柱坐标系

贡献者： addis

预备知识　极坐标系

　　若在原有的直角坐标系上定义柱坐标系（图 1 ），可用三个变量 $(r, θ, z)$ 描述三维空间中任意一点。其中 $r$ 代表该点到 $z$ 轴的距离（ $r ⩾ 0$ ）， $θ$ 代表与 $x$ 轴的夹角， $z$ 与直角坐标系相同。柱坐标系相当于在极坐标系的基础上增加了一个垂直轴。

图 1：定义柱坐标系

　　柱坐标系中的单位矢量如图 1 中的 $\hat{r}, \hat{θ}, \hat{z}$ 所示。其中 $\hat{r}, \hat{θ}$ 与极坐标系中的定义相同， $\hat{z}$ 是直角坐标系 $z$ 轴的单位矢量，注意三个单位矢量两两垂直，构成一组单位正交基底，任何矢量可以在这组基底上展开。再次强调，与直角坐标系不同的是， $\hat{r}, \hat{θ}$ 并不是常矢量，而是坐标 $θ$ 的函数。

　　柱坐标与直角坐标间的转换类比式 2 和式 3 即可

\begin{matrix} (1) & {\begin{cases} x = r \cos θ \\ y = r \sin θ \\ z = z \end{cases}, {\begin{cases} r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} \\ θ = Arctan (y, x) \\ z = z \end{cases} . \end{matrix}

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