外导数

             

预备知识 微分形式,外代数

1. 外导数的定义

   外导数是一种流形上的微分形式外代数1上的映射,其术语分为两部分,“外” 和 “导数”.“外”,指的是它把各 $\Omega^k(M)$ 中的元素映射到 $\Omega^k(M)$之外;“导数”,指的是它具有和求导类似的性质.实际上,矢量分析中的求导就是外导数的一个特例——你可能会问,求导并不具有 “外” 的特点,怎么就是特例了呢?我们会在本节中解释这一点.

定义 1 外导数

   给定流形 $M$,其外微分代数是 $\Omega (M)$.定义映射 $ \,\mathrm{d}{:} \Omega (M)\rightarrow\Omega (M)$,满足:

  1. $\forall \omega\in\Omega^k(M)$,有 $ \,\mathrm{d}{\omega} \in\Omega^{k+1}(M)$.
  2. 对于光滑函数 $f\in C^\infty(M)$,$ \,\mathrm{d}{f} $ 就是 $f$ 的方向导数(1-形式).
  3. 线性性:任取 $a, b\in \mathbb{R}$ 和 $\omega, \mu\in\Omega(M)$,有 $ \,\mathrm{d}\left(a\omega+b\mu \right) =a \,\mathrm{d}{\omega} +b \,\mathrm{d}{\mu} $.
  4. Leibniz 性:对于 $\omega\in\Omega^k(M), \mu\in\Omega^1(M)$,我们有 $ \,\mathrm{d}\left(\omega\wedge\mu \right) = \,\mathrm{d}{\omega} \wedge\mu+(-1)^k\omega\wedge \,\mathrm{d}{\mu} $2
  5. 幂零性:任取 $\omega\in\Omega(M)$,都有 $ \,\mathrm{d}\left( \,\mathrm{d}{\omega} \right) =0$.

   称这个映射为 $\Omega (M)$ 或者说 $M$ 上的一个外导数(exterior derivative),又称外微分

   定义中的 Leibniz 性要特别注意,其中 $(-1)^k$ 项是为了配合外代数的反对称性

2. 三维欧几里得空间

   在外代数中我们提到过,$\mathbb{R}^3$ 和 $\bigwedge^2\mathbb{R}^3$ 同构.在流形 $\mathbb{R}^3$ 上,2-形式构成的线性空间 $\Omega^1(\mathbb{R}^3)\cong\mathbb{R}^3$,因为是由基 $\{ \,\mathrm{d}{x} , \,\mathrm{d}{y} , \,\mathrm{d}{z} \}$ 张成的.这样,我们也可以定义 $\Omega^2(\mathbb{R}^3$ 到 $\Omega^1(\mathbb{R}^3)$ 之间的同构.这个同构的存在,意味着我们可以把旋度散度视为外导数的特例.我们观察以下例子来说明这一点:

旋度

   考虑 $\mathbb{R}^3$ 中任意的 1-形式 $\omega_x \,\mathrm{d}{x} +\omega_y \,\mathrm{d}{y} +\omega_z \,\mathrm{d}{z} $,其中各 $\omega_i$ 是 0-形式,即光滑函数.考虑到外导数对于光滑函数就是方向导数,我们可以得知,对于任意的 $a\in\{x,y,z\}$,有 $ \,\mathrm{d}{\omega} _a=\partial_x\omega_a \,\mathrm{d}{x} +\partial_y\omega_a \,\mathrm{d}{y} +\partial_z\omega_a \,\mathrm{d}{z} $.这样,我们就可以计算出:

\begin{equation} \begin{aligned} & \,\mathrm{d}\left(\omega_x \,\mathrm{d}{x} +\omega_y \,\mathrm{d}{y} +\omega_z \,\mathrm{d}{z} \right) \\=&(\partial_y\omega_z-\partial_z\omega_y) \,\mathrm{d}{y} \wedge \,\mathrm{d}{z} +\\&(\partial_z\omega_x-\partial_x\omega_z) \,\mathrm{d}{z} \wedge \,\mathrm{d}{x} +\\&(\partial_x\omega_y-\partial_y\omega_x) \,\mathrm{d}{x} \wedge \,\mathrm{d}{y} \end{aligned} \end{equation}

   如果我们把 $ \,\mathrm{d}{y} \wedge \,\mathrm{d}{z} $ 看成 $ \,\mathrm{d}{x} $、把 $ \,\mathrm{d}{z} \wedge \,\mathrm{d}{x} $ 看成 $ \,\mathrm{d}{y} $、把 $ \,\mathrm{d}{x} \wedge \,\mathrm{d}{y} $ 看成 $ \,\mathrm{d}{z} $,那么式 1 右边各项系数刚好对应向量场 $ \begin{pmatrix}\omega_x, \omega_y, \omega_z\end{pmatrix} ^{\mathrm{T}} $ 的旋度.因此,我们把三维欧几里得空间中的旋度,看成是 $\Omega^1(\mathbb{R}^3)\rightarrow\Omega^2(\mathbb{R}^3)$ 的外导数.

散度

   考虑 $\mathbb{R}^3$ 中任意的 2-形式 $\omega_x \,\mathrm{d}{y} \wedge \,\mathrm{d}{z} +\omega_y \,\mathrm{d}{z} \wedge \,\mathrm{d}{x} +\omega_z \,\mathrm{d}{x} \wedge \,\mathrm{d}{y} $.同样,考虑到 $ \,\mathrm{d}{\omega} _a=\partial_x\omega_a \,\mathrm{d}{x} +\partial_y\omega_a \,\mathrm{d}{y} +\partial_z\omega_a \,\mathrm{d}{z} $,我们可以计算得:

\begin{equation} \begin{aligned} & \,\mathrm{d}\left(\omega_x \,\mathrm{d}{y} \wedge \,\mathrm{d}{z} +\omega_y \,\mathrm{d}{z} \wedge \,\mathrm{d}{x} +\omega_z \,\mathrm{d}{x} \wedge \,\mathrm{d}{y} \right) \\=&(\partial_x\omega_x+\partial_y\omega_y+\partial_z\omega_z) \,\mathrm{d}{x} \wedge \,\mathrm{d}{y} \wedge \,\mathrm{d}{z} \end{aligned} \end{equation}

   观察结果的系数可见,2-形式的外导数实际上就是其散度.因此,我们把三维欧几里得空间中的散度,看成是 $\Omega^2(\mathbb{R}^3)\rightarrow\Omega^3(\mathbb{R}^3)$ 的外导数.

习题 1 旋度和散度

   利用外导数的定义,证明式 1 式 2 .

梯度

   由定义 1 的第二条,三维欧几里得空间中的梯度,是 $\Omega^0(\mathbb{R}^3)\rightarrow\Omega^1(\mathbb{R}^3)$ 的外导数.

   自此,三维空间中的梯度、旋度和散度都可以统一为一个概念了:外导数.值得注意的是,矢量分析中的定理 “梯度的旋度为零” 和 “旋度的散度为零”,可以统一理解为外导数的幂零性:$\mathrm{d}^2=0$.

三维空间的特殊性

   尝试求解下列代数方程:

\begin{equation} \frac{n(n-1)}{2}=n \end{equation}

   答案是 $0$ 和 $3$,对吧?非零解只有 $3$,这就是三维空间的特殊之处,也是三维向量分析如此丰富的原因.只有在三维空间中,我们才能用以上外导数的概念来导出散度、旋度等概念.

   式 3 究竟是什么呢?$n$ 代表的是一个线性空间 $V$ 的维度,而 $n(n-1)/2$ 代表的是 $\bigwedge^2 V$ 的维度.式 3 想求解的是,什么情况下 $V$ 会和 $\bigwedge^2 V$ 同构,而 “非零解只有 $3$” 意味着唯一的情况就是,“$V$ 是一个三维空间”.

   向量叉乘的 “右手定则”,实际上就是一个同构 $f:\bigwedge^2 V\to V$,其中 $V$ 是 $M$ 上各点的微分形式空间,或者说 “余切向量空间”,而 $f( \,\mathrm{d}{y} \wedge \,\mathrm{d}{z} )= \,\mathrm{d}{x} , f( \,\mathrm{d}{z} \wedge \,\mathrm{d}{x} )= \,\mathrm{d}{y} , f( \,\mathrm{d}{x} \wedge \,\mathrm{d}{y} )= \,\mathrm{d}{z} $.我们当然可以定义其它的同构,比如 $f( \,\mathrm{d}{y} \wedge \,\mathrm{d}{z} )=- \,\mathrm{d}{x} , f( \,\mathrm{d}{z} \wedge \,\mathrm{d}{x} )=- \,\mathrm{d}{y} , f( \,\mathrm{d}{x} \wedge \,\mathrm{d}{y} )=- \,\mathrm{d}{z} $ 的同构,此时导出的向量叉乘遵循的就是 “左手定则” 了.

3. 外导数的计算

   本小节我们希望讨论的是,如果我们已知某个微分形式 $\omega$ 是如何作用于各切向量的,那么 $ \,\mathrm{d}{\omega} $ 又是如何作用的.

外积

   首先要讨论的是 $1-$ 形式的外积.设 $\omega, \mu$ 为两个 $1-$ 形式,为了满足 $\omega\wedge\mu=-\mu\wedge\omega$,我们令

\begin{equation} \omega\wedge\mu(X, Y)=\omega(X)\mu(Y)-\mu(X)\omega(Y) \end{equation}
对所有 $X, Y\in \mathfrak{X}(M)$ 成立.

   把这条推广开来,就是对于 $m-$ 形式 $\omega$ 和 $n-$ 形式 $\mu$,有如下关系:

\begin{equation} \begin{aligned} &\omega\wedge\mu(X_1, X_2, \cdots, X_m, X_{m+1}, \cdots, X_{m+n})\\ =&\sum_{\sigma\in S_{m+n}} \operatorname {sgn}\sigma[\omega(X_{\sigma(1)}, \cdots, X_{\sigma(m)})\mu(X_{\sigma(m+1)}, \cdots, X_{\sigma(m+n)})] \end{aligned} \end{equation}

   其中 $\sigma$ 是置换群 $S_{m+n}$ 中的置换,$ \operatorname {sgn}\sigma$ 对于偶置换取值为 $1$,否则为 $-1$.

   如果用指标表示的话,式 4 相当于

\begin{equation} (\omega\wedge\mu)_{ab}=\omega_a\mu_b-\omega_b\mu_a \end{equation}

   而式 5 则相当于

\begin{equation} \begin{aligned} (\omega\wedge\mu)_{i_1i_2i_3\cdots i_{m+n}}=\sum_{\sigma\in S_{m+n}}\omega_{i_{\sigma(1)}i_{\sigma(2)}\cdots i_{\sigma(m)}}\mu_{i_{\sigma(m+1)}i_{\sigma(m+2)}\cdots i_{\sigma(m+n)}} \end{aligned} \end{equation}

外导数

   现在我们要考虑的是,如果对于一切 $X, Y\in \mathfrak{X}(M)$ 都已知 $\omega(X)$,那么 $ \,\mathrm{d}{\omega} (X, Y)$ 是哪个函数.

   设所讨论的流形维度为 $n$.

   在某坐标系下,令

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} X&=f_1\partial_1+f_2\partial_2+\cdots+f_n\partial_n\\ Y&=g_1\partial_1+g_2\partial_2+\cdots+g_n\partial_n\\ \omega&=\omega_1 \,\mathrm{d}{x} _1+\omega_2 \,\mathrm{d}{x} _2+\cdots+\omega_n \,\mathrm{d}{x} _n \end{aligned}\right. \end{equation}
其中各 $f_i, g_i, \omega_i$ 为 $M$ 上的光滑函数.

   那么 $\omega(X)=f_1\omega_1+f_2\omega_2+\cdots+f_n\omega_n$,$\omega(Y)=g_1\omega_1+g_2\omega_2+\cdots+g_n\omega_n$

   坐标系给定了,$ \,\mathrm{d}{\omega} $ 可以直接算出来.这是因为

\begin{equation} \,\mathrm{d}\left(\omega_i \,\mathrm{d}{x} _i \right) =( \,\mathrm{d}{\omega} _i)\wedge \,\mathrm{d}{x} _i=\sum_{j}\partial_j\omega_i \,\mathrm{d}{x} _j\wedge \,\mathrm{d}{x} _i \end{equation}

   因此,

\begin{equation} \,\mathrm{d}{\omega} =\sum_{i} \,\mathrm{d}\left(\omega_i \,\mathrm{d}{x} _i \right) =( \,\mathrm{d}{\omega} _i)\wedge \,\mathrm{d}{x} _i=\sum_{i, j}\partial_j\omega_i \,\mathrm{d}{x} _j\wedge \,\mathrm{d}{x} _i \end{equation}

   $ \,\mathrm{d}{x} _j\wedge \,\mathrm{d}{x} _i$ 是哪个映射,我们上面已经讨论过了.应用式 4 ,并考虑到 $ \,\mathrm{d}{x} _i(\partial _j)=\delta_{ij}$3,可以计算出 $ \,\mathrm{d}{\omega} (X, Y)$,整理后得到

\begin{equation} \,\mathrm{d}{\omega} (X, Y)=X\omega(Y)-Y\omega(X)-\omega([X, Y]) \end{equation}

   注意,这里 $X\omega(Y)$ 是指切向量作用在函数 $\omega(Y)$ 上,得到一个函数;$Y\omega(X)$ 同理.


1. ^ 即流形上的余切向量场集合作为线性空间所生成的外代数.
2. ^ 注意 $\mu$ 特指 1-形式.
3. ^ 即 $ \,\mathrm{d}{x} _i\wedge \,\mathrm{d}{x} _j(\partial_a, \partial_b)=\delta_{ia}\delta_{jb}-\delta_{ib}\delta_{ja}$.

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