卡诺热机

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预备知识　等温过程，绝热过程

1. 卡诺热机的工作过程

　　 卡诺循环（Carnot cycle）是一个特别的热力学循环，使用在一个假想的卡诺热机上，由法国人尼古拉·卡诺于 1824 年提出，埃米尔·克拉佩龙于 1830 年代至 1840 年代扩充，是为了找出热机的最大的工作效率而分析热机的工作过程。

图 1：热机示意图（来自维基百科）

　　卡诺循环由两个等温过程，两个绝热过程，下面先通过两个图来直观感受一下卡诺热机的工作过程。

　　压强-体积图，即 $P$ - $V$ 图，是大家十分熟悉的：

图 2：卡诺循环的压强-体积图

　　温度-熵图（见熵的宏观定义），即 $T$ - $S$ 图，则如下所示：

图 3：卡诺循环的温度-熵图

　　图 2 $1 \to 2$ 、图 3 $A \to B$ ，可逆等温膨胀：此等温的过程中系统从高温热库吸收了热量且全部拿去做功。

　　图 2 $2 \to 3$ 、图 3 $B \to C$ ，等熵（可逆绝热）膨胀：移开热库，系统对环境做功，其能量来自于本身的内能。

　　图 2 $3 \to 4$ 、图 3 $C \to D$ ，可逆等温压缩：此等温的过程中系统向低温热库放出了热量。同时环境对系统做正功。

　　图 2 $4 \to 1$ 、图 3 $D \to A$ ，等熵（可逆绝热）压缩：移开低温热库，此绝热的过程系统对环境作负功，系统在此过程后回到原来的状态。

2. 卡诺循环的效率（理想气体）

　　下面我们来分析一下理想气体卡诺循环的效率。气体在等温膨胀过程中，从高温热源吸取热量，根据等温过程吸热公式（式 3 ），我们有

\begin{matrix} (1) & Q_{1} = \frac{m}{M} R T_{1} \ln \frac{V_{2}}{V_{1}}, \end{matrix}

气休在等温压缩过程中向低温热源放出热量

Q_{2}

，为便于研究，取绝对值，有

\begin{matrix} (2) & Q_{2} = \frac{m}{M} R T_{2} \ln \frac{V_{3}}{V_{4}} . \end{matrix}

应用绝热过程方程（式 3 ）

T_{1} V_{2}^{γ - 1} = T_{2} V_{3}^{γ - 1}

和

T_{1} V_{1}^{γ - 1} = T_{2} V_{4}^{γ - 1}

可得

\begin{matrix} (3) & {(\frac{V_{2}}{V_{1}})}^{γ - 1} = {(\frac{V_{3}}{V_{4}})}^{γ - 1} . \end{matrix}

也就是说

\begin{matrix} (4) & \frac{V_{2}}{V_{1}} = \frac{V_{3}}{V_{4}}, \end{matrix}

所以有

\begin{matrix} (5) & Q_{2} = \frac{m}{M} R T_{2} \ln \frac{V_{3}}{V_{4}} = \frac{m}{M} R T_{2} \ln \frac{V_{2}}{V_{1}} . \end{matrix}

取

Q_{1}

与

Q_{2}

的比值，可得

\begin{matrix} (6) & \frac{Q_{1}}{T_{1}} = \frac{Q_{2}}{T_{2}}, \end{matrix}

因此卡诺热机的效率为

\begin{matrix} (7) & η_{c} = 1 - \frac{Q_{2}}{Q_{1}} = 1 - \frac{T_{2}}{T_{1}} . \end{matrix}

　　卡诺热机有几条重要性质，我们做个总结：

要完成一次卡诺循环必须有高温和低温两个热源；
卡诺循环的效率只与两个热源的温度有关，高温热源的温度越高，低温热源的温度越低，卡诺循环的效率越大，也就是说节两热源的温度差越大，从高温热源所吸取的热量 $Q_{1}$ 的 “利用价值” 越大；
卡诺循环的效率总足小于 $1$ 的。

　　实际上，卡诺循环还有个逆循环过程，功能应该都可以猜到，也就是制冷机。通过类似对卡诺循环的分析，可以得到制冷系数

\begin{matrix} (8) & w_{C} = \frac{Q_{2}}{A} = \frac{Q_{2}}{Q_{1} - Q_{2}} = \frac{T_{2}}{T_{1} - T_{2}} . \end{matrix}

例 1　卡诺制冷机

　　有一卡诺制冷机，从温度为 $- 10^{\circ} C$ 的冷藏室吸取热量，而向温度为 $20^{\circ} C$ 的物体放出热量。设该制冷机所耗功率为 $15 k W$ , 问每分钟从冷藏室吸取的热量为多少？

　　令 $T_{1} = 293 K, T_{2} = 263 K$ ，则

\begin{matrix} (9) & w = \frac{T_{2}}{T_{1} - T_{2}} = \frac{263}{30} . \end{matrix}

每分钟做功为

\begin{matrix} (10) & A = 15 \times 10^{3} \times 60 J = 9 \times 10^{5} J, \end{matrix}

所以每分钟从冷藏室中吸取的热量为

\begin{matrix} (11) & Q_{2} = w A = 7.89 \times 10^{6} J . \end{matrix}

此时，每分钟向温度为

20^{\circ} C

的物体放出的热量为

\begin{matrix} (12) & Q_{1} = Q_{2} + A = 8.79 \times 10^{6} J . \end{matrix}

3. 可逆卡诺循环

　　对于可逆卡诺循环，可以证明一个循环后熵不改变（克劳修斯不等式取等号）

\begin{matrix} (13) & Δ S = \oint \frac{δ Q}{T} = 0 . \end{matrix}

这不止对于理想气体，对于任意的热力学系统都是成立的。

　　首先，由卡诺定理（证明见热力学第二定律子节 2 ），对于工作于温度固定的两热源间的卡诺热机，其效率总为 $η = 1 - \frac{Q_{2}}{Q_{1}} = 1 - \frac{T_{2}}{T_{1}} .$ 于是就有 $\frac{Q_{2}}{Q_{1}} = \frac{T_{2}}{T_{1}},$ 从而， $\frac{Q_{2}}{T_{2}} = \frac{Q_{1}}{T_{1}} .$ 现约定 $Q$ 代表吸收的热量，则放出的热量为 $- Q$ ，故上式可写为

\begin{matrix} (14) & \frac{Q_{1}}{T_{1}} + \frac{Q_{2}}{T_{2}} = 0 . \end{matrix}

推广到

n

个热源的情况即为

\begin{matrix} (15) & \sum_{i = 1}^{n} \frac{Q_{i}}{T_{i}} = 0 . \end{matrix}

对于连续情况，求极限即可证明原积分等式

\oint \frac{δ Q}{T} = 0

。

　　由于是可逆循环， $Q_{r e v} = Q$ ，故 $d S = \frac{δ Q_{r e v}}{T} = \frac{δ Q}{T}$ 。故

\begin{matrix} (16) & Δ S = \int d S = \int \frac{δ Q}{T} = \oint \frac{δ Q}{T} = 0 . \end{matrix}

得证。

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卡诺热机

1. 卡诺热机的工作过程

2. 卡诺循环的效率（理想气体）

例 1 卡诺制冷机

3. 可逆卡诺循环

例 1　卡诺制冷机