贡献者： addis
预备知识 1 力场 保守场 势能
，理想气体状态方程
若一个系统可以用若干参数 $x_1, x_2, \dots, x_N$ 描述，那么我们可以把某个状态表示成一个 $N$ 维矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} = (x_1, x_2, \dots, x_N)$，叫做状态点，把 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 所有可能的取值范围称为状态空间。系统关于时间的变化可以看作状态空间中一点划过一条轨迹，表示为矢量函数 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} (t)$。
1. 状态量
若系统的一个物理量 $V$ 只和状态空间的位置有关，即可以表示为多元函数 $V( \boldsymbol{\mathbf{x}} ) = V(x_1, \dots, x_N)$，那么就把它称为状态量。最简单地，每个 $x_i$ 本身都是一个状态量。典型的状态量例如系统的能量，动量，温度，体积，压强等。
若给出 $t_1$ 时刻的初始状态 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} _1 = \boldsymbol{\mathbf{x}} (t_1)$ 以及 $t_2$ 时刻的末状态 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} _2 = \boldsymbol{\mathbf{x}} (t_2)$，那么该物理量的增量为
\begin{equation}
\Delta V = V( \boldsymbol{\mathbf{x}} _2) - V( \boldsymbol{\mathbf{x}} _1)~.
\end{equation}
注意这个增量只与初末状态 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} _1, \boldsymbol{\mathbf{x}} _2$ 有关，而与过程无关，也就是无论状态点以什么路径 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} (t)$ 从初状态移动到末状态，都会得到同样的增量 $\Delta V$。
例 1
热力学在描述理想气体的宏观状态时，只需要用压强 $P$ 和体积 $V$ 和粒子摩尔数 $n$。当 $n$ 始终不变时，也可以认为状态量只有 $(P,V)$。温度 $T$ 可以根据理想气体状态方程（式 1 ）表示为 $P,V$ 的函数，所以是状态量。类似地，它的内能 $E$ 也是一个状态量。
事实上我们也可以用 $(P,T)$ 或 $(V,E)$ 等作为理想气体的状态空间参数，把其他宏观状态量看作它们的函数。
要说明的是，“系统的状态” 可能会有不同的层次。例如热力学研究气体时主要是讨论例 1 中的宏观状态，但在统计力学中，即使气体处于一个确定的宏观状态，也可能需要区分无穷种不同微观状态。微观状态在这里是指气体中每一个原子分子的运动参数。例如要完整描述气体中 $N$ 个（阿伏伽德罗常数（引用未完成）数量级）质点的微观状态，就需要每个粒子的位置和动量 $( \boldsymbol{\mathbf{r}} _i, \boldsymbol{\mathbf{p}} _i)$（$i=1,\dots,N$）共 $6N$ 个参数，也就是需要 $6N$ 维的状态空间。
2. 过程量
若一个量 $Q$ 取决于状态空间中的一段运动过程 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} (t)$（$t = [t_1,t_2]$），它就是过程量。 典型的过程量如做功，冲量，传热等。一种常见的过程量可以用线积分定义为
\begin{equation}
\begin{aligned}
Q &= \int_{\mathcal L} \boldsymbol{\mathbf{f}} ( \boldsymbol{\mathbf{x}} _i) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{x}} } = \int_{\mathcal L} \sum_i f_i(x_1, \dots, x_N) \,\mathrm{d}{x_i} \\
&= \int_{t_1}^{t_2} \sum_i f_i(x_1, \dots, x_N) \frac{\mathrm{d}{x_i}}{\mathrm{d}{t}} \,\mathrm{d}{t} ~,
\end{aligned}
\end{equation}
$\mathcal L$ 表示状态点的 “运动方程” $x_i(t)$（$i = 1,\dots, N$）以及起点终点 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} (t_1), \boldsymbol{\mathbf{x}} (t_2)$。注意这样定义的过程量只可能和轨迹 $\mathcal L$ 的形状有关而与状态点在轨迹上移动的快慢无关。所以这里的 $t$ 可以看作轨迹的参数随时间变化而未必是时间本身。一个具体的例子是力场对单个质点的做功，下面会在
例 2 详细讨论。
从定义上来说，$Q$ 是一个过程量，但如果在某个系统中它只取决于起点和终点的状态，那么对这个系统区分 $Q$ 是状态量和过程量将没有太大实用价值，因为它总能表示为某个状态量 $V( \boldsymbol{\mathbf{x}} )$ 的增量
\begin{equation}
Q = V( \boldsymbol{\mathbf{x}} (t_2)) - V( \boldsymbol{\mathbf{x}} (t_1))~.
\end{equation}
例如在二维或三维状态空间，若令矢量函数为 $ \boldsymbol{\mathbf{f}} ( \boldsymbol{\mathbf{x}} ) = \sum_i f_i( \boldsymbol{\mathbf{x}} ) \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _i$，那么当旋度 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{f}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} $ 时，$ \boldsymbol{\mathbf{f}} ( \boldsymbol{\mathbf{x}} )$ 就是一个
保守场，必存在势函数 $V( \boldsymbol{\mathbf{x}} )$，使场对物体做功为 $W = V( \boldsymbol{\mathbf{x}} _2) - V( \boldsymbol{\mathbf{x}} _1)$。这中情况下区分功是过程量还是状态量意义并不大。对于高维情况，需要使用
外导数 来判断保守场。
但事实上远非所有情况下式 2 的积分都可以表示为两个状态量之差。此时积分的结果必须取决于路径的形状，那么区分状态量和过程量就至关重要。例如，虽然我们往往写出微分关系（未完成：其实这里也应该用 $\delta$ 不是 $ \,\mathrm{d}{} $）
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{Q} = \sum_i f_i(x_1, \dots, x_N) \,\mathrm{d}{x_i} ~,
\end{equation}
但是却不可能把 $Q$ 表示为 $x_i$ 的函数，$f_i$ 也不能看作偏导 $ \partial Q/\partial x_i $。
为了防止这种误解，一些教材中把过程量的微小变化记为 $\delta Q$ 而不是 $ \,\mathrm{d}{Q} $。后者用于表示全微分，而只有 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 的函数可以做全微分。
例 2 力场
一个具体的例子是力场对单个质点的做功。在分析力学中，此时状态空间是 $( \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{p}} )$ 即位置和动量，做功一段过程的做功为
\begin{equation}
W_{12} = \int_{\mathcal L} \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{x}} ) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{x}} } = \int_{\mathcal L} \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{x}} (t)) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} (t) \,\mathrm{d}{t} ~.
\end{equation}
如果力场 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{x}} )$ 是保守场，那么做功就是势能之差；如果是非保守场，做功只能由具体路径决定，此时 “功”（过程量）和 “能”（状态量）的区分就很重要了。例如动能总可以表示为状态 $ \boldsymbol{\mathbf{p}} $ 的函数，但做功却不行，因为它不是状态量。用物理中的符号，该积分可以记为
\begin{equation}
W_{12} = \int \delta W~.
\end{equation}
例 3 热力学第一定律
另一个例子是热力学第一定律往往记为（未完成：其实这里也应该用 $\delta$ 不是 $ \,\mathrm{d}{} $）
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{Q} = P \,\mathrm{d}{V} + \,\mathrm{d}{E} ~,
\end{equation}
或者
\begin{equation}
Q_{12} = \int_1^2 P \,\mathrm{d}{V} + \Delta E~.
\end{equation}
但状态空间中的环积分并不总是为零，例如著名的
卡诺热机，即积分取决于路径。所以 $Q$ 不能看作 $V, E$ 的函数，也不能记
\begin{equation}
\left( \frac{\partial Q}{\partial V} \right) _E = P \qquad \left( \frac{\partial Q}{\partial E} \right) _V = 1 \qquad \text{（错）}~.
\end{equation}
这里的下标表示求偏导时把 $E,V$ 分别看作常数（子节 2 ）。
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