中心力场问题

             

预备知识 极坐标系,二体系统,角动量守恒(单个质点),机械能守恒(单个质点)

  1中心力场问题可以表述为:在惯性系中,若一个质点只受来自某固定点的力

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = F(r) \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} \end{equation}
求质点的运动规律.

   首先注意力场 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 是一个保守场(见式 3 ),所以中心力场问题也可以用势能函数 $V(r)$ 来描述(式 7 ),且有

\begin{equation} F(r) = - \frac{\mathrm{d}{V(r)}}{\mathrm{d}{r}} \end{equation}

   我们已知二体系统的运动可以等效为单个质点的中心力场问题,所以在质点的中心力场问题的讨论中,只需把质点质量 $m$ 和位矢 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 分别替换成约化质量 $\mu$ 和相对矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} $ 即可拓展到二体系统.

1. 平面性

   质点的角动量为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{L}} = \boldsymbol{\mathbf{r}} \times m \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } \end{equation}
对角动量 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} $ 关于时间 $t$ 求导
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{L}} }}{\mathrm{d}{t}} =m \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } \times \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } +m \boldsymbol{\mathbf{r}} \times \ddot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }=m \boldsymbol{\mathbf{r}} \times \ddot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } \end{equation}

   由式 1 可得

\begin{equation} \ddot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = \frac{F(r)}{m} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} \end{equation}
于是
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{L}} }}{\mathrm{d}{t}} =m \boldsymbol{\mathbf{r}} \times \ddot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }= r \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} \times F(r) \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} =0 \end{equation}
角动量守恒(角动量的方向和模长均守恒).

   因为角动量垂直于位置矢量和速度矢量所在的平面,故每一时刻位置矢量和速度矢量都在同一平面内,并且加速度矢量也在此平面内.因此,质点在中心力场中的运动是一个平面问题

2. 极坐标中的运动方程

   由于式 1 中的 $F(r)$ 与位置矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 的方向无关,在极坐标系 中处理中心力场问题通常比较简单.极坐标中质点的速度和加速度 分别为

\begin{equation} \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = \dot r \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + r\dot\theta \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} \end{equation}
\begin{equation} \ddot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = \left(\ddot{r} - r \dot\theta^2 \right) \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + \frac 1r \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} (r^2\dot\theta) \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} \end{equation}
式 7 得质点的角动量在极坐标中的表示为
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{L}} = \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times (m \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }) = mr \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} \boldsymbol\times (\dot r \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + r\dot\theta \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} ) = mr^2\dot \theta \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \end{equation}
其中 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $ 是垂直于极坐标平面的单位矢量(这个符号来自柱坐标系).

   另外在 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $ 方向可得

\begin{equation} m(\ddot{r} - r \dot\theta^2) = F(r) \end{equation}
使用式 9 消去式 10 中的 $\dot\theta$,得
\begin{equation} m\ddot r = F(r) + \frac{L^2}{mr^3} \end{equation}
该式被称为中心力场问题的径向方程

3. 一维等效势能与稳定轨道

   由于式 11 中不含 $\theta$,我们可以将其等效为一个一维问题,等号右侧看做等效力 $F'(r)$.求等效力的反原函数可得一维等效势能

\begin{equation} V'(r) = V(r) + \frac{L^2}{2mr^2} \end{equation}
自然地,我们可以利用等效一维问题中的能量守恒列出 $r(t)$ 的一阶微分方程2
\begin{equation} E = \frac 12 m\dot r^2 + V'(r) = \frac 12 m\dot r^2 + \frac{L^2}{2mr^2} + V(r) \end{equation}
\begin{equation} \dot r = \pm\sqrt{\frac 2m [E - V'(r)]} \end{equation}
若我们只考虑 $r$ 从小变大的过程,则取正号(负号同理).这是一个可分离变量的一阶常微分方程,分离变量然后两边积分得
\begin{equation} t = \int_{r_0}^{r} \frac{ \,\mathrm{d}{r} }{\sqrt{\frac 2m [E - V'(r)]}} \end{equation}
积分后即可逆向得到 $r(t)$ 单调递增(递减同理)的部分.

   从一维等效势能还可以判断轨道的稳定性,我们来看一个例子

图
图 1:万有引力的一维等效势能

例 1 万有引力

   对万有引力,$V(r) = -GMm/r$,等效势能的大致图像如图 1 .注意 $V'(r)$ 的形状还取决于常数 $L$,但根据 “用极值点确定函数图像”,曲线总存在一个最小值,且 $\lim\limits_{r\to\infty}V'(r) = 0$,$\lim\limits_{r\to 0} V'(r) = +\infty$.

   若质点具有能量 $E_2 > 0$,由图可得这个质点不可能一直绕力心旋转,而是从无穷远处入射,在距离 $r_0$ 时开始远离力心,最终回到无穷远.若质点具有能量 $E_1 < 0$,由图可知 $r$ 始终在 $[r_1, r_2]$ 区间内往返变动(在 “开普勒问题” 中,我们将会知道 $E_1$ 和 $E_2$ 分别对应椭圆轨道和双曲线轨道).特殊地,当质点能量等于 $V'(r)$ 的最小值时,它与力心的距离将保持不变,即轨道为圆形.若给处于圆形轨道的质点一个扰动,$r$ 将在曲线最低点附近振动,且振动频率由最低点处曲线的二阶导数决定,我们将这种不会因为扰动而彻底改变的轨道叫做稳定轨道.

图
图 2:四次方反比力的一维等效势能

例 2 四次方反比力

   作为一个不稳定轨道的例子,我们来考察 $V(r) = -k/r^3$,其中 $k$ 是一个大于零的常数.等效势能的大致图像如图 2 .若质点的能量大于 $V'(r_0)$,则质点会从无穷远入射,穿过力心然后回到无穷远,若质点的能量小于零,它将被困在 $r < r_1$ 的圆形势阱内并不断穿过力心.若质点的能量恰好为 $V'(r_0)$,那么它将以 $r_0$ 为半径做圆周运动,然而任何微小的扰动都会使其从势能曲线顶端向两侧滑落,从而彻底改变轨道的性质.我们说这样的轨道是不稳定的.


1. ^ 本文参考 [13]
2. ^ 式 13 可以在极坐标系中直接推出,先列出 $E = m \boldsymbol{\mathbf{v}} ^2/2 + V(r)$,再将式 7 代入,并用式 9 消去 $\dot\theta$ 即可.

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