矢量叉乘

             

预备知识 三阶行列式

   矢量叉乘在物理定律中十分常见,例如在讨论力学中的力矩,角动量,以及电磁学中的洛伦兹力,安培力时都会使用.以下我们讨论的矢量都是三维空间中的几何矢量,在讨论它们的坐标时,我们默认取正交归一基底.

1. 叉乘的几何定义

   两个几何矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $, $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 的叉乘(cross product) 也叫叉积(cross product)向量积(vector product)矢量积.叉乘的结果是一个矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{C}} $. 叉乘用 “ $ \boldsymbol\times $” 表示,且不可省略,即 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} = \boldsymbol{\mathbf{C}} $

定义 1 矢量叉乘

   要确定一个几何矢量,只需分别确定模长和方向:

  1. $ \boldsymbol{\mathbf{C}} $ 的模长等于 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} , \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 的模长之积与夹角 $\theta$($0 \leqslant \theta \leqslant \pi$)的正弦值相乘.
    \begin{equation} \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{C}} \right\rvert = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} \right\rvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{B}} \right\rvert \sin\theta \end{equation}
  2. $ \boldsymbol{\mathbf{C}} $ 的方向垂直于 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} , \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 所在的平面,且由右手定则决定.

   与内积和数乘不同,叉乘不满足交换律.根据几何定义,$ \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 与 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 模长相同,方向却相反.表示某个矢量的反方向,就是在前面加负号,所以有

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{A}} = - \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} \end{equation}
式 1 可知,对于两个模场相同的矢量,当它们平行时,叉乘为零矢量;当它们垂直,叉乘的模长等于两模长直接相乘.

2. 等效的叉乘

图
图 1:$ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 与 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} _i$ 相乘结果相同

   根据定义 1 ,当两矢量叉乘时,若把一个矢量延着与另一个矢量垂直的方向投影,叉乘结果不变.例如在图 1 中有

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} _1 = \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} _3 = \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} _2 \end{equation}
这是因为 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{B}} _i \right\rvert \sin\theta_i$ 就是投影后的 $ \boldsymbol{\mathbf{ \boldsymbol{\mathbf{B}} _2}} $ 的模长.另一种证明方法:所有指向虚线的 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} _i$ 都可以表示为 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} _2 + \lambda \boldsymbol{\mathbf{A}} $($\lambda$ 为任意实数).根据分配律(见下文)有
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\mathbf{B}} _2 + \lambda \boldsymbol{\mathbf{A}} ) = \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} _2 + \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times (\lambda \boldsymbol{\mathbf{A}} ) = \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} _2 \end{equation}

3. 叉乘与数乘的分配律

   在 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} = \boldsymbol{\mathbf{C}} $ 中,$ \boldsymbol{\mathbf{C}} $ 的方向仅由 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 的方向决定.当 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 的方向不变时,$ \boldsymbol{\mathbf{C}} $ 的模长正比于 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 的模长之积.假设 $\lambda $ 为常数(标量),显然有

\begin{equation} (\lambda \boldsymbol{\mathbf{A}} ) \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} = \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times (\lambda \boldsymbol{\mathbf{B}} ) = \lambda ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} ) \end{equation}
即标量的位置可以任意变换,但矢量与乘号的位置关系始终要保持不变.

4. 叉乘的分配律

   叉乘一个最重要的特性,就是它满足分配律.

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\mathbf{B}} + \boldsymbol{\mathbf{C}} ) = \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} + \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{C}} \end{equation}
式 2 及上式可以推出
\begin{equation} ( \boldsymbol{\mathbf{A}} + \boldsymbol{\mathbf{B}} ) \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{C}} = - \boldsymbol{\mathbf{C}} \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\mathbf{A}} + \boldsymbol{\mathbf{B}} ) = - \boldsymbol{\mathbf{C}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{A}} - \boldsymbol{\mathbf{C}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} = \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{C}} + \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{C}} \end{equation}

   从几何的角度理解,这个结论并不显然(见矢量叉乘分配律的几何证明).

5. 叉乘的坐标运算

   按照上面的定义,在右手系中,三个坐标轴的单位矢量 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $ 满足

\begin{equation} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} = \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \qquad \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} = \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \qquad \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} = \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \end{equation}
式 2 可得
\begin{equation} \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} = - \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \qquad \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} = - \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \qquad \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} = - \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \end{equation}
根据定义,一个矢量叉乘自身,模长为 $0$.所以叉乘结果是零矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{0}} $.于是又有
\begin{equation} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} \qquad \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} \qquad \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} \end{equation}
式 8 式 9 式 10 中共 9 条等式描述了 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $ 中任意两个叉乘的结果.

   把矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 分别在直角坐标系的三个单位矢量展开,得到

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} = a_x\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + a_y\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + a_z\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \qquad \boldsymbol{\mathbf{B}} = b_x\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + b_y\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + b_z\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \end{equation}
$(a_x,a_y,a_z)$ 和 $(b_x,b_y,b_z)$ 分别是 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 的坐标.根据叉乘的分配律(式 6 式 7 ),可得到如下 9 项
\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} ={} &(a_x\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + a_y\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + a_z\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ) \boldsymbol\times (b_x\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + b_y\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + b_z\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} )\\ ={} &+ a_x b_x( \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} ) + a_x b_y( \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} ) + a_x b_z( \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} )\\ &+ a_y b_x( \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} ) + a_y b_y( \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} ) + a_y b_z( \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} )\\ &+ a_z b_x( \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} ) + a_z b_y( \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} ) + a_z b_z( \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ) \end{aligned} \end{equation}
注意每一项中的运算在式 8 式 10 中都能找到答案,于是上式化为
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} = (a_y b_z - a_z b_y)\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + (a_z b_x - a_x b_z)\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + (a_x b_y - a_y b_x)\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \end{equation}
令 $ \boldsymbol{\mathbf{C}} = \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} $,则 $ \boldsymbol{\mathbf{C}} $ 的分量表达式为
\begin{equation} \begin{cases} c_x = a_y b_z - a_z b_y\\ c_y = a_z b_x - a_x b_z\\ c_z = a_x b_y - a_y b_x \end{cases} \end{equation}
式 13 可以用三阶行列式表示为
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} = \begin{vmatrix} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} & \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} & \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \\ a_x & a_y & a_z\\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix} \end{equation}
与普通行列式不同的是,这个行列式中第一行的元素是矢量,所以得出的结果也是矢量.

   叉乘在物理中的应用如:圆周运动的线速度(式 5 ),洛伦兹力(式 1 ),安培力(式 1 ).

例 1 求三角形面积与法向量

   空间直角坐标系中三角形的三点分别为 $O(0,0,0)$, $A(1,1,0)$, $B(-1,1,1)$.求三角形的面积和一个单位法向量.

   令 $O$ 到 $A$ 的矢量和 $O$ 到 $B$ 的矢量分别为

\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\mathbf{a}} &= (1,1,0) - (0,0,0) = (1,1,0)\\ \boldsymbol{\mathbf{b}} &= (-1,1,1) - (0,0,0) = (-1,1,1) \end{aligned} \end{equation}
三角形的面积为
\begin{equation} S = \frac12 ab \sin \theta \end{equation}
其中 $\theta $ 是 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} $ 与 $ \boldsymbol{\mathbf{b}} $ 的夹角.根据式 1 ,有1
\begin{equation} S = \frac12 ab \sin \theta = \frac12 \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{a}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{b}} \right\rvert \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} = \boldsymbol{\mathbf{a}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{b}} = \begin{vmatrix} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} & \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} & \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \\ 1&1&0\\-1&1&1 \end{vmatrix} = \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} - \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + 2\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \end{equation}
坐标为 $(1,-1,2)$,模长为 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{v}} \right\rvert = \sqrt{1 + 1 + 2^2} = \sqrt 6$,所以面积为 $S = \sqrt 6 /2$.

   根据叉乘的几何定义,$ \boldsymbol{\mathbf{v}} = (1,-1,2)$ 就是三角形的法向量,进行归一化2 得单位法向量为

\begin{equation} \hat{\boldsymbol{\mathbf{v}}} = \frac{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{v}} \right\rvert } = \frac{(1,-1,2)}{\sqrt 6} = \left(\frac{\sqrt 6 }{6}, - \frac{\sqrt 6 }{6}, \frac{\sqrt 6 }{3} \right) \end{equation}


1. ^ 可见 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{a}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{b}} \right\rvert $ 是以 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{b}} $ 为边的平行四边形的面积.
2. ^ 把矢量长度变为 1,方向不变

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