经典场论基础

             

1. 拉格朗日场论

   这一节里面,我们复习一下经典场的知识,为后面的量子场论做铺垫.首先要复习的一个重要的量就是拉式量了,定义如下

\begin{equation} S = \int L dt = \int \mathcal L(\phi,\partial_\mu \phi)d^4 x \end{equation}
经典场论的重要原理是变分原理 $\delta S = 0$.
\begin{equation} \begin{aligned} 0 &=\delta S \\ &=\int d^{4} x\left\{\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} \delta \phi+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\left(\partial_{\mu} \phi\right)} \delta\left(\partial_{\mu} \phi\right)\right\} \\ &=\int d^{4} x\left\{\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} \delta \phi-\partial_{\mu}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\left(\partial_{\mu} \phi\right)}\right) \delta \phi+\partial_{\mu}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\left(\partial_{\mu} \phi\right)} \delta \phi\right)\right\} \end{aligned} \end{equation}
最后一项是一个表面项,这里我们考虑边界条件是 $\delta \phi$ 为零的构型,这一项就可以忽略.现在我们看前两项.因为对于任意的 $\delta \phi$ 这个式子都为零,所以我们必须让 $\delta \phi$ 前面的系数为零,这样,我们就推出了著名的欧拉-拉格朗日方程
\begin{equation} \partial_\mu \bigg( \frac{\partial \mathcal L}{\partial(\partial_\mu\phi)} \bigg) - \frac{\partial \mathcal L}{\partial \phi} = 0 \end{equation}

2. 哈密顿场论

   拉式量的方法的优点是所有的量都是明显洛仑兹不变的.哈密顿场论的优点是更容易过度到量子力学.

   对于一个分立系统,我们可以定义共轭动量

定义 1 共轭动量

   对于每个动力学变量 $q$,我们可以定义它的相应的共轭动量

\begin{equation} p \equiv \frac{\partial L}{\partial \dot q} \end{equation}

   那么哈密顿量的定义如下

定义 2 哈密顿量

\begin{equation} H \equiv \sum p \dot q - L \end{equation}

   上面的定义也可以推广到连续系统.只要假设空间坐标 $\mathbf x$ 是分立的就可以了,这样对于连续系统,我们可以定义如下的共轭动量

定义 3 连续系统的共轭动量

\begin{equation} \begin{aligned} p(\mathbf x) & \equiv \frac{\partial L}{\partial \dot \phi(\mathbf x)} = \frac{\partial}{\partial \dot \phi(\mathbf x)} \int \mathcal L(\phi(\mathbf y),\dot \phi(\mathbf y)) d^3 y \\ & \sim \frac{\partial}{\partial \dot \phi(\mathbf x)} \sum_{\mathbf y} \mathcal L(\phi(\mathbf y,\dot \phi(\mathbf y))) d^3 y=\pi(\mathbf x) d^3 x \end{aligned} \end{equation}
其中
\begin{equation} \pi(\mathbf x) \equiv \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot \phi(\mathbf x)} \end{equation}
是与 $\phi(\mathbf x)$ 共轭的哈密顿量密度.

   因此哈密顿量为

\begin{equation} H = \int d^3 x\,\, p(\mathbf x) \dot \phi(\mathbf x) - L \end{equation}
现在我们来看一个简单的例子.
\begin{align}\nonumber \mathcal L & = \frac{1}{2} \dot \phi^2 - \frac{1}{2} (\nabla \phi)^2 - \frac{1}{2} m^2 \phi^2 \\ & = \frac{1}{2} (\partial_\mu\phi)^2 - \frac{1}{2} m^2 \phi^2 \end{align}
根据这个拉式量可以写出运动方程
\begin{equation} \bigg( \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2 +m^2 \bigg)\phi = 0~,\quad (\partial^\mu\partial_\mu+m^2)\phi = 0 \end{equation}
这就是克莱因戈登方程.这个标量场对应的哈密顿量为
\begin{equation} H = \int d^3x \mathcal H = \int d^3 x \bigg[ \frac{1}{2} \pi^2 + \frac{1}{2} (\nabla \phi)^2 + \frac{1}{2} m^2 \phi^2 \bigg] \end{equation}

3. 诺特定理

定理 1 诺特定理

   每个连续对称性都有着相应的守恒定律

  • 物理系统的空间平移不变性(物理定律不随着空间中的位置而变化)给出了动量守恒律;
  • 转动不变性给出了角动量守恒律;
  • 时间平移不变性给出了能量守恒定律.

   现在考虑标量场 $\phi$ 的无穷小变换

\begin{equation} \phi(x) \rightarrow \phi'(x) = \phi(x) +\alpha \Delta \phi (x) \end{equation}
这里 $\alpha$ 是一个无穷小参数,$\Delta \phi$ 是场的变化.如果这个变换令 $\phi$ 场的运动方程保持不变的话,我们就把这个变换称为一个对称性.因为拉式量的不变性总是跟运动方程的不变性相联系的,所以我们也可以说,如果这个变换令拉式量保持不变的话,我们就说这个变换是一个对称性.

   要注意的点是如果一个变换令作用量的改变是一个全导数,我们也可以称这个变换是一个对称性.因为一个作用量的改变是一个全导数的时候,对应的运动方程仍然是不变的.具体来说就是,如果一个变换令运动方程的改变为如下形式的时候

\begin{equation} \mathcal L(x) \rightarrow \mathcal L (x) +\alpha \partial_\mu \mathcal J^\mu (x) \end{equation}
我们就可以说这个变换是一个对称.

   我们可以对拉式量 $\mathcal L$ 进行变分.

\begin{align}\nonumber \alpha \Delta \mathcal L & = \frac{\partial \mathcal L}{\partial \phi} (\alpha \Delta \phi) + \bigg( \frac{\partial \mathcal L}{\partial(\partial_\mu \phi)} \partial_\mu(\alpha \Delta \phi)\bigg) \\ & = \alpha \partial_\mu \bigg( \frac{\partial \mathcal L}{\partial (\partial_\mu\phi)} \Delta \phi \bigg) + \alpha \bigg[ \frac{\partial \mathcal L}{\partial \phi} - \partial_\mu \bigg( \frac{\partial \mathcal L}{\partial(\partial_\mu \phi)} \bigg) \bigg] \end{align}
由欧拉-拉格朗日方程可知,第二项为零.剩余的第一项我们记作 $\alpha \partial_\mu \mathcal J$,于是我们有
\begin{equation} \partial_\mu j^\mu(x) = 0~, \quad {\rm for}\quad j^\mu(x) = \frac{\partial \mathcal L}{\partial(\partial_\mu \phi)} \Delta \phi - \mathcal J^\mu \end{equation}
这里 $j^\mu(x)$ 是守恒流.对于 $\mathcal L$ 的连续对称性来说,我们得到了这样一个守恒律.

   守恒律的另一种表述是:电荷

\begin{equation} Q \equiv \int_{\rm all\,\, space} j^0 d^3 x \end{equation}
是一个不随时间变化而变化的常数.

例子 1:只有动能项的实标量场

   现在我们来举个最简单的例子,考虑只有动能项的标量场,其拉式量为

\begin{equation} \mathcal L = \frac{1}{2} (\partial_\mu \phi)^2 \end{equation}
我们来考虑这样一个变换 $\phi \rightarrow \phi + \alpha $,在这个变换下拉式量不变.那么对应的流
\begin{equation} j^\mu = \partial^\mu \phi \end{equation}
就是守恒流.

例子 2:有质量的复标量场

   现在我们来考虑一个更复杂一些的例子,也就是有质量的标量场.拉式量如下

\begin{equation} \mathcal L = |\partial_\mu\phi|^2 - m^2 |\phi|^2 \end{equation}
这里 $\phi$ 是一个复标量场.这个拉式量在 $\phi\rightarrow e^{i\alpha}\phi$ 变换下保持不变.对于无穷小变换
\begin{equation} \alpha \Delta \phi = i \alpha \phi~,\quad \alpha \Delta \phi^* = -i\alpha \phi^* \end{equation}
来说,我们可以推出对应的诺特流
\begin{equation} j^\mu = i[(\partial^\mu \phi^*)\phi-\phi^*(\partial^\mu \phi)] \end{equation}
是守恒的.这个 $j^\mu$ 就是场带的电磁场的流密度.而 $j^0$ 就是对应的电荷.

   诺特定理也可以用到时空的变换中.比如说时空的平移和旋转.比如我们考虑这样的时空平移

\begin{equation} x^\mu \rightarrow x^\mu - a^\mu \end{equation}
场的变换是
\begin{equation} \phi(x) \rightarrow \phi (x+a) = \phi (x) + a^\mu \partial_\mu \phi(x) \end{equation}
因为拉式量也是一个标量,它的变换是
\begin{equation} \mathcal L \rightarrow \mathcal L + a^\mu \partial_\mu \mathcal L = \mathcal L + a^\nu \partial_\mu (\delta^\mu_\nu \mathcal L) \end{equation}
那么现在我们得到了四个守恒流
\begin{equation} T^\mu{}_\nu \equiv \frac{\partial \mathcal L}{\partial (\partial_\mu \phi)} \partial_\nu \phi - \mathcal L \delta^\mu{}_\nu \end{equation}
这个就是能量动量张量.那时间平移不变对应的守恒量就是哈密顿量
\begin{equation} H = \int T^{00} d^3 x = \int \mathcal H d^3 x \end{equation}
空间平移不变对应的守恒量就是
\begin{equation} P^i = \int T^{0i} d^3x = - \int \pi \partial_i \phi d^3 x \end{equation}

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