开普勒问题的运动方程

             

预备知识 开普勒问题,中心力场问题

   若已知轨道形状,我们来计算质点在轨道上的位置如何关于时间变化.由式 15

\begin{equation} t = \sqrt{\frac{m}{2}} \int_{r_0}^r \frac{ \,\mathrm{d}{r'} }{\sqrt{E - k/r' - L^2/(2mr'^2)}} \end{equation}
该式对任何圆锥曲线轨道都适用,其中 $r_0$ 是轨道离中心最近的一点,令质点经过该点时 $t= 0$.把这个积分的结果 $t(r)$ 取反函数,就可以得到 $r(t)$.同理,有
\begin{equation} \,\mathrm{d}{t} = \frac{mr^2}{L} \,\mathrm{d}{\theta} \end{equation}
式 1 代入,积分得
\begin{equation} t = \frac{L^3}{mk^2} \int_{\theta_0}^\theta \frac{ \,\mathrm{d}{\theta'} }{(1 - e\cos \theta')^2 } \end{equation}

   对抛物线($e = 1$),有

\begin{equation} t = \frac{L^3}{2mk^2} \left(\tan\frac{\theta}{2} + \frac{1}{3}\tan^3 \frac{\theta}{2} \right) \end{equation}

   对于椭圆($e < 1$),可以用一个参数偏近点角(eccentric anomaly) $\psi$ 来代替 $\theta$ 会更方便.$\psi$ 的定义为

\begin{equation} r = a(1-e\cos\psi) \end{equation}
其中 $a$ 是半长轴.当 $\theta$ 从 $0$ 变化到 $2\pi$ 时,$\psi$ 也从 $0$ 变化到 $2\pi$,只是速度不一样.

\begin{equation} t = \sqrt{\frac{ma^3}{-k}} (\psi - e \sin\psi) \end{equation}
该式被称为开普勒方程(Kepler's equation),开普勒第二定律也可以由该式验证.

   对于双曲线($k < 0$),偏近点角使用式 7 定义,可取任意实数,使得

\begin{equation} r = a(e\cosh\xi - 1) \end{equation}
\begin{equation} t = \sqrt{\frac{ma^3}{-k}} (e\sinh\xi - \xi) \end{equation}

  

未完成:双曲线 $k > 0$ 情况是否也相同?

1. 推导

  

未完成:……

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