运动积分

             

预备知识 拉格朗日方程,齐次函数的欧拉定理

   我们知道拉格朗日方程是关于广义坐标 $q_i(i=1,2,\cdots,s)$ 的二阶微分方程.在一些情况下,在系统运动过程中,存在 $q_i$ 和 $\dot{q}_i$ 的某些函数,它们不随时间而变,这些函数称为系统的运动积分(integral of motion).运动积分是通常的守恒律,如动量守恒定律、角动量守恒定律、机械能守恒定律的概念的推广.可以看出,运动积分相对于拉格朗日方程而言降了一阶,是一阶的微分方程,所以运动积分有时也称为第一次积分.力学中的对称性是十分重要的,而运动积分的存在与否,与系统的对称性有密切的关系.一个系统如果有尽可能多的运动积分,将对问题的求解带来极大的方便.

1. 可遗坐标与广义动量积分

   若拉格朗日函数 $L$ 不含某个广义坐标 $q_\beta$,即 $\dfrac{\partial L}{\partial q_\beta}=0$,则这种广义坐标叫做可遗坐标(ignorable coordinates),也称为循环坐标(cyclic coordinates).于是,拉格朗日方程写为

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\beta}}\right)=0 \end{equation}
这是说,广义动量 $p_\beta=\dfrac{\partial L} {\partial \dot{q_\beta}}$ 是守恒的,
\begin{equation} p_\beta= \text{常数(如 $L$ 不含有 $q_\beta$)} \end{equation}
这叫做广义动量积分

   我们知道,若循环坐标 $q_\beta$ 是系统的整体平移坐标,即拉格朗日函数 $L $ 对于整体平移是不变的,可知广义动量积分归结为动量守恒定律.若拉格朗日函数不包含整体转动坐标,即拉格朗日函数 $L$ 对于整体转动是不变的(各向同性),则广义动量积分归结为角动量守恒定律.

   在矢量力学中,动量守恒定律和角动量守恒定律是以牛顿第三定律为先决条件,即内力的矢量和为零、内力的力矩和为零,而广义动量积分则并不以牛顿第三定律为先决条件.这点在后续讨论电磁场时十分明显,很难根据电磁场与粒子的相互作用来谈牛顿第三定律.

例 1 两个楔子的加速度

  

未完成:整合到 “滑块和运动斜面问题(blkSlp.tex)” 中
质量为 $M$ 的光滑大楔子置于光滑的水平桌面上,质量为 $m$ 的光滑小楔子沿着大楔子的光滑斜边滑下,如图 1 所示.求这两个楔子的加速度.

图
图 1:两个楔子

   解:大楔子可在水平方向运动,小楔子在大楔子斜边上运动系统有两个自由度.

   取桌面上的固定点 $O$,把大楔子的质心相对于 $O$ 点的水平坐标记作 $X $.把小楔子的质心相对于大楔子斜边底端、沿着斜边计算的坐标记作 $q$(其实取的时候不需要一定是质心,物体上的任一点都可以).这个系统的广义坐标就是 $X $ 和 $q $.

   主动力是两个楔子所受的重力,它们都是势力.大楔子的势能在运动过程中不变,不需要考虑,只需要讨论小楔子的势能.计算动能需注意,小楔子的速度不仅仅是沿斜边的 $\dot q$,而且还有随着大楔子在水平方向运动的速度 $\dot X$.可得:

\begin{equation} \begin{aligned} T &=\frac{1}{2} M \dot{X}^{2}+\frac{1}{2} m\left[v_{\text {水平 }}^{2}+v_{\text {竖直 }}^{2}\right] \\ &=\frac{1}{2} M \dot{X}^{2}+\frac{1}{2} m\left[(\dot{X}+\dot{q} \cos \theta)^{2}+\dot{q}^{2} \sin ^{2} \theta\right] \\ V &=m g q \sin \theta \\ L &=T-V=\frac{1}{2}(M+m) \dot{X}^{2}+\frac{1}{2} m \dot{q}^{2}+m \dot{X} \dot{q} \cos \theta-m g q \sin \theta \end{aligned} \end{equation}

   由拉格朗日方程

\begin{equation} \begin{cases} \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}[M \dot{X}+m(\dot{X}+\dot{q} \cos \theta)]=0 \\ \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}[m(\dot{X} \cos \theta+\dot{q})]+m g \sin \theta=0 \end{cases} \end{equation}

   第一个方程指出,这个系统在水平方向的动量守恒.事实上,$X$ 是可遗坐标,所以相应的广义动量守恒.

   由运动方程解得大楔子的加速度

\begin{equation} \ddot{X}=\frac{m g \sin \theta \cos \theta}{M+m \sin ^{2} \theta} \end{equation}
以及小楔子相对于大楔子的加速度
\begin{equation} \ddot{q}=-\frac{(M+m) g \sin \theta}{M+m \sin ^{2} \theta} \end{equation}

   从此例题可以再次看出用拉格朗日方法解题的优越性.

2. 广义能量积分

   把拉格朗日量 $L(q, \dot{q}, t)$ 对 $t$ 求全导数得

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{L}}{\mathrm{d}{t}} = \sum_{i} \frac{\partial L}{\partial q_i} \dot{q}_i + \sum_{i} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \frac{\mathrm{d}{\dot{q}_i}}{\mathrm{d}{t}} + \frac{\partial L}{\partial t} \end{equation}
对右边第一项的偏微分使用拉格朗日方程(式 1 ),得
\begin{equation} \begin{aligned} \frac{\mathrm{d} L}{\mathrm{d} t} &=\sum_{i} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}\right) \dot{q}_{i}+\sum_{i} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}} \frac{\mathrm{d} \dot{q}_{i}}{\mathrm{d} t} + \frac{\partial L}{\partial t} \\ &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(\sum_{i} \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} \dot{q}_{i}\right) + \frac{\partial L}{\partial t} \end{aligned} \end{equation}
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(\sum_{i} \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} \dot{q}_{i}-L\right) = -\frac{\partial L}{\partial t} \end{equation}
当拉格朗日量不显含时间时,即 $ \partial L/\partial t = 0$,我们发现括号中的量是一个守恒量,叫做能量函数(energy function)1
\begin{equation} h = \sum_{i} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}} \dot{q}_{i}-L \end{equation}
该过程也叫做雅可比积分(Jacobian integral).在一定条件下这个量是系统的总能量,详见 “哈密顿正则方程”.

  

未完成:下面的部分需要整(删)合(掉)

   我们需要清楚广义能量函数的意义.首先,势能 $V$ 是与广义速度无关的,因此 $H$ 的定义式 10 中的 $\dfrac{\partial L}{\partial \dot q_i}$.可代之以 $\dfrac{\partial T}{\partial \dot q_i}$.

   设变换式 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _{i}= \boldsymbol{\mathbf{r}} _{i}(q)$ 不显含时间,即 $\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} _{i} / \partial t=0$,则

\begin{equation} \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_{i}=\sum_{i=1}^{s} \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} _{i}}{\partial q_{i}} \dot{q}_{i} \end{equation}
于是
\begin{equation} \begin{aligned} T &=\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2} m_{i} \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_{i} \cdot \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_{i}=\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2} m_{i} \sum_{i=1}^{s} \dot{q}_{i} \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} _{i}}{\partial q_{i}} \cdot \sum_{\beta=1}^{s} \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} _{i}}{\partial q_{\beta}} \dot{q}_{\beta} \\ &=\sum_{i=1}^{n} \sum_{i=1}^{s} \sum_{\beta=1}^{s} \frac{1}{2} m_{i} \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} _{i}}{\partial q_{i}} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} _{i}}{\partial q_{\beta}} \dot{q}_{i} \dot{q}_{\beta} \end{aligned} \end{equation}
这是广义速度的二次齐次多项式.根据齐次函数的欧拉定理,有
\begin{equation} \sum_{i=1}^{s} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{i}} \dot{q}_{i}=2 T \end{equation}
其实这也可以直接验证:
\begin{equation} \begin{aligned} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{\gamma}} &=\sum_{i=1}^{n} \sum_{i=1}^{s} \frac{1}{2} m_{i} \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} _{i}}{\partial q_{i}} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} _{i}}{\partial q_{\gamma}} \dot{q}_{i}+\sum_{i=1}^{n} \sum_{\beta=1}^{s} \frac{1}{2} m_{i} \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} _{i}}{\partial q_{\gamma}} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} _{i}}{\partial q_{\beta}} \dot{q}_{\beta} \\ &=\sum_{i=1}^{n} \sum_{i=1}^{s} m_{i} \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} _{i}}{\partial q_{i}} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} _{i}}{\partial q_{\gamma}} \dot{q}_{i} \end{aligned} \end{equation}
于是
\begin{equation} \sum_{\gamma=1}^{s} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{\gamma}} \dot{q}_{\gamma}=\sum_{i=1}^{n} \sum_{i=1}^{s} \sum_{\gamma=1}^{s} m_{i} \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} _{i}}{\partial q_{i}} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} _{i}}{\partial q_{\gamma}} \dot{q}_{i} \dot{q}_{\gamma}=2 T \end{equation}

   由此,广义能量函数

\begin{equation} H=\sum_{i=1}^{s} p_{i} \dot{q}_{i}-L=2 T-(T-V)=T+V \end{equation}
这样,在变换式 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _{i}= \boldsymbol{\mathbf{r}} _{i}(q)$ 不显含时间的条件下,动能是广义速度的二次齐次式,广义能量函数 $H $ 就是机械能.如果约束是非定常的,则变换式 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _{i}= \boldsymbol{\mathbf{r}} _{i}(q, t)$ 难免显含时间.即使约束是稳定的,也可能由于选择了某些广义坐标(例如平移坐标系),变换式 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _{i}= \boldsymbol{\mathbf{r}} _{i}(q, t)$ 显含时间 $t $.在变换式显含时间的情况下,
\begin{equation} \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_{i}=\frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} _{i}}{\partial t}+\sum_{i=1}^{s} \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} _{i}}{\partial q_{i}} \dot{q}_{i} \end{equation}
于是
\begin{equation} \begin{aligned} T=& \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2} m_{i}\left(\frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} _{i}}{\partial t}+\sum_{i=1}^{s} \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} _{i}}{\partial q_{i}} \dot{q}_{i}\right) \cdot\left(\frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} _{i}}{\partial t}+\sum_{\beta=1}^{s} \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} _{i}}{\partial q_{\beta}} \dot{q}_{\beta}\right) \\=& \sum_{i=1}^{n}\left\{\frac{1}{2} m_{i}\left(\frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} _{i}}{\partial t}\right)^{2}+\sum_{i=1}^{s} m_{i} \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} _{i}}{\partial t} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} _{i}}{\partial q_{i}} \dot{q}_{i}\right.\\ &\left.+\sum_{i=1}^{s} \sum_{\beta=1}^{s} \frac{1}{2} m_{i} \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} _{i}}{\partial q_{i}} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} _{i}}{\partial q_{\beta}} \dot{q}_{i} \dot{q}_{\beta}\right\} \end{aligned} \end{equation}
这包含三个部分,它们分别是广义速度的零次、一次、二次的齐次多项式,分别记作 $T_0,T_1,T_2$,即 $T=T_0+T_1+T_2$.根据齐次函数的欧拉定理,
\begin{equation} \sum_{i=1}^{s} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{i}} \dot{q}_{i}=0 T_{0}+1 T_{1}+2 T_{2}=T_{1}+2 T_{2} \end{equation}
由此,广义能量函数
\begin{equation} H=\sum_{i=1}^{s} p_{i} \dot{q}_{i}-L=\left(T_{1}+2 T_{2}\right)-\left(T_{0}+T_{1}+T_{2}-V\right)=T_{2}-T_{0}+V \end{equation}

   这样,在变换式显含时间的条件下,广义能量函数 $H $ 并非机械能,但是具有机械能的量纲,故名之为广义能量

例 2 直线运动汽车里的谐振子

   在匀速直线运动的汽车中,有一谐振子在光滑水平槽中往返振动.取沿振动方向的坐标为 $q$,原点在谐振子的平衡点.选汽车为参考系,于是它是惯性系.谐振子的拉格朗日函数 $L=T-V=m \dot{q}^{2} / 2-k q^{2} / 2$.易见 $\partial L / \partial t=0$,所以 $H $ 守恒.另一方面,由于动能 $T=m \dot{q}^{2} / 2$ 是广义速度 $\dot q $ 的二次单项式,所以 $H $ 就是机械能.诚然,$ H=p\dot q-L=(\partial L / \partial \dot{q}) \dot{q}-L=m \dot{q}^{2} / 2+k q^{2} / 2=T+V$.

   改取地面为参考系,这也可认为是惯性系.如果谐振子的振动方向平行于汽车运动方向,则谐振子的 $L=T-V=m\left(\dot{q}+v_{0}\right)^{2} / 2-k q^{2} / 2=m \dot{q}^{2} / 2+m v_{0} \dot{q}+m v_{0}^{2} / 2-k q^{2} / 2$,其中 $v_0$ 是汽车的速度.因 $\partial L / \partial t=0$,所以 $H $ 守恒.但动能 $T$ 不是 $\dot q $ 的二次齐次式,所以 $H $ 并非机械能.实际上我们可以通过写出 $H$ 的表达式来说明这一点:$H=p \dot{q}-L=m\left(\dot{q}+v_{0}\right) \dot{q}-L=m \dot{q}^{2} / 2-m v_{0}^{2} / 2+k q^{2} / 2 \neq T+V$.

   如果汽车并非匀速,我们考察它的匀加速运动,即速度为 $at $.仍以地面为参考系,则谐振子的 $m(\dot{q}+a t)^{2} / 2-k q^{2} / 2$,这时 $\partial L / \partial t \neq 0$, 所以 $H $ 不守恒.另一方面,$T$ 不是 $\dot q $ 的二次齐次式,所以 $H$ 也不是机械能.实际上,$H=m \dot{q}^{2} / 2-m a^{2} t^{2} / 2+k q^{2} / 2 \neq T+V$.


1. ^ $h$ 在数值上和以后要学的哈密顿量相等,但哈密顿量看作是 $q$、广义动量 $p$ 和 $t$ 的函数,而能量函数看作是 $q, \dot q, t$ 的函数.

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