极限

             

1. 数列的极限

   微积分的核心概念是极限,而极限最基础的情形是数列的极限.数列是离散的,比较容易理解,而所有与极限有关的概念也都可以从数列的极限拓展得到.

   先来看一个数列的例子.

例 1 

   我们都知道 $\pi$ 是一个无理数,所以 $\pi$ 的小数部分是无限多的.目前用计算机,已经可以将 $\pi$ 精确地计算到小数点后数亿位.然而在实际应用中,往往只用取前几位小数的近似即可.下面给出一个数列,定义第 $n$ 项是 $\pi$ 的前 $n$ 位小数近似(不考虑四舍五入),即

\begin{equation} a_0 = 3,\,\, a_1 = 3.1,\,\, a_2 = 3.14,\,\, a_3 = 3.141,\,\dots. \end{equation}

   这个数列显而易见的性质,就是当 $n$ 趋于无穷时,$a_n$ 趋(近)于 $\pi$.无穷通常用符号 $\infty$ 来表示(像 “8” 横过来写).我们把这类过程叫做极限.以上这种情况,用极限符号表示,就是

\begin{equation} \lim_{n \to \infty } {a_n} = \pi \end{equation}
这里 $\lim$ 是极限(limit)的意思,下方用箭头表示某个量变化的趋势1.算符的 “输出” 就是一个数($a_n$ 的极限值).所以不要误以为这条式子是说当 $n = \infty$ 时,$a_n=\pi$2,而要理解成数列 $a_n$ 经过算符 $\lim\limits_{n \to \infty }$ 的作用以后,得出其极限是 $\pi$.类比函数 $\sin x = y$,并不是说 $x=y$,而是说 $x$ 经过正弦函数作用后等于 $y$.

   所以从概念上来说,极限中的 “趋于” 和 “等于” 是不同的.趋于是数列整体的性质,而不是单个数字的性质.我们可以像这样粗略理解 “趋近”:

   对极限来说,第 2 点成立是非常必要的.但是怎样能说明 “没有最近” 呢?可以看出,当 $n$ 越大,$a_n$ 越接近 $\pi$,它们的 “距离”,可以用 $ \left\lvert a_n - \pi \right\rvert $ 来表示.也就是说,对任何一个 $a_n$,如果所对应的距离 $ \left\lvert a_n - \pi \right\rvert \ne 0$,总能找到一个更大的数 $m > n$,使 $ \left\lvert a_m - \pi \right\rvert < \left\lvert a_n - \pi \right\rvert $(也就是 $a_m$ 比 $a_n$ 更靠近 $\pi$),并且要求 $a_m$ 之后的所有项也都能满足这一条件.只有这样,才能从数学上说明上面两个意思.这就是极限思想的精髓.根据这个思想,下面可以写出数列极限的定义.

定义 1 数列的极限

   考虑数列 $\{a_n\}$.若存在一个实数 $A$,使得对于任意给定的正实数 $\varepsilon > 0$(无论它有多么小),总存在正整数 $N_\epsilon$,使得对于所有编号 $n > N_\epsilon$,都有 $ \left\lvert a_n - A \right\rvert < \varepsilon$($A$ 为常数)成立,那么数列 $a_n$ 的极限就是 $A$.

   将 “数列 $\{a_n\}$ 的极限是 $A$” 表示为 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$.

   由于以上讨论中 $\lim$ 作用的对象是数列,那么箭头右边只能是 $\infty$(准确来说应该是正无穷 $+\infty$,但是由于数列的项一般是正的,所以正号省略了).

   把定义套用到上面的例 1 中,如果要求 $ \left\lvert a_n - \pi \right\rvert < 10^{-3}$(给定 $\varepsilon = 10^{-3}$),只要令 $N=3$(当然也可以令 $N=4, N=5$,等)就可以保证第 $N$ 项后面所有的项都满足要求.一般地如果给定 $\varepsilon = b \times 10^{-q} (b > 1)$,就令 $N = q$,第 $N$ 项以后的项就满足要求.根据定义,这就意味着 $\lim\limits_{n \to \infty } a_n = \pi$.

   我们来看几个简单的例题,加深一下印象.

习题 1 

   考虑数列 $a_n=\frac{1}{2^n}$.根据定义,证明 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0$.

习题 2 

   考虑数列 $a_n=(-1)^n$.这个数列存在极限吗?

   习题 2 的数列是不存在极限的,因为它的值在 $\pm 1$ 之间反复横跳,也就是说对于任何实数 $A$,$ \left\lvert a_n-A \right\rvert $ 都只有最多两个值,而且其中一个肯定非零.这就导致如果我们把 $\epsilon > 0$ 取得足够小(小于两个 $ \left\lvert a_n-A \right\rvert $ 中比较大的那个),那么不管 $N$ 多大,总有 $n > N$ 使得 $ \left\lvert a_n-A \right\rvert > \epsilon$.结果就是这个数列没有任何极限值.我们把这种情况称为发散

定义 2 数列的敛散性

   如果一个数列 $\{a_n\}$ 不存在极限,就称它是发散(divergent)的.如果 $\{a_n\}$ 存在极限,则称它是收敛(convergent)的.

2. 函数的极限

   实函数 $f(x)$ 可以看成是一种 “连续” 的数列,只不过把元素编号从离散的 $n$ 改为连续的 $x$.类比数列的极限,我们也可以定义函数在正无穷的极限 $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x) = A$.

定义 3 函数趋于正无穷时的极限

   考虑实函数 $f(x)$.若存在实数 $A$,使得对于任意$\epsilon > 0$,总存在正实数$X_\epsilon$,使得对于所有 $x > X_\epsilon$,都有 $ \left\lvert f(x)-A \right\rvert < \epsilon$,那么我们说 $A$ 是函数 $f(x)$ 在 $x$ 趋于正无穷时的极限.

   可以看到,定义 3 定义 1 非常相似,只是简单做了替换.不过,函数并不是简单地把数列的概念拓展到连续的情况.数列的编号只能朝着一个方向增大,但实函数的自变量就自由得多,它可以奔向负无穷,也可以集中到一点 $x_0$.

   如何描述 “自变量趋于一个给定的实数 $x_0$” 呢?我们可以拓展一下 “趋于无穷” 的概念.函数自变量或者数列编号趋于无穷,就是说我们可以把自变量和数列编号取得越来越 “接近无穷”,虽然这种说法并不严谨,但它可以提供一个很好的借鉴:函数自变量趋于给定实数 $x_0$,就是说我们取的自变量 $x$ 使得 $ \left\lvert x-x_0 \right\rvert $ 越来越接近 $0$.

   现在问题来了,什么叫 “越来越” 呢?在讨论数列极限的时候,我们没有在意这个细节,因为我们也只能考虑数列编号增大的情况,而这里的 “越来越” 也自然表示 “随着数列编号的增大” 了.但是讨论函数自变量趋于给定实数 $x_0$ 的时候,就有些麻烦了,我们没有一个衡量 “时间流逝” 的自然标准了.要解决这个问题,最好还是再次把数列给请出来.

   下面,我直接给出函数极限的定义,请仔细咀嚼,看看数列是怎么用来准确描述函数极限的.

定义 4 函数的极限

   考虑实函数 $f(x)$,并给定一个实数 $x_0$.

   取数列 $\{x_n\}$,使得 $\lim\limits_{n\to\infty}=x_0$.这样,$\{f(x_n)\}$ 也构成一个数列.

   如果对于任意的满足上述要求的数列 $\{x_n\}$,都有实数 $A$ 使得 $\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)=A$,那么我们说 $f(x)$ 在 $x$ 趋近于 $x_0$ 时的极限为 $A$.

   将这个极限表述为 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A$.

   注意看定义 4 中是如何从 $\lim\limits_{n\to\infty}=x_0$ 和 $\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)=A$ 过渡到 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A$ 的.这里,从离散到连续的桥梁,正是 “任意” 二字.也就是说,“连续” 就是 “任意的离散”,比如 “连续地接近时满足的条件” 就是 “任意一种离散地接近时都满足的条件”.

   定义 4 同时也是最为完整的函数极限定义,只需要把 $x_0$ 替换为 $\pm\infty$ 即可囊括无穷的情况.

例 2 

   求函数在某个值处的极限时,通常可以直接代入数值计算,如

\begin{equation} \lim_{x\to 1} 2x + 1 = 3 \qquad \lim_{x\to 2}\frac{x + 1}{x + 2} = \frac34 \end{equation}

   当无穷大与常数相加时,可以忽略常数,如

\begin{equation} \lim_{x\to +\infty} \frac{x + 1}{2x + 2} = \lim_{x\to +\infty} \frac{x}{2x} = \frac12 \end{equation}

例 3 

   考虑符号函数 $ \operatorname {sgn}(x)$,其定义为:$x > 0$ 时,$ \operatorname {sgn}(x)=1$,$ \operatorname {sgn}(-x)=-1$,且有 $ \operatorname {sgn}(0)=0$.也就是说,正数的函数值为 $1$,负数的为 $2$,$0$ 的就是 $0$.

   现在考虑 $ \operatorname {sgn}(x)$ 在 $0$ 处的极限值.我们首先要研究那些趋近于 $0$ 的数列.

   如果我们取数列 $g_n=\frac{1}{2^n}$,那么 $ \operatorname {sgn}(g_n)$ 中各项都恒为 $1$,因此 $\lim\limits_{n\to\infty} \operatorname {sgn}(g_n)=1$.

   但是如果取数列 $h_n=-\frac{1}{2^n}$,那么 $\lim\limits_{n\to\infty} \operatorname {sgn}(h_n)=-1$.

   如果再取数列 $j_n=0$,那么 $\lim\limits_{n\to\infty} \operatorname {sgn}(j_n)=0$.

   以上三个数列都趋于 $0$,但由它们构造的 $ \operatorname {sgn}(g_n)$、$ \operatorname {sgn}(h_n)$ 和 $ \operatorname {sgn}(j_n)$ 的极限却各不相同.这就意味着 $ \operatorname {sgn}(x)$ 在 $0$ 处并没有极限值

定义 5 函数的敛散性

   拓展数列的敛散性的定义 2 .若函数在一点处有极限值,则称之为收敛的;否则,称之为发散的.

3. 左极限和右极限

   自变量趋于无穷的过程,只有一个方向,要么是不停增大(正无穷),要么是不停减小(负无穷).但如果自变量是趋近一个实数 $x_0$,那么至少就有两个方向,从大于 $x_0$ 的点开始减小(正向接近),和从小于 $x_0$ 的点开始增大(负向)接近.

   由于极限的定义是 “怎么接近都可以”,因此若 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处存在极限,无论怎么取接近 $x_0$ 的数列,正向接近也好反向接近也罢,哪怕是一会儿正一会儿负地反复横跳,只要接近,这些数列的极限值都是一样的.

   但是有些函数则不然.考虑这个函数:$f(x)$,其中 $x < 0$ 时 $f(x)=0$,$x\geq 0$ 时 $f(x)=1$.在 $x=0$ 处,如果只考虑正向接近的数列 $\{x_n\}$,那么计算出来的 $\{f(x_n)\}$ 的极限就是 $1$;但如果只考虑负向接近的数列,那么计算出来的极限是 $0$.按照定义,这意味着 $f(x)$ 在 $x=0$ 处没极限.

   但是这种情况,我们说它是有左极限和右极限的.

定义 6 左极限和右极限

   对于函数 $f(x)$,给定实数 $x_0$.

   如果取任意向接近的数列 $\{x_n\}$,所得到的数列 $\{f(x_n)\}$ 的极限都是 $A$,那么称 $A$ 是 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处的右极限(right limit)

   如果取任意向接近的数列 $\{x_n\}$,所得到的数列 $\{f(x_n)\}$ 的极限都是 $B$,那么称 $B$ 是 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处的左极限(left limit)

   一个很容易想到的定理是,如果函数在某点的左右极限都存在且相等,那么函数的极限存在且等于左右极限.证明留作思考题,要注意的是,左右极限相等并没有直接说明 “左右横跳” 式的数列,其极限也等于左右极限.

4. 无穷小的阶

   如果令 $x\to 0$,我们就说 $x$ 是无穷小.但一些无穷小会更快地趋近于 $0$,若 $x$ 的某个函数 $\alpha(x)$ 满足

\begin{equation} \lim_{x\to 0} \frac{\alpha(x)}{x} = 0 \end{equation}
那 $\alpha(x)$ 就是 $x$ 的高阶无穷小.若
\begin{equation} \lim_{x\to 0} \frac{\alpha(x)}{x^n} \ne 0 \end{equation}
则称 $\alpha(x)$ 为 $x$ 的 $n$ 阶无穷小.例如,$c x^n$($c$ 为常数)就是 $x$ 的 $n$ 阶无穷小,记为 $ \mathcal{O}\left(x^n \right) $.

   在求极限时,若高阶无穷小与低阶无穷小相加,通常可以忽略高阶无穷小.另外由定义不难推出

\begin{equation} \mathcal{O}\left(x^n \right) x^m = \mathcal{O}\left(x^{n + m} \right) \qquad (m > -n) \end{equation}

   在物理中,当我们用一个函数 $g(x)$ 来近似另一个函数 $f(x)$ 并记为 $f(x) = g(x) + \mathcal{O}\left(h^n \right) $ 时(这里 $x$ 是函数的自变量,$h$ 是函数表达式中一个较小的常数),就说 $g(x)$ 的误差为 $ \mathcal{O}\left(h^n \right) $.


1. ^ $\lim\limits_{n \to \infty }$ 在这里相当于一个 “操作”,叫算符(operator),它作用在数列 $a_n$ 上,把数列变成一个数,即该数列的极限.
2. ^ 有两个理由可以说明这种理解不正确:首先,按定义,每个 $a_n$ 都是有理数,而 $\pi$ 是无理数,所以不应该有任何一个 $a_n=\pi$;其次,$\infty$ 不是一个实数,不存在 $n=\infty$ 的说法.这里的 $n\to\infty$ 只是表示 $n$ 的增大是没有限制的.

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