贡献者： addis; FFjet; _Eden_; int256
1. 卡诺热机的工作过程
卡诺循环（Carnot cycle）是一个特别的热力学循环，使用在一个假想的卡诺热机上，由法国人尼古拉·卡诺于 1824 年提出，埃米尔·克拉佩龙于 1830 年代至 1840 年代扩充，是为了找出热机的最大的工作效率而分析热机的工作过程。
图 1：热机示意图（来自维基百科）
卡诺循环由两个等温过程，两个绝热过程，下面先通过两个图来直观感受一下卡诺热机的工作过程。
压强-体积图，即 $P$-$V$ 图，是大家十分熟悉的：
图 2：卡诺循环的压强-体积图
温度-熵1图，即 $T$-$S$ 图，则如下所示：
图 3：卡诺循环的温度-熵图
图 2 $1\to 2$、图 3 $A\to B$，可逆等温膨胀：此等温的过程中系统从高温热库吸收了热量且全部拿去做功。
图 2 $2\to 3$、图 3 $B\to C$，等熵（可逆绝热）膨胀：移开热库，系统对环境做功，其能量来自于本身的内能。
图 2 $3\to 4$、图 3 $C\to D$，可逆等温压缩：此等温的过程中系统向低温热库放出了热量。同时环境对系统做正功。
图 2 $4\to 1$、图 3 $D\to A$，等熵（可逆绝热）压缩：移开低温热库，此绝热的过程系统对环境作负功，系统在此过程后回到原来的状态。
2. 卡诺循环的效率（理想气体）
下面我们来分析一下理想气体卡诺循环的效率。气体在等温膨胀过程中，从高温热源吸取热量，根据等温过程吸热公式（式 3 ），我们有
\begin{equation}
Q_{1}=\frac{m}{M} R T_{1} \ln \frac{V_{2}}{V_{1}}~,
\end{equation}
气休在等温压缩过程中向低温热源放出热量 $Q_2$，为便于研究，取绝对值，有
\begin{equation}
Q_{2}=\frac{m}{M} R T_{2} \ln \frac{V_{3}}{V_{4}}~.
\end{equation}
应用绝热过程方程（
式 3 ）$T_{1} V_{2}^{\gamma-1}=T_{2} V_{3}^{\gamma-1}$ 和 $T_{1} V_{1}^{\gamma-1}=T_{2} V_{4}^{\gamma-1}$ 可得
\begin{equation}
\left(\frac{V_{2}}{V_{1}}\right)^{\gamma-1}=\left(\frac{V_{3}}{V_{4}}\right)^{\gamma-1}~.
\end{equation}
也就是说
\begin{equation}
\frac{V_{2}}{V_{1}}=\frac{V_{3}}{V_{4}}~,
\end{equation}
所以有
\begin{equation}
Q_{2}=\frac{m}{M} R T_{2} \ln \frac{V_{3}}{V_{4}}=\frac{m}{M} R T_{2} \ln \frac{V_{2}}{V_{1}}~.
\end{equation}
取 $Q_1$ 与 $Q_2$ 的比值，可得
\begin{equation}
\frac{Q_{1}}{T_{1}}=\frac{Q_{2}}{T_{2}}~,
\end{equation}
因此卡诺热机的效率为
\begin{equation}
\eta_{\mathrm{c}}=1-\frac{Q_{2}}{Q_{1}}=1-\frac{T_{2}}{T_{1}}~.
\end{equation}
卡诺热机有几条重要性质，我们做个总结：
- 要完成一次卡诺循环必须有高温和低温两个热源；
- 卡诺循环的效率只与两个热源的温度有关，高温热源的温度越高，低温热源的温度越低，卡诺循环的效率越大，也就是说节两热源的温度差越大，从高温热源所吸取的热量 $Q_1$ 的 “利用价值” 越大；
- 卡诺循环的效率总足小于 $1 $ 的。
实际上，卡诺循环还有个逆循环过程，功能应该都可以猜到，也就是制冷机。通过类似对卡诺循环的分析，可以得到制冷系数
\begin{equation}
w_{\mathrm{C}}=\frac{Q_{2}}{A}=\frac{Q_{2}}{Q_{1}-Q_{2}}=\frac{T_{2}}{T_{1}-T_{2}}~.
\end{equation}
例 1 卡诺制冷机
有一卡诺制冷机，从温度为 $-10^{\circ} \mathrm{C}$ 的冷藏室吸取热量，而向温度为 $20^{\circ} \mathrm{C}$ 的物体放出热量。设该制冷机所耗功率为 $15\rm kW$, 问每分钟从冷藏室吸取的热量为多少？
令 $T_1 = 293 \mathrm K , T_2 = 263 \mathrm K $，则
\begin{equation}
w=\frac{T_{2}}{T_{1}-T_{2}}=\frac{263}{30}~.
\end{equation}
每分钟做功为
\begin{equation}
A=15 \times 10^{3} \times 60 \mathrm{J}=9 \times 10^{5} \mathrm{J}~,
\end{equation}
所以每分钟从冷藏室中吸取的热量为
\begin{equation}
Q_{2}=w A=7.89 \times 10^{6} \mathrm{J}~.
\end{equation}
此时，每分钟向温度为 $20^{\circ} \mathrm{C}$ 的物体放出的热量为
\begin{equation}
Q_{1}=Q_{2}+A=8.79 \times 10^{6} \mathrm{J}~.
\end{equation}
3. 可逆卡诺循环
对于可逆卡诺循环，可以证明一个循环后熵不改变（克劳修斯不等式取等号）
\begin{equation}
\Delta S = \oint \frac{\delta Q}{T}=0~.
\end{equation}
这不止对于理想气体，对于任意的热力学系统都是成立的。
首先，由卡诺定理（证明见热力学第二定律 子节 2 ），对于工作于温度固定的两热源间的卡诺热机，其效率总为
$$\eta = 1- \frac{Q_2}{Q_1} = 1-\frac{T_2}{T_1}~.$$
于是就有
$$\frac{Q_2}{Q_1} = \frac{T_2}{T_1} ~,$$
从而，
$$\frac{Q_2}{T_2} = \frac{Q_1}{T_1} ~.$$
现约定 $Q$ 代表吸收的热量，则放出的热量为 $-Q$，故上式可写为
\begin{equation}
\frac{Q_1}{T_1} + \frac{Q_2}{T_2} = 0~.
\end{equation}
推广到 $n$ 个热源的情况即为
\begin{equation}
\sum_{i=1}^{n} \frac{Q_i}{T_i} = 0 ~.
\end{equation}
对于连续情况，求极限即可证明原积分等式 $\oint \frac{\delta Q}{T} = 0$。
由于是可逆循环，$Q_{rev} = Q$，故 $ \,\mathrm{d}{S} = \frac{\delta Q_{rev}}{T} = \frac{\delta Q}{T}$。故
\begin{equation}
\Delta S = \int \,\mathrm{d}{S} = \int {\frac{\delta Q}{T}} = \oint {\frac {\delta Q}{T}} = 0~.
\end{equation}
得证。
1. ^ 熵的宏观定义见。
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元，我们一个星期内就能脱离亏损， 并保证在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。
