量的偏导” 得
\begin{equation} \dot{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} } = \frac{\partial \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} }{\partial \theta} \frac{\mathrm{d}{\theta}}{\mathrm{d}{t}} = \dot\theta \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} ~. \end{equation}
最后由式 9 ,极坐标系中的角动量等于($ \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $ 是垂直于轨道平面的单位矢量,由右手定则决定,参考柱坐标系
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{L}} = mr^2\dot \theta \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ~. \end{equation}
式 3 式 5 代入式 2
\begin{equation} \dot{ \boldsymbol{\mathbf{A}} } = -\frac{k}{r^2} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} \boldsymbol\times (mr^2\dot\theta \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ) - mk\dot\theta \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} =-mk\dot\theta ( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} + \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} ) = \boldsymbol{\mathbf{0}} ~. \end{equation}
最后一个等号成立是因为 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} = - \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} $,可以类比直角坐标系中的 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} = - \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} $。证毕。

2. 如何发现 LRL 矢量

预备知识 2 运动积分

   根据分析力学的理论,一个有 $s$ 自由度的系统应当有 $2s-1$ 个运动积分,也就是对时间有 $2s-1$ 个守恒量。而开普勒问题本质是在空间内的三维问题(我们可以降维到二维是因为角动量守恒,使得运动轨迹在同一平面内),有 $s=3$ 的自由度,也就应当有 $2s-1=5$ 个运动积分。容易发现系统能量 $E$、角动量在各方向的分量 $L_x, L_y, L_z$ 共 $4$ 个守恒量,仍然差一个,所以需要考虑构造一个守恒量。

猜测

   这个方法有一些很巧妙的成分在内。我们首先通过 “猜测” 考虑 LRL 矢量是由 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{L}} $ 与 $ \boldsymbol{\mathbf{p}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{L}} $ 构成。$ \boldsymbol{\mathbf{L}} $ 守恒,考虑坐标 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 与动量 $ \boldsymbol{\mathbf{p}} =m \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 与其的叉积 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{L}} , \boldsymbol{\mathbf{p}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{L}} $,两者对于时间的全微分 $$ \boldsymbol{\mathbf{P}} = \frac{\mathrm{d}{\left( \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{L}} \right)}}{\mathrm{d}{t}} , \boldsymbol{\mathbf{Q}} = \frac{\mathrm{d}{\left( \boldsymbol{\mathbf{p}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{L}} \right)}}{\mathrm{d}{t}} ~,$$ 可以计算得到 $$\begin{aligned} \boldsymbol{\mathbf{P}} &= \boldsymbol{\mathbf{p}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{L}} /m, \\ \boldsymbol{\mathbf{Q}} &= - \frac{1}{r} \frac{\partial V(r)}{\partial r} \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{L}} ~. \end{aligned}$$ 而对于开普勒问题,$V(r) = -k/r$,这样就不难得到

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{\left( \boldsymbol{\mathbf{p}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{L}} - \frac{m k \boldsymbol{\mathbf{r}} }{r}\right)}}{\mathrm{d}{t}} =0 ~. \end{equation}

3. LRL 矢量的模长与方向

   将 LRL 矢量除以 $mk$ 可以得到一个无量纲矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{e}} $ 与 LRL 矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 同向(下面会看到为什么这个矢量叫 $ \boldsymbol{\mathbf{e}} $) $$ \boldsymbol{\mathbf{e}} = \frac{ \boldsymbol{\mathbf{A}} }{mk} = \frac{m}{k} \left( \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{L}} \right)- \hat{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } ~.$$ 考虑到 $ \boldsymbol{\mathbf{p}} = m \boldsymbol{\mathbf{v}} = m \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }$,将其代入 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的表达式就会有 $$ \boldsymbol{\mathbf{A}} = m^2 (\dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} })^2 \boldsymbol{\mathbf{r}} - m^2(\dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } \cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} )\dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } - km \boldsymbol{\mathbf{r}} /r ~.$$ 所以 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{L}} = 0, \boldsymbol{\mathbf{A}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} = \boldsymbol{\mathbf{L}} ^2 - kmr$。后面一个式子可以化为 $Ar\cos \phi = L^2-kmr$,$\phi$ 是轨道的夹角,于是 $$r(\phi) = L^2/(km + A \cos \phi) ~,$$ 也就是 $r(\phi) = (L^2/km)/(1+ (A/km) \cos \phi)$,发现 $A/km$ 就是离心率。这就是 $ \boldsymbol{\mathbf{e}} $ 得名的原因。

   而另外的,$ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的方向与 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} $ 垂直。将 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 置于椭圆的几何中心可以发现其与椭圆的长轴是同方向的。所以另外有一有趣推论如下:

推论 1 

   LRL 矢量的变化对应轨道方向的变化。对于进动问题来说进动角就是 LRL 矢量变化的角。

   刚才另外提到了,运动积分应当有 $5$ 个,但是 LRL 矢量有三个分量 $A_x, A_y, A_z$,为什么只对应一个呢?我们发现,有两个约束条件:

\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} \boldsymbol{\mathbf{A}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{L}} &= 0 ~, \\ | \boldsymbol{\mathbf{A}} | &= kme = \sqrt{m^2k^2 + 2m E L^2} ~. \end{aligned} \right. \end{equation}
所以实际仅提供了一个运动积分。

4. LRL 矢量对应的系统对称性

预备知识 3 经典场论基础

   定理 1 诺特定理指出,任意一个系统对称性对应一个守恒律,其逆定理一个守恒律也对应一个系统的对称性也总是成立。特别的,LRL 矢量的对称性来源是平方反比力,不同于其他的对称性来源于几何对称性。

   实际上对应的对称性是:

\begin{equation} \begin{pmatrix} -y\dot y-z\dot z+2\dot x y -x \dot y +2\dot x z-x\dot z \\ -x \dot x - z \dot z + 2 \dot y z - y \dot z + 2 \dot y x - y \dot x \\ -x \dot x - y \dot y + 2 \dot z x - z \dot x + 2 \dot z y - z \dot y \end{pmatrix} ~. \end{equation}

   对于开普勒问题的总能量即哈密顿量 $H = p^2/(2m) + \alpha/r$,不难推导得到以下对称性:

  1. $H < 0$,$\{$ 角动量 $,$ LRL 矢量 $\}$ 张成的李群 $\sim SO(4)$;
  2. $H = 0 $,张成的李群 $\sim$ $\mathbb R^3$ 空间中运动群的李代数;
  3. $H > 0$,张成的李群 $\sim SO(1, 3)$。

   下面提供一个思路:

   角动量的运动积分是 $ \boldsymbol{\mathbf{J}} _1 = [ \boldsymbol{\mathbf{r}} , \boldsymbol{\mathbf{p}} ]$,其中 $[ \boldsymbol{\mathbf{a}} , \boldsymbol{\mathbf{b}} ]$ 是相空间的交换子,这对应角动量守恒。 而 LRL 矢量的运动积分是 $ \boldsymbol{\mathbf{B_1}} = [ \boldsymbol{\mathbf{p}} /m, \boldsymbol{\mathbf{J_1}} ] + \alpha \boldsymbol{\mathbf{r}} / r$。考虑物理量间的泊松括号:

\begin{equation} \{p_i, {J_1}_{j}\} = \begin{pmatrix} 0 & p_3 & -p_2 \\ -p_3 & 0 & p_1 \\ p_2 & -p_1 & 0 \end{pmatrix}~. \end{equation}
从而角动量的运动积分与 LRL 矢量的运动积分的泊松括号
\begin{equation} \{{J_1}_i, {B_1}_j\} = \begin{pmatrix} 0 & {B_1}_3 & -{B_1}_2 \\ -{B_1}_3 & 0 & {B_1}_1 \\ {B_1}_2 & -{B_1}_1 & 0 \end{pmatrix} ~. \end{equation}
不妨再考虑 $\{{B_1}_i, {B_1}_j\}$,
\begin{equation} \{{B_1}_i, {B_1}_j\} = \begin{pmatrix} 0 & \lambda {J_1}_3 & -\lambda {J_1}_2 \\ -\lambda {J_1}_3 & 0 & \lambda {J_1}_1 \\ \lambda {J_1}_2 & -\lambda {J_1}_1 & 0 \end{pmatrix}~,\ \lambda = -2H/m ~. \end{equation}
就不难得到结论。


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