经典场论基础

贡献者： zhousiyi; addis

预备知识　经典场论

1. 拉格朗日场论

　　这一节里面，我们复习一下经典场的知识，为后面的量子场论做铺垫。首先要复习的一个重要的量就是拉式量了，定义如下

\begin{matrix} (1) & S = \int L d t = \int L (ϕ, \partial_{μ} ϕ) d^{4} x, \end{matrix}

经典场论的重要原理是变分原理

δ S = 0

。

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} 0 & = δ S \\ = \int d^{4} x {\frac{\partial L}{\partial ϕ} δ ϕ + \frac{\partial L}{\partial (\partial_{μ} ϕ)} δ (\partial_{μ} ϕ)} \\ = \int d^{4} x {\frac{\partial L}{\partial ϕ} δ ϕ - \partial_{μ} (\frac{\partial L}{\partial (\partial_{μ} ϕ)}) δ ϕ + \partial_{μ} (\frac{\partial L}{\partial (\partial_{μ} ϕ)} δ ϕ)} . \end{aligned} \end{matrix}

最后一项是一个表面项，这里我们考虑边界条件是

δ ϕ

为零的构型，这一项就可以忽略。现在我们看前两项。因为对于任意的

δ ϕ

这个式子都为零，所以我们必须让

δ ϕ

前面的系数为零，这样，我们就推出了著名的欧拉-拉格朗日方程

\begin{matrix} (3) & \partial_{μ} (\frac{\partial L}{\partial (\partial_{μ} ϕ)}) - \frac{\partial L}{\partial ϕ} = 0 . \end{matrix}

2. 哈密顿场论

　　拉式量的方法的优点是所有的量都是明显洛仑兹不变的。哈密顿场论的优点是更容易过度到量子力学。

　　对于一个分立系统，我们可以定义共轭动量

定义 1　共轭动量

　　对于每个动力学变量 $q$ ，我们可以定义它的相应的共轭动量

\begin{matrix} (4) & p \equiv \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} . \end{matrix}

　　那么哈密顿量的定义如下

定义 2　哈密顿量

\begin{matrix} (5) & H \equiv \sum p \dot{q} - L . \end{matrix}

　　上面的定义也可以推广到连续系统。只要假设空间坐标 $x$ 是分立的就可以了，这样对于连续系统，我们可以定义如下的共轭动量

定义 3　连续系统的共轭动量

\begin{matrix} (6) & \begin{aligned} p (x) & \equiv \frac{\partial L}{\partial \dot{ϕ} (x)} = \frac{\partial}{\partial \dot{ϕ} (x)} \int L (ϕ (y), \dot{ϕ} (y)) d^{3} y \\ \sim \frac{\partial}{\partial \dot{ϕ} (x)} \sum_{y} L (ϕ (y, \dot{ϕ} (y))) d^{3} y = π (x) d^{3} x . \end{aligned} \end{matrix}

其中

\begin{matrix} (7) & π (x) \equiv \frac{\partial L}{\partial \dot{ϕ} (x)} \end{matrix}

是与

ϕ (x)

共轭的哈密顿量密度。

　　因此哈密顿量为

\begin{matrix} (8) & H = \int d^{3} x p (x) \dot{ϕ} (x) - L, \end{matrix}

现在我们来看一个简单的例子。

\begin{aligned} L & = \frac{1}{2} {\dot{ϕ}}^{2} - \frac{1}{2} (\nabla ϕ)^{2} - \frac{1}{2} m^{2} ϕ^{2} \\ (9) & = \frac{1}{2} (\partial_{μ} ϕ)^{2} - \frac{1}{2} m^{2} ϕ^{2} . \end{aligned}

根据这个拉式量可以写出运动方程

\begin{matrix} (10) & (\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} - \nabla^{2} + m^{2}) ϕ = 0, (\partial^{μ} \partial_{μ} + m^{2}) ϕ = 0 . \end{matrix}

这就是克莱因戈登方程。这个标量场对应的哈密顿量为

\begin{matrix} (11) & H = \int d^{3} x H = \int d^{3} x [\frac{1}{2} π^{2} + \frac{1}{2} (\nabla ϕ)^{2} + \frac{1}{2} m^{2} ϕ^{2}] . \end{matrix}

3. 诺特定理

定理 1　诺特定理

　　每个连续对称性都有着相应的守恒定律。

物理系统的空间平移不变性（物理定律不随着空间中的位置而变化）给出了动量守恒律；
转动不变性给出了角动量守恒律；
时间平移不变性给出了能量守恒定律。

　　现在考虑标量场 $ϕ$ 的无穷小变换

\begin{matrix} (12) & ϕ (x) \to ϕ^{'} (x) = ϕ (x) + α Δ ϕ (x) . \end{matrix}

这里

α

是一个无穷小参数，

Δ ϕ

是场的变化。如果这个变换令 $ϕ$ 场的运动方程保持不变的话，我们就把这个变换称为一个对称性。因为拉式量的不变性总是跟运动方程的不变性相联系的，所以我们也可以说，如果这个变换令拉式量保持不变的话，我们就说这个变换是一个对称性。

　　要注意的点是如果一个变换令作用量的改变是一个全导数，我们也可以称这个变换是一个对称性。因为一个作用量的改变是一个全导数的时候，对应的运动方程仍然是不变的。具体来说就是，如果一个变换令运动方程的改变为如下形式的时候

\begin{matrix} (13) & L (x) \to L (x) + α \partial_{μ} J^{μ} (x), \end{matrix}

我们就可以说这个变换是一个对称。

　　我们可以对拉式量 $L$ 进行变分。

\begin{aligned} α Δ L & = \frac{\partial L}{\partial ϕ} (α Δ ϕ) + (\frac{\partial L}{\partial (\partial_{μ} ϕ)} \partial_{μ} (α Δ ϕ)) \\ (14) & = α \partial_{μ} (\frac{\partial L}{\partial (\partial_{μ} ϕ)} Δ ϕ) + α [\frac{\partial L}{\partial ϕ} - \partial_{μ} (\frac{\partial L}{\partial (\partial_{μ} ϕ)})] . \end{aligned}

由欧拉-拉格朗日方程可知，第二项为零。剩余的第一项我们记作

α \partial_{μ} J

,于是我们有

\begin{matrix} (15) & \partial_{μ} j^{μ} (x) = 0, f o r j^{μ} (x) = \frac{\partial L}{\partial (\partial_{μ} ϕ)} Δ ϕ - J^{μ}, \end{matrix}

这里

j^{μ} (x)

是守恒流。对于

L

的连续对称性来说，我们得到了这样一个守恒律。

　　守恒律的另一种表述是：电荷

\begin{matrix} (16) & Q \equiv \int_{a l l s p a c e} j^{0} d^{3} x, \end{matrix}

是一个不随时间变化而变化的常数。

例子 1：只有动能项的实标量场

　　现在我们来举个最简单的例子，考虑只有动能项的标量场，其拉式量为

\begin{matrix} (17) & L = \frac{1}{2} (\partial_{μ} ϕ)^{2}, \end{matrix}

我们来考虑这样一个变换

ϕ \to ϕ + α

,在这个变换下拉式量不变。那么对应的流

\begin{matrix} (18) & j^{μ} = \partial^{μ} ϕ \end{matrix}

就是守恒流。

例子 2：有质量的复标量场

　　现在我们来考虑一个更复杂一些的例子，也就是有质量的标量场。拉式量如下

\begin{matrix} (19) & L = | \partial_{μ} ϕ |^{2} - m^{2} | ϕ |^{2}, \end{matrix}

这里

ϕ

是一个复标量场。这个拉式量在

ϕ \to e^{i α} ϕ

变换下保持不变。对于无穷小变换

\begin{matrix} (20) & α Δ ϕ = i α ϕ, α Δ ϕ^{*} = - i α ϕ^{*} . \end{matrix}

来说，我们可以推出对应的诺特流

\begin{matrix} (21) & j^{μ} = i [(\partial^{μ} ϕ^{*}) ϕ - ϕ^{*} (\partial^{μ} ϕ)] \end{matrix}

是守恒的。这个

j^{μ}

就是场带的电磁场的流密度。而

j^{0}

就是对应的电荷。

习题 1　证明上面的 $j^{μ}$ 是复标量场的诺特流

　　从式 22 的变换规则可知，

\begin{aligned} α Δ L & = \frac{\partial L}{\partial ϕ} (α Δ ϕ) + (\frac{\partial L}{\partial (\partial_{μ} ϕ)}) \partial_{μ} (α Δ ϕ) \\ + \frac{\partial L}{\partial ϕ^{*}} (α Δ ϕ^{*}) + (\frac{\partial L}{\partial (\partial_{μ} ϕ^{*})}) \partial_{μ} (α Δ ϕ^{*}) \\ = \frac{\partial L}{\partial ϕ} (i α ϕ) + (\frac{\partial L}{\partial (\partial_{μ} ϕ)}) \partial_{μ} (i α ϕ) \\ + \frac{\partial L}{\partial ϕ^{*}} (i α ϕ^{*}) + (\frac{\partial L}{\partial (\partial_{μ} ϕ^{*})}) \partial_{μ} (i α ϕ^{*}) \\ = \frac{\partial L}{\partial ϕ} (i α ϕ) + \partial_{μ} ((\frac{\partial L}{\partial (\partial_{μ} ϕ)}) (i α ϕ)) - \partial_{μ} (\frac{\partial L}{\partial (\partial_{μ} ϕ)}) (i α ϕ) \\ + \frac{\partial L}{\partial ϕ^{*}} (- i α ϕ^{*}) + \partial_{μ} ((\frac{\partial L}{\partial (\partial_{μ} ϕ^{*})}) (- i α ϕ^{*})) - \partial_{μ} (\frac{\partial L}{\partial (\partial_{μ} ϕ^{*})}) (- i α ϕ^{*}) \\ = (i α ϕ) [\frac{\partial L}{\partial ϕ} - \partial_{μ} (\frac{\partial L}{\partial (\partial_{μ} ϕ)})] + \partial_{μ} (\frac{\partial L}{\partial (\partial_{μ} ϕ)} (i α ϕ)) \\ + (- i α ϕ^{*}) [\frac{\partial L}{\partial ϕ^{*}} - \partial_{μ} (\frac{\partial L}{\partial (\partial_{μ} ϕ^{*})})] - \partial_{μ} (\frac{\partial L}{\partial (\partial_{μ} ϕ^{*})} (i α ϕ^{*})) \\ (22) & = i α \partial_{μ} ((\partial^{μ} ϕ^{*}) ϕ - (\partial^{μ} ϕ) ϕ^{*}) = i α \partial_{μ} j^{μ} . \end{aligned}

在上述推导中，我们使用了

\begin{matrix} (23) & \frac{\partial L}{\partial (\partial_{μ} ϕ)} = (\partial^{μ} ϕ^{*}), \frac{\partial L}{\partial (\partial_{μ} ϕ^{*})} = (\partial^{μ} ϕ) . \end{matrix}

　　诺特定理也可以用到时空的变换中。比如说时空的平移和旋转。比如我们考虑这样的时空平移

\begin{matrix} (24) & x^{μ} \to x^{μ} - a^{μ}, \end{matrix}

场的变换是

\begin{matrix} (25) & ϕ (x) \to ϕ (x + a) = ϕ (x) + a^{μ} \partial_{μ} ϕ (x), \end{matrix}

因为拉式量也是一个标量，它的变换是

\begin{matrix} (26) & L \to L + a^{μ} \partial_{μ} L = L + a^{ν} \partial_{μ} (δ_{ν}^{μ} L), \end{matrix}

那么现在我们得到了四个守恒流

\begin{matrix} (27) & T^{μ}_{ν} \equiv \frac{\partial L}{\partial (\partial_{μ} ϕ)} \partial_{ν} ϕ - L δ^{μ}_{ν}, \end{matrix}

这个就是能量动量张量。那时间平移不变对应的守恒量就是哈密顿量

\begin{matrix} (28) & H = \int T^{00} d^{3} x = \int H d^{3} x, \end{matrix}

空间平移不变对应的守恒量就是

\begin{matrix} (29) & P^{i} = \int T^{0 i} d^{3} x = - \int π \partial_{i} ϕ d^{3} x . \end{matrix}

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经典场论基础

1. 拉格朗日场论

2. 哈密顿场论

定义 1 共轭动量

定义 2 哈密顿量

定义 3 连续系统的共轭动量