复合函数求导 链式法则(简明微积分)

             

预备知识 微分

   若有两个一元函数 $f(x)$ 和 $g(x)$,我们可以把 $g$ 的函数值作为 $f$ 的自变量,得到一个新的函数称为 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的复合函数,记为 $f[g(x)]$.

   如果我们已知两个函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的导函数 $f'(x)$ 和 $g'(x)$,那么我们可以通过以下公式求复合函数 $f[g(x)]$ 的导数.

\begin{equation} f[g(x)]' = f'[g(x)]g'(x) \end{equation}
对于多个函数的复合函数,我们也有类似的公式,例如
\begin{equation} f[g(h(x))]' = f'[g(h(x))]g'[h(x)]h'(x) \end{equation}

例 1 基本初等函数的复合函数求导

   我们已经知道基本初等函数的导数的导函数,下面对它们的一些常见的复合函数进行求导.

   $\sin^2 x$ 可以看作幂函数 $f(x) = x^2$ 和 $g(x) = \sin x$ 的复合函数,已知 $f'(x) = 2x$,$g'(x) = \cos x$,代入式 1

\begin{equation} (\sin^2 x)' = 2\sin x \cos x \end{equation}

1. 几何理解

   为了方便表示,我们把 $g$ 的函数值和 $f$ 的自变量记为 $u$,把 $f$ 的函数值记为 $y$.

图
图 1:可以将 $\sin^2 x$ 看做 $f(u) = u^2$ 和 $g(x) = \sin x$ 的复合函数

   我们可以用类似图 1 的图像来直观地理解复合函数.先画出 $y = f(u)$ 和 $u = g(x)$ 的图像,并将 $g(u)$ 的图像逆时针旋转 $90^\circ$ 使得两图的 $u$ 轴对齐.这样对于任何定义域中的自变量 $x$,我们只需要先在 $g(x)$ 的图中画出 $u$ 的位置,再对应到 $f(u)$ 的图像中求出 $y$ 的位置即可.

   现在我们要讨论的问题是,若已知两函数的导函数 $f'(x)$ 和 $g'(u)$(假设它们在定义域内处处可导)如何求复合函数 $f[g(x)]$ 的导数.

   对于给定的 $x$,我们先来看当 $x$ 增加 $\Delta x$ 时 $y$ 的增量 $\Delta y$ 的大小.我们可以使用与图 1 类似的方法画出图 2 ,然后只需要令 $\Delta x \to 0$,就可以根据定义求出复合函数的导数

\begin{equation} f[g(x)]' = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} f[g(x)] = \lim_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} \end{equation}

图
图 2:用图 1 中的方法求出任意 $\Delta x$ 对应的 $\Delta y$

   在这个过程中,我们在得到 $\Delta y$ 之前先得到了 $u$ 的增量 $\Delta u$.当 $\Delta x$ 较小时有微分近似(式 2

\begin{equation} \Delta {u} \approx g'(x) \Delta{x} \qquad \Delta{y} \approx f'(u) \Delta{u} \end{equation}
当 $\Delta x \to 0$ 时对应的微分关系(式 1 )为
\begin{equation} \,\mathrm{d}{u} = g'(x) \,\mathrm{d}{x} \qquad \,\mathrm{d}{y} = f'(u) \,\mathrm{d}{u} \end{equation}
将上式中的左边代入右边得
\begin{equation} \,\mathrm{d}{y} = f'(u) g'(x) \,\mathrm{d}{x} = f'[g(x)]g'(x) \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
而复合函数的微分是
\begin{equation} \,\mathrm{d}{y} = f[g(x)]' \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
对比以上两式(微分和导数的关系)得
\begin{equation} f[g(x)]' = f'[g(x)]g'(x) \end{equation}
这就是复合函数的求导公式.

   在上面的例子中

\begin{equation} g(x) = \sin x \qquad g'(x) = \cos x \qquad f(u) = u^2 \qquad f'(u) = 2u \qquad \end{equation}
代入上式得
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} \sin^2 x = 2\sin x \cos x \end{equation}

   复合函数的求导公式也叫链式法则,原因是我们可以把以上推导过程用导数的另外一种符号表示如下.

\begin{equation} \,\mathrm{d}{y} = \frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{u}} \,\mathrm{d}{u} = \frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{u}} \frac{\mathrm{d}{u}}{\mathrm{d}{x}} \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{x}} = \frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{u}} \frac{\mathrm{d}{u}}{\mathrm{d}{x}} \end{equation}
这种书写方式让人不禁想把 $ \mathrm{d}{y}/\mathrm{d}{x} $ 看做是 $ \,\mathrm{d}{y} $ 和 $ \,\mathrm{d}{x} $ 相除,这样的符号分割是错误的,尤其是在以后学习高阶导数和偏导数时.

2. 多重复合函数

   要对多重复合函数如 $f[g(h(x))]$ 求导,可以先对 $g[h(x)]$ 求导得 $g'[h(x)]h'(x)$ 再得到

\begin{equation} f[g(h(x))]' = f'[g(h(x))]g'[h(x)]h'(x) \end{equation}
令 $v = h(x)$,用微分符号可以表示为
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{x}} = \frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{u}} \frac{\mathrm{d}{u}}{\mathrm{d}{v}} \frac{\mathrm{d}{v}}{\mathrm{d}{x}} \end{equation}
任意多重的复合函数求导同理可得.

例 2 对函数求导

\begin{equation} \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}} \end{equation}
首先令 $f(x) = 1/\sqrt{x}$ 再令 $g(x) = x^2+a^2$,上式等于 $f[g(x)]$.由基本初等函数的导数
\begin{equation} f'(x) = -\frac{1}{2\sqrt{x^3}} \qquad g'(x) = 2x \end{equation}
代入式 9 ,得
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}} = f'[g(x)] g'(x) = -\frac{x}{\sqrt{(x^2+a^2)^3}} \end{equation}

   一种较灵活的情况是,当三个变量只有一个自由度1时,任何一个变量都可以看做任何另外两个变量的函数2,这时可以根据需要灵活运用链式法则,如例 3

例 3 加速运动公式

   假设质点做一维运动,位移,速度和加速度分别记为 $x(t)$, $v(t) = \mathrm{d}{x}/\mathrm{d}{t} $, $a(t) = \mathrm{d}{v}/\mathrm{d}{t} $,但若把速度 $v$ 看做复合函数 $v[x(t)]$,根据链式法则有

\begin{equation} a = \frac{\mathrm{d}{v}}{\mathrm{d}{t}} = \frac{\mathrm{d}{v}}{\mathrm{d}{x}} \frac{\mathrm{d}{x}}{\mathrm{d}{t}} = \frac{\mathrm{d}{v}}{\mathrm{d}{x}} v \end{equation}
写成微分表达式,有 $a \,\mathrm{d}{x} = v \,\mathrm{d}{v} $.注意到 $ \,\mathrm{d}\left(v^2 \right) = 2v \,\mathrm{d}{v} $,代入得
\begin{equation} \,\mathrm{d}\left(v^2 \right) = 2a \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
若质点做匀加速运动,该式的物理意义是在任何一段微小时间内,速度平方的增量正比于这段时间内的位移增量.在一段时间 $[t_1,t_2]$ 内把这些增量累加起来,就得到高中熟悉的运动学公式
\begin{equation} v_2^2-v_1^2 = 2a(x_2-x_1) \end{equation}
其中 $x_1,v_1$ 和 $x_1,v_1$ 分别是 $t_1,t_2$ 时刻的位置和速度.


1. ^ 即任何一个变量值确定后,另外两个变量也随之确定
2. ^ 姑且假设不会出现一个自变量对应两个函数值的情况

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