贡献者： addis
在中心力场问题 中，若 $F(r)$ 是平方反比的力（斥力为正引力为负），即
\begin{equation}
F(r) = \frac{k}{r^2} \qquad V(r) = \frac{k}{r}~,
\end{equation}
则该问题被称为
开普勒问题。其中 $k$ 为非零实数。例如对于万有引力 $k = -GMm$，对于异种电荷间的
库仑力，有
1 $k = Qq/(4\pi\epsilon_0)$。
在开普勒问题中，可以证明质点的运动轨道是圆锥曲线的一种，力心处于焦点。质点的机械能（动能加势能）$E$ 和角动量 $L$ 可以唯一地确定轨道的形状和大小。轨道的形状一般由离心率 $e$ 描述，大小由半通径 $p$ 描述（式 1 ）。$E < 0$ 对应椭圆轨道，$E = 0$ 对应抛物线轨道2，$E > 0$ 对应双曲线轨道。注意双曲线轨道有两支，当 $k < 0$（引力）时取离中心天体较近的一支，$k > 0$（斥力）时取较远的一支。
\begin{equation}
e = \sqrt{1 + \frac{2EL^2}{mk^2}}~,
\end{equation}
\begin{equation}
p = \frac{L^2}{m \left\lvert k \right\rvert }~,
\end{equation}
椭圆或双曲线的大小和形状也可以由参数 $a,b$ 描述。$a,b$ 与 $e,p$ 的对应关系见 “
椭圆” 和 “
双曲线”。
\begin{equation}
a = \frac{ \left\lvert k \right\rvert }{2 \left\lvert E \right\rvert }~,
\end{equation}
\begin{equation}
b = \frac{L}{\sqrt{2m \left\lvert E \right\rvert }}~,
\end{equation}
证明见下文。若要求位置和时间的关系，见 “
开普勒问题的运动方程”。
例 1
由式 4 可见对同一个中心天体，半长轴 $a$ 仅和物体的机械能 $E$ 有关。例如在地球表面同一位置，以同一初速度向不同角度发射弹道导弹，它的半长轴 $a$ 将始终相同但离心率 $e$ 或半短轴 $b$ 将不同。
另外注意除了水平发射，其他任何角度以小于第二宇宙速度发射都会重新撞向地面。我们在 “开普勒问题的数值计算（Matlab）” 中给出了一个数值计算和画图程序。
1. 证明
如果我们已知质点轨道为圆锥曲线，只需要简单的代数方法就可以得到上述关系。而证明轨道是圆锥曲线则要复杂得多，见 “开普勒第一定律的证明”。
椭圆轨道
令椭圆轨道（$k<0$）距离焦点的最近和最远距离分别为 $r_1$ 和 $r_2$，列出总能量（动能加势能）守恒
\begin{equation}
\frac12 m v_1^2 + \frac{k}{r_1} = \frac12 mv_2^2 + \frac{k}{r_2}~,
\end{equation}
以及角动量守恒
\begin{equation}
mv_1 r_1 = mv_2 r_2~.
\end{equation}
把
式 7 中的 $v_2$ 代入
式 6 ，可得
\begin{equation}
v_1^2 = \frac{-2k/m}{r_1 + r_2} \frac{r_2}{r_1}~.
\end{equation}
代入
式 6 的左边，并使用 $r_1+r_2=2a$（
式 11 ）得到总能量
\begin{equation}
E = \frac{k}{2a}~.
\end{equation}
把
式 8 代入
式 7 的左边，并使用 $r_1 r_2 = (a+c)(a-c) =b^2$ 得角动量
\begin{equation}
L = b\sqrt{\frac{-mk}{a}}~,
\end{equation}
将
式 9 和
式 10 逆转即可得到
式 4 和
式 5 。要得到
式 2 式 3 ，只需使用
式 8 和
式 9 即可。
抛物线轨道
已知抛物线轨道（$k<0$）的总能量为零，抛物线轨道离焦点的最近距离为焦距 $p/2$，该点处，角动量和能量为
\begin{equation}
L = mv_0 \frac p2~,
\end{equation}
\begin{equation}
0 = E = \frac 12 mv_0^2 + \frac{k}{p/2}~,
\end{equation}
两式消去 $v_0$ 得角动量为 $L = \sqrt{mkp}$。证毕。
双曲线轨道
无论 $k$ 的正负如何，令双曲线轨道离焦点最近的距离为 $r_1$，可列出总能量守恒
\begin{equation}
\frac12 mv_0^2 = \frac12 mv_1^2 + \frac{k}{r_1}~.
\end{equation}
该式左边表示质点在无穷远处的总能量，此时势能为 $0$，总能量等于动能。再来看角动量守恒
\begin{equation}
m v_0 b = m v_1 r_1~,
\end{equation}
该式左边为无穷远处的角动量。由
式 12 可知，在无穷远处，双曲线的渐近线（无论哪一支）与焦点的距离为 $b$。
用以上两式消去 $v_1$，再利用 $r_1 = a - c$，得
\begin{equation}
E = \frac 12 m v_0^2 = \frac{ \left\lvert k \right\rvert }{2a}~,
\end{equation}
再将该式的 $v_0$ 代入
式 14 左边得
\begin{equation}
L = b\sqrt{\frac{m \left\lvert k \right\rvert }{a}}~.
\end{equation}
1. ^ 高中所学的库仑定律的系数 $k$ 在大学物理中通常记为 $1/(4\pi\epsilon_0)$，其中 $\epsilon_0$ 为真空中的电介质常数，详见 “库仑定律”。
2. ^ 显然只有引力（$k < 0$）可以产生非正的机械能，即椭圆轨或抛物线轨道。
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