开普勒问题

             

预备知识 万有引力,椭圆的三种定义,双曲线的三种定义,抛物线的三种定义

   在中心力场问题 中,若 $F(r)$ 是平方反比的力(斥力为正引力为负),即

\begin{equation} F(r) = \frac{k}{r^2} \qquad V(r) = \frac{k}{r} \end{equation}
则该问题被称为开普勒问题.其中 $k$ 为非零实数.例如对于万有引力 $k = -GMm$,对于异种电荷间的库仑力,有1 $k = Qq/(4\pi\epsilon_0)$.

   在开普勒问题中,可以证明质点的运动轨道是圆锥曲线的一种,力心处于焦点.质点的机械能(动能加势能)$E$ 和角动量 $L$ 可以唯一地确定轨道的形状和大小.轨道的形状一般由离心率 $e$ 描述,大小由半通径 $p$ 描述(式 1 ).$E < 0$ 对应椭圆轨道,$E = 0$ 对应抛物线轨道2,$E > 0$ 对应双曲线轨道.注意双曲线轨道有两支,当 $k < 0$(引力)时取离中心天体较近的一支,$k > 0$(斥力)时取较远的一支.

\begin{equation} e = \sqrt{1 + \frac{2EL^2}{mk^2}} \end{equation}
\begin{equation} p = \frac{L^2}{m \left\lvert k \right\rvert } \end{equation}
椭圆或双曲线的大小和形状也可以由参数 $a,b$ 描述.$a,b$ 与 $e,p$ 的对应关系见 “椭圆的三种定义” 和 “双曲线的三种定义”.
\begin{equation} a = \frac{ \left\lvert k \right\rvert }{2 \left\lvert E \right\rvert } \end{equation}
\begin{equation} b = \frac{L}{\sqrt{2m \left\lvert E \right\rvert }} \end{equation}
要求位置和时间的关系,见 “开普勒问题的运动方程”.

1. 证明

   如果我们已知质点轨道为圆锥曲线,只需要简单的代数方法就可以得到上述关系.而证明轨道是圆锥曲线则要复杂得多,见 “普勒第一定律的证明”.

椭圆轨道

   令椭圆轨道($k < 0$)距离焦点的最近和最远距离分别为 $r_1$ 和 $r_2$,列出总能量(动能加势能)守恒

\begin{equation} \frac12 m v_1^2 + \frac{k}{r_1} = \frac12 mv_2^2 + \frac{k}{r_2} \end{equation}
以及角动量守恒
\begin{equation} mv_1 r_1 = mv_2 r_2 \end{equation}
式 7 中的 $v_2$ 代入式 6 ,可得
\begin{equation} v_1^2 = \frac{-2k/m}{r_1 + r_2} \frac{r_2}{r_1} \end{equation}
代入式 6 的左边,并使用 $r_1+r_2=2a$(式 11 )得到总能量
\begin{equation} E = \frac{k}{2a} \end{equation}
式 8 代入式 7 的左边,并使用 $r_1 r_2 = (a+c)(a-c) =b^2$ 得角动量
\begin{equation} L = b\sqrt{\frac{-mk}{a}} \end{equation}
式 9 式 10 逆转即可得到式 4 式 5 .要得到式 2 式 3 ,只需使用式 8 式 9 即可.

抛物线轨道

   已知抛物线轨道($k < 0$)的总能量为零,抛物线轨道离焦点的最近距离为焦距 $p/2$,该点处,动量和能量为

\begin{equation} L = mv_0 \frac p2 \end{equation}
\begin{equation} 0 = E = \frac 12 mv_0^2 + \frac{k}{p/2} \end{equation}
两式消去 $v_0$ 得角动量为 $L = \sqrt{mkp}$.证毕.

双曲线轨道

   无论 $k$ 的正负如何,令双曲线轨道离焦点最近的距离为 $r_1$,可列出总能量守恒

\begin{equation} \frac12 mv_0^2 = \frac12 mv_1^2 + \frac{k}{r_1} \end{equation}
该式左边表示质点在无穷远处的总能量,此时势能为 $0$,总能量等于动能.再来看角动量守恒
\begin{equation} m v_0 b = m v_1 r_1 \end{equation}
该式左边为无穷远处的角动量.由式 11 可知,在无穷远处,双曲线的渐近线与焦点的距离为 $b$.

   用以上两式消去 $v_1$,再利用 $r_1 = a - c$,得

\begin{equation} E = \frac 12 m v_0^2 = \frac{ \left\lvert k \right\rvert }{2a} \end{equation}
再将该式的 $v_0$ 代入式 14 左边得
\begin{equation} L = b\sqrt{\frac{m \left\lvert k \right\rvert }{a}} \end{equation}


1. ^ 高中所学的库仑定律的系数 $k$ 在大学物理中通常记为 $1/(4\pi\epsilon_0)$,其中 $\epsilon_0$ 为真空中的电介质常数.
2. ^ 显然只有引力($k < 0$)可以产生非正机械能,即椭圆轨或抛物线轨道.

致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择会员制,大量广告,内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元,我们一个星期内就能脱离亏损, 并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

广告位

投放详情

         

© 小时科技 保留一切权利