几何向量的叉乘

贡献者： addis; ACertainUser; Giacomo

预备知识　几何向量

　　向量叉乘在物理定律中十分常见，例如在讨论力学中的力矩，角动量，以及电磁学中的洛伦兹力，安培力时都会使用。以下我们讨论的向量都是三维中的空间向量；在讨论它们的坐标时，我们默认取正交归一基底。

1. 叉乘的几何定义

图 1：叉乘的示意图

　　两个几何向量 $A$ ， $B$ 的叉乘（cross product） 也叫叉积，向量积（vector product）或向量积。叉乘的结果是一个向量。叉乘用 $A \times B$ 表示，且 “ $\times$ ” 不可省略。

定义 1　向量叉乘

　　要确定一个几何向量，只需分别确定模长和方向：

$C$ 的模长等于 $A, B$ 的模长之积与夹角 $θ$ （ $0 ⩽ θ ⩽ π$ ）的正弦值相乘。
$\begin{matrix} (1) & | C | = | A | | B | \sin θ . \end{matrix}$
$C$ 的方向垂直于 $A, B$ 所在的平面，且由右手定则决定。

　　结合图 1 与式 1 ，可看出 $C$ 的大小就是 $A, B$ 所围成的平行四边形的面积，亦即用平行四边形法则计算 $A + B$ 时的平行四边形。

2. 叉乘运算律

一个结论

　　特别地，由式 1 可知，当两向量平行时，叉乘为零向量；当它们垂直，叉乘的模长等于两模长直接相乘。

叉乘的 “交换律”

　　与内积和数乘不同，叉乘不满足一般意义上的交换律。根据几何定义， $B \times A$ 与 $A \times B$ 模长相同，方向却相反。表示某个向量的反方向，就是在前面加负号，所以有

\begin{matrix} (2) & B \times A = - A \times B . \end{matrix}

叉乘与数乘的结合律

　　在 $A \times B = C$ 中， $C$ 的方向仅由 $A$ 和 $B$ 的方向决定。当 $A$ 和 $B$ 的方向不变时， $C$ 的模长正比于 $A$ 和 $B$ 的模长之积。假设 $λ$ 为常数（标量），显然有

\begin{matrix} (3) & (λ A) \times B = A \times (λ B) = λ (A \times B) . \end{matrix}

即标量的位置可以任意变换，但向量与乘号的位置关系始终要保持不变。

叉乘的分配律

　　叉乘一个最重要的特性，就是它满足分配律。

\begin{matrix} (4) & A \times (B + C) = A \times B + A \times C, \end{matrix}

由式 2 及上式可以推出

\begin{matrix} (5) & (A + B) \times C = - C \times (A + B) = - C \times A - C \times B = A \times C + B \times C . \end{matrix}

　　从几何的角度理解，这个结论并不显然（见向量叉乘分配律的几何证明）。

3. 叉乘的坐标运算

坐标轴向量的叉乘

图 2：坐标轴

　　按照上面的定义，在右手系中，三个坐标轴的单位向量 $\hat{x}, \hat{y}, \hat{z}$ 满足

\begin{matrix} (6) & \hat{x} \times \hat{y} = \hat{z} \hat{y} \times \hat{z} = \hat{x} \hat{z} \times \hat{x} = \hat{y} \end{matrix}

由式 2 可得

\begin{matrix} (7) & \hat{y} \times \hat{x} = - \hat{z} \hat{z} \times \hat{y} = - \hat{x} \hat{x} \times \hat{z} = - \hat{y} \end{matrix}

根据定义，一个向量叉乘自身，模长为

0

。所以叉乘结果是零向量

0

。于是又有

\begin{matrix} (8) & \hat{x} \times \hat{x} = 0 \hat{y} \times \hat{y} = 0 \hat{z} \times \hat{z} = 0 \end{matrix}

式 6 ，式 7 和式 8 中共 9 条等式描述了

\hat{x}, \hat{y}, \hat{z}

中任意两个叉乘的结果。

任意向量的叉乘

　　把向量 $A$ 和 $B$ 分别在直角坐标系的三个单位向量展开，得到

\begin{matrix} (9) & A = a_{x} \hat{x} + a_{y} \hat{y} + a_{z} \hat{z} B = b_{x} \hat{x} + b_{y} \hat{y} + b_{z} \hat{z} \end{matrix}

(a_{x}, a_{y}, a_{z})

和

(b_{x}, b_{y}, b_{z})

分别是

A

和

B

的坐标。根据叉乘的分配律（式 4 式 5 ），可得到如下 9 项

\begin{matrix} (10) & \begin{aligned} A \times B = & (a_{x} \hat{x} + a_{y} \hat{y} + a_{z} \hat{z}) \times (b_{x} \hat{x} + b_{y} \hat{y} + b_{z} \hat{z}) \\ = & + a_{x} b_{x} (\hat{x} \times \hat{x}) + a_{x} b_{y} (\hat{x} \times \hat{y}) + a_{x} b_{z} (\hat{x} \times \hat{z}) \\ + a_{y} b_{x} (\hat{y} \times \hat{x}) + a_{y} b_{y} (\hat{y} \times \hat{y}) + a_{y} b_{z} (\hat{y} \times \hat{z}) \\ + a_{z} b_{x} (\hat{z} \times \hat{x}) + a_{z} b_{y} (\hat{z} \times \hat{y}) + a_{z} b_{z} (\hat{z} \times \hat{z}) . \end{aligned} \end{matrix}

注意每一项中的运算在式 6 到式 8 中都能找到答案，于是上式化为

\begin{matrix} (11) & A \times B = (a_{y} b_{z} - a_{z} b_{y}) \hat{x} + (a_{z} b_{x} - a_{x} b_{z}) \hat{y} + (a_{x} b_{y} - a_{y} b_{x}) \hat{z} . \end{matrix}

令

C = A \times B

，则

C

的分量表达式为

\begin{matrix} (12) & {\begin{cases} c_{x} = a_{y} b_{z} - a_{z} b_{y} \\ c_{y} = a_{z} b_{x} - a_{x} b_{z} \\ c_{z} = a_{x} b_{y} - a_{y} b_{x} \end{cases} \end{matrix}

式 11 可以用三阶行列式表示为

\begin{matrix} (13) & A \times B = | \begin{matrix} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \end{matrix} | \end{matrix}

与普通行列式不同的是，这个行列式中第一行的元素是向量，所以得出的结果也是向量。

4. 等效的叉乘

图 3：

A

与

B_{i}

相乘结果相同

　　根据定义 1 ，当两向量叉乘时，若把一个向量延着与另一个向量垂直的方向投影，叉乘结果不变。例如在图 3 中有

\begin{matrix} (14) & A \times B_{1} = A \times B_{3} = A \times B_{2} . \end{matrix}

这是因为

| B_{i} | \sin θ_{i}

就是投影后的

B_{2}

的模长。另一种证明方法：所有指向虚线的

B_{i}

都可以表示为

B_{2} + λ A

（

λ

为任意实数）。根据分配律，有

\begin{matrix} (15) & A \times (B_{2} + λ A) = A \times B_{2} + A \times (λ A) = A \times B_{2} . \end{matrix}

5. 面积向量

　　在高中阶段面积只是一个标量概念，但在微积分和大学物理中，我们也可以把它拓展为向量。定义面积向量的模长是一个平面几何图形的面积，方向是其所在平面的两个法向量之一。具体到这里讨论的平行四边形，我们可以根据叉乘结果来明确定义平行四边形的面积向量。

例 1　求三角形或平行四边形的面积与法向量

　　空间直角坐标系中三角形的三点分别为 $O (0, 0, 0)$ ， $A (1, 1, 0)$ ， $B (- 1, 1, 1)$ 。求三角形的面积和一个单位法向量。以这三点为顶点的平行四边形的面积显然是该三角形的两倍，所以下面只讨论三角形。

　　令 $O$ 到 $A$ 的向量和 $O$ 到 $B$ 的向量分别为

\begin{matrix} (16) & \begin{aligned} a & = (1, 1, 0) - (0, 0, 0) = (1, 1, 0) \\ b & = (- 1, 1, 1) - (0, 0, 0) = (- 1, 1, 1) \end{aligned} \end{matrix}

三角形的面积为

\begin{matrix} (17) & S = \frac{1}{2} a b \sin θ . \end{matrix}

其中

θ

是

a

与

b

的夹角。根据式 1 ，有¹

\begin{matrix} (18) & S = \frac{1}{2} a b \sin θ = \frac{1}{2} | a \times b | . \end{matrix}

令

\begin{matrix} (19) & v = a \times b = | \begin{matrix} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ 1 & 1 & 0 \\ - 1 & 1 & 1 \end{matrix} | = \hat{x} - \hat{y} + 2 \hat{z} . \end{matrix}

坐标为

(1, - 1, 2)

，模长为

| v | = \sqrt{1 + 1 + 2^{2}} = \sqrt{6}

，所以面积为

S = \sqrt{6} / 2

。

　　根据叉乘的几何定义， $v = (1, - 1, 2)$ 就是三角形的法向量，进行归一化得单位法向量为

\begin{matrix} (20) & \hat{v} = \frac{v}{| v |} = \frac{(1, - 1, 2)}{\sqrt{6}} = (\frac{\sqrt{6}}{6}, - \frac{\sqrt{6}}{6}, \frac{\sqrt{6}}{3}) . \end{matrix}

1. ^ 可见 $| a \times b |$ 是以 $a$ 和 $b$ 为边的平行四边形的面积。

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