柱坐标系

             

预备知识 极坐标系

   若在原有的直角坐标系上定义柱坐标系(图 1 ),可用三个变量 $(r, \theta, z)$ 描述三维空间中任意一点.其中 $r$ 代表该点到 $z$ 轴的距离($r \geqslant 0$),$\theta$ 代表与 $x$ 轴的夹角,$z$ 与直角坐标系相同.柱坐标系相当于在极坐标系的基础上增加了一个垂直轴.

图
图 1:定义柱坐标系

   柱坐标系中的单位矢量如图 1 中的 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $ 所示.其中 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} $ 与极坐标系中的定义相同,$ \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $ 是直角坐标系 $z$ 轴的单位矢量,注意三个单位矢量两两垂直,构成一组单位正交基底,任何矢量可以在这组基底上展开.再次强调,与直角坐标系不同的是,$ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} $ 并不是常矢量,而是坐标 $\theta$ 的函数.

   柱坐标与直角坐标间的转换类比式 2 式 3 即可

\begin{equation} \begin{cases} x = r\cos \theta \\ y = r\sin \theta \\ z = z \end{cases} \qquad \begin{cases} r = \sqrt {x^2 + y^2} \\ \theta = \operatorname{Arctan} (y, x)\\ z = z \end{cases} \end{equation}

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